비트 환

틀:위키데이터 속성 추적 틀:다른 뜻 이차 형식 이론에서, 비트 환(Witt環, 틀:Llang)은 비퇴화 이차 형식의 동치류로 구성된 가환환이다.

정의

비트 분해

비트 분해 정리(Witt分解定理, 틀:Llang)에 따르면, 표수가 2가 아닌 체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간 $V$ 위의 이차 형식 $Q$는 다음과 같은 꼴로 표준적으로 분해된다.틀:Rp

$(V,Q)=(V_0,0)\oplus (V_1,Q_1)\oplus (V_2,Q_2)$

여기서 각 성분은 다음과 같다.

• $(V_0,0)$은 이차 형식이 0인 이차 공간이다.
• $(V_1,Q_1)$은 비등방성 이차 공간(틀:Llang)이다. 즉, $V_1$ 속에서 $Q_1(v)=0$인 벡터 $v\in V_1$은 $v=0$뿐이다. 특히, $Q_1$은 비퇴화 이차 형식이다.
• $(V_2,Q_2)$는 분해 이차 공간(틀:Llang)이다. 즉, $Q_2$는 비퇴화 이차 형식이며, ${\dim }_K{V}_2=2n$는 짝수이며, $V_2$ 속에서 $Q_2{|}_W=0$인 $n$차원 부분 공간 $W\subseteq V_2$이 존재한다.

이 경우 $(V_1,Q_1)$을 $(V,Q)$의 핵심(核心, 틀:Llang)이라고 한다. 또한, ${\dim }_K(V_1\oplus V_2)$를 $Q$의 계수(階數, 틀:Llang)라고 하며, $({\dim }_K{V}_2)/2$를 $Q$의 비트 지표(틀:Llang)라고 한다.틀:Rp 만약 $Q$가 비퇴화 이차 형식이라면, $Q{|}_W=0$이 되는 부분 벡터 공간들의 포함 관계에 대한 부분 순서 집합에서, 극대 원소들의 차원은 항상 비트 지표와 같다.

비트 환

같은 체 위의 두 이차 공간 $(V,Q)$, $(V^{\prime },Q^{\prime })$의 핵심이 서로 동형이라면, 두 이차 공간이 서로 비트 동치(틀:Llang)라고 한다. 표수가 2가 아닌 체 $K$ 위의 비퇴화 유한 차원 이차 공간들의 비트 동치류들의 집합 $\mathrm{Witt}(K)$을 생각하자. 여기에 다음과 같은 연산을 부여하면, 이는 가환환을 이룬다.

• $(V,Q)+(V^{\prime },Q^{\prime })=(V\oplus V^{\prime },Q\oplus Q^{\prime })$. $\oplus$는 벡터 공간(및 그 위의 함수)의 직합이다.
• $-(V,Q)=(V,-Q)$
• $0=(K^0,0)$. 여기서 $K^0$는 $K$ 위의 0차원 벡터 공간이다.
• $(V,Q)\cdot (V^{\prime },Q^{\prime })=(V\otimes V^{\prime },Q\otimes Q^{\prime })$. $\otimes$는 벡터 공간 (및 그 위의 함수)의 텐서곱이다.
• $1=(K^1,x\mapsto x^2)$

이 가환환을 $K$의 비트 환이라고 한다.

비트-그로텐디크 환

가환환의 범주 $\mathrm{CRing}$와 가환 반환의 범주 $\mathrm{CSemiring}$ 사이의 포함 함자

$\mathrm{CRing}\to \mathrm{CSemiring}$

는 왼쪽 수반 함자

$F:\mathrm{CSemiring}\to \mathrm{CRing}$

를 갖는다. 구체적으로, 이 함자는 다음과 같다.

• 가환 반환 $(S,+,\cdot ,0,1)$에 대하여,

  $F(S)=\mathbb{Z}[(x_s{)}_{s\in S}]/(\{x_{s+t}-x_s-x_t,x_{st}-x_s{x}_t,x_1-1:s,t\in S\})$

• 가환 반환 $S$, $T$ 및 반환 준동형 $f:S\to T$에 대하여,

  $F(f):[x_s]\mapsto [x_{f(s)}]$

가환 반환의 덧셈 가환 모노이드가 소거 가환 모노이드라면, 대신 다음과 같은 구성을 사용할 수 있다. (이 구성에서, $\sim$이 동치 관계라는 사실의 증명은 소거 법칙을 사용한다.)

• 소거 가환 반환 $S$에 대하여,
  $F(S)=(S\times S)/\sim$
  $(s,t)\sim (s^{\prime },t^{\prime })⟺s+t^{\prime }=t+s^{\prime }$
  $s-t\stackrel{\mathrm{def}}{=}[(s,t){]}_{\sim }$
  $(s-t)+(s^{\prime }-t^{\prime })=(s+s^{\prime })-(t+t^{\prime })$
  $(s-t)\cdot (s^{\prime }-t^{\prime })=(s{s}^{\prime }+t{t}^{\prime })-(s{t}^{\prime }+t{s}^{\prime })$
• 두 소거 가환 반환 $S$, $T$ 사이의 반환 준동형 $f:S\to T$에 대하여,
  $F(f):s-t\mapsto f(s)-f(t)$

자연스러운 반환 준동형

$S\to F(S)$

$s\mapsto [x_s]$

이 존재한다. 만약 $S$의 덧셈 가환 모노이드가 소거 모노이드라면, 이는 단사 함수이며, 다음과 같이 적을 수 있다.

$s\mapsto s-0$

표수가 2가 아닌 체 $K$ 위의 비퇴화 유한 차원 이차 공간들의 동형류들의 집합 $\mathrm{QForm}(K)$을 생각하자. 이 위에 다음과 같은 연산을 부여하면, 가환 반환을 이룬다.

• $(V,Q)+(V^{\prime },Q^{\prime })=(V\oplus V^{\prime },Q\oplus Q^{\prime })$
• $0=(K^0,0)$
• $(V,Q)\cdot (V^{\prime },Q^{\prime })=(V\otimes V^{\prime },Q\otimes Q^{\prime })$
• $1=(K^1,x\mapsto x^2)$

또한, 비트 소거 정리에 따라 $\mathrm{QForm}(K)$의 덧셈 가환 모노이드는 소거 모노이드이다. 따라서, $\mathrm{WG}(K)=F(\mathrm{QForm}(K))$는 가환환이며, $\mathrm{QForm}(K)$를 부분환으로 포함한다. 이를 $K$의 비트-그로텐디크 환이라고 한다.

비트-그로텐디크 환과 비트 환 사이에 전사 환 준동형

$\mathrm{WG}(K)\to \mathrm{Witt}(K)$

$(V,Q)\mapsto (V_1,Q_1)$

이 존재한다. 이 전사 환 준동형의 핵은 분해 이차 공간들과 그 덧셈 역원들로 구성된 아이디얼이다.

성질

함자성

${\mathrm{Field}}_{\mathrm{char}\ne 2}$가 표수가 2가 아닌 체와 체의 확대의 범주라고 하자. 그렇다면, 비트 환과 비트-그로텐디크 환은 함자

$\mathrm{Witt}:{\mathrm{Field}}_{\mathrm{char}\ne 2}\to \mathrm{CRing}$

$\mathrm{WG}:{\mathrm{Field}}_{\mathrm{char}\ne 2}\to \mathrm{CRing}$

를 이룬다. 구체적으로, 체의 확대 $L/K$에 대응하는 환 준동형

$\mathrm{Witt}(K)\to \mathrm{Witt}(L)$

$\mathrm{WG}(K)\to \mathrm{WG}(L)$

은 다음과 같다.

$(V,Q)\mapsto (L{\otimes }_{K}V,(x\mapsto x^2){\otimes }_{K}Q)$

여기서, $(L{\otimes }_{K}V,(x\mapsto x^2){\otimes }_{K}Q)$는 $K$ 위의 이차 공간이지만, $L{\otimes }_{K}V$ 위에 $L$-벡터 공간 구조

$a\cdot (a^{\prime }{\otimes }_{K}v)=(a{a}^{\prime }){\otimes }_{K}v(a,a^{\prime }\in L,v\in V)$

를 부여하면 $L$ 위의 이차 공간을 이룬다. 이 환 준동형에서, 분해 이차 공간의 상은 분해 이차 공간이며, 따라서 이는 비트 환 사이에서도 잘 정의된다.

계수와 행렬식

같은 비트 동치류에 속하는 이차 공간들의 계수들은 모두 짝수이거나 모두 홀수이므로, 비트 환은 자연스러운 환 준동형

$(\dim mod2):\dim :\mathrm{Witt}(K)\to \mathbb{Z}/(2)$

을 갖는다. (곱셈 항등원은 홀수 계수이므로, 이는 $\mathbb{Z}/2$-등급환을 이루지 않는다.) 이 준동형의 핵 $𝔦(K)=\ker (\dim mod2)\subseteq \mathrm{Witt}(K)$을 비트 환의 기본 아이디얼(틀:Llang)이라고 한다.

표수가 2가 아닌 체 위의 비퇴화 이차 형식 $Q$의 행렬식(틀:Llang) 또는 판별식(틀:Llang) $\det Q\in K^{\times }/(K^{\times }{)}^2$은 $Q$를 나타내는 대칭 행렬 $Q(x)=x^{\mathrm{\top }}Mx$의 행렬식 $\det M$의 $K^{\times }/(K^{\times }{)}^2$에서의 동치류이다. 이 경우, 사용하는 기저를 가역 행렬 $A$를 통해 바꾼다면

$A{M}^{\prime }A=M$

$(\det M^{\prime })(\det A{)}^2=\det M$

가 되므로, 비퇴화 이차 형식의 행렬식은 $K^{\times }/(K^{\times }{)}^2$의 원소로서 잘 정의된다.

표수가 2가 아닌 체 $K$에 대하여, 다음과 같은 가환환 $\mathrm{GrQExt}(K)$를 정의하자.

$\mathrm{GrQExt}(K)=\{(d,e):d\in K^{\times }/(K^{\times }{)}^2,e\in \mathbb{Z}/(2)\}$

$(d,e)+(d^{\prime },e^{\prime })=((-1{)}^{e{e}^{\prime }}d{d}^{\prime },e+e^{\prime })$

$(d,e)(d^{\prime },e^{\prime })=(d^{e^{\prime }}d{\text{'}}^{e{e}^{\prime }},e{e}^{\prime })$

즉, $\mathrm{GrQExt}(K)$의 원소는 $K$의 $\mathbb{Z}/(2)$-등급 이차 확대의 동치류로 구성된다고 생각할 수 있다.틀:Rp

그렇다면, 다음과 같은 자연스러운 환 준동형이 존재한다.

$\mathrm{Witt}(K)\to \mathrm{GrQExt}(K)$

$(V,Q)\mapsto ((-1{)}^{({\dim }_{K}V)({\dim }_{K}V-1)/2}\det Q,{\dim }_{K}Vmod2)$

이는 전사 함수이며, 그 핵은 기본 아이디얼의 제곱이다.틀:Rp

하세-비트 불변량

표수가 2가 아닌 체 $K$ 위의 $n$차원 벡터 공간 $V$ 위의 대각화된 비퇴화 이차 형식 $Q=\mathrm{diag}(a_1,a_2,\dots ,a_n)$가 주어졌을 때, 사원수형 대수 (2차원 벡터 공간 위의 클리퍼드 대수) $\left(\frac{a_i,a_j}{K}\right)$들은 (짝수 차원이므로) 중심 단순 대수를 이루며, 따라서 브라우어 군 $\mathrm{Br}(K)$의 원소들의 대표원들을 이룬다. $Q$의 하세-비트 불변량(틀:Llang)은 이 브라우어 군 원소들의 합이다.

$ϵ(V,Q)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=i+1}^n\left[\left(\frac{a_i,a_j}{K}\right)\right]\in \mathrm{Br}(K)$

이는 $Q$의 대각화에 의존하지 않으며, 따라서 체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 이차 형식의 불변량을 이룬다. 또한, 이는 비트 동치류 위의 유함수를 이루며, 따라서 비트 동치류의 불변량을 이룬다.

밀너 환과의 관계

표수가 2가 아닌 체 $K$의 비트 환 $\mathrm{Witt}(K)$의 기본 아이디얼 $𝔦(K)\subseteq \mathrm{Witt}(K)$의 거듭제곱들은 하강 여과를 이룬다.

$\mathrm{Witt}(K)=𝔦(K{)}^0\supseteq 𝔦(K{)}^1\supseteq 𝔦(K{)}^2\supseteq 𝔦(K{)}^3\supseteq \cdots$

이에 대응되는 $\mathbb{N}$-등급환

$R(K)=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}{R}_n(K)$

$R_n(K)=𝔦(K{)}^n/𝔦(K{)}^{n+1}$

을 정의할 수 있다.

체 $K$ 위의 피스터 이차 형식(틀:Llang)은 다음과 같은 꼴의, $2^n$차원 벡터 공간 위의 이차 형식이다.

$\mathrm{diag}(1,-a_1){\otimes }_K\mathrm{diag}(1,-a_2){\otimes }_K\cdots {\otimes }_K\mathrm{diag}(1,-a_n)$

$i(K{)}^n$의 원소들은 모두 유한 개의 $2^n$차원 피스터 이차 형식들의 직합으로 나타낼 수 있다.틀:Rp

체 $K$의 밀너 환

${\mathrm{K}}^{\mathrm{M}}(K)=\frac{\mathrm{T}(K^{\times };\mathbb{Z})}{(a\otimes (1-a){)}_{a\in K\setminus \{0,1\}}}$

의 원소를 $\{a_1,a_2,\dots ,a_n\}\in {\mathrm{K}}_n^{\mathrm{M}}(K)$로 표기하자. 그렇다면, 피스터 형식을 통해 밀너 환에서 위 등급환으로 가는 등급환 준동형을 정의할 수 있다.

${\mathrm{K}}_{\bullet }^{\mathrm{M}}(K)\to R_{\bullet }(K)$

$\{a_1,\dots ,a_n\}\mapsto \mathrm{diag}(1,-a_1){\otimes }_K\mathrm{diag}(1,-a_2){\otimes }_K\cdots {\otimes }_K\mathrm{diag}(1,-a_n)$

이차 형식에 대한 밀너 추측(틀:Llang)에 따르면, 이 준동형은 등급환의 동형을 이룬다. 이는 존 밀너가 추측하였으며, 2007년에 드미트리 오를로프(틀:Llang) · 알렉산드르 비시크(틀:Llang) · 블라디미르 보예보츠키가 증명하였다.

예

복소수체

$K$가 표수가 2가 아닌 이차 폐체(틀:Llang, 모든 원소가 제곱근을 갖는 체)라고 하자. (예를 들어, $K$가 복소수체이거나, 표수가 2가 아닌 체의 대수적 폐포인 경우 이에 해당된다.) 그렇다면, 유한 차원 복소수 벡터 공간 $K^n$ 위의 이차 형식은 그 계수 $r$에 따라서 완전히 분류된다.

$K$ 위의 계수가 2 이상인 이차 형식은 항상 등방성 벡터를 갖는다. 따라서, $K$ 위의 이차 형식의 핵심은 항상 0차원이거나 1차원이다. 이에 따라, $K$의 비트 환은 $\mathbb{Z}/(2)$이다.틀:Rp

대수적으로 닫힌 체의 브라우어 군은 자명하므로, 이 경우 하세-비트 불변량 역시 자명하다.

실수체

$(K,\le )$가 에우클레이데스 체(틀:Llang, 모든 양수가 제곱근을 갖는 순서체)라고 하자. (예를 들어, $K$가 실수체 $ℝ$이거나 보다 일반적으로 실폐체일 경우 이에 해당된다.)

$K$의 비트 환은 $\mathbb{Z}$와 동형이다.틀:Rp

$\mathrm{Witt}(K)\cong \mathbb{Z}$

이 동형은 구체적으로 다음과 같다.

• 계수 $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$의 양의 정부호 형식은 $n$에 대응한다.
• 계수 $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$의 음의 정부호 형식은 $-n$에 대응한다.
• 0차원의 벡터 공간 위의 형식은 $0$에 대응한다.

실수체의 브라우어 군은 실수체와 사원수환 $ℍ$로 구성되며, 2차 순환군이다.

$\mathrm{Br}ℝ=\{ℝ,ℍ\}\cong \mathrm{Cyc}(2)$

이 경우 힐베르트 기호가

$\left(\frac{a,b}{ℝ}\right)=\{\begin{array}{cc}-1& \max \{a,b\}<0\\ +1& \max \{a,b\}>0\end{array}$

이므로, 유한 차원 실수 벡터 공간 위의 부호수 $(n_{+},n_{-})$의 비퇴화 이차 형식 $Q$의 하세-비트 불변량은

$ϵ(Q)=(-1{)}^{s(s-1)/2}$

이다.

국소체

비아르키메데스 국소체 $K$의 대수적 정수환의 잉여류체의 크기가 $q$라고 하고, $q$가 홀수라고 하자. 그렇다면, $K$의 비트 환은 다음과 같다.틀:Rp

$\mathrm{Witt}(K)\cong \{\begin{array}{cc}(\mathbb{Z}/(2))[\mathrm{Cyc}(2)\oplus \mathrm{Cyc}(2)]& q\equiv 1(\mathrm{mod}4)\\ ((\mathbb{Z}/(4))[\mathrm{Cyc}(2)]& q\equiv 3(\mathrm{mod}4)\end{array}$

여기서 $\mathrm{Cyc}(2)$는 2차 순환군이며, $R[G]$는 군환을 뜻한다.

유리수체

유리수체 $\mathbb{Q}$의 비트 환의 크기는 32이며, 다음과 같다.틀:Rp

$W(\mathbb{Q})\cong (\mathbb{Z}/(8))[s,t]/(2s,2t,s^2,t^2,st-4)$

홀수 표수의 유한체

표수가 2가 아닌 유한체 ${𝔽}_q$ 위의 벡터 공간 ${𝔽}_q^n$ 위의 이차 형식의 동치류는 총 $2n+1$개가 있으며, 이들 가운데 비퇴화 이차 형식인 것은 두 개이다.

이들은 구체적으로 다음과 같다. $a\in {𝔽}_q$가 제곱수가 아닌 임의의 수라고 하자.

$\nexists b\in {𝔽}_q:b^2=a$

이러한 수는 항상 존재한다. 그렇다면, 모든 비퇴화 이차 형식(의 연관 대칭 쌍선형 형식)은 다음 두 대각 행렬 가운데 정확히 하나와 서로 동치이다.

$Q_1^{(n)}=\mathrm{diag}(1,\dots ,1,1)$

$Q_2^{(n)}=\mathrm{diag}(1,\dots ,1,a)$

즉, 다음과 같은 꼴이다.

$Q_1^{(n)}(x)=x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2$

$Q_2^{(n)}(x)=x_1^2+x_2^2+\cdots +a{x}_n^2$

만약 $n$이 홀수라면, $Q_2^{(n)}$는 $\alpha Q_1^{(n)}$과 동치이다.틀:Rp 이 경우 비트 지표는 $Q_1^{(n)}$, $Q_2^{(n)}$ 둘 다 $(n-1)/2$이다.

만약 $n$이 짝수라면, $Q_1^{(n)}$은 $\alpha Q_1^{(n)}$과 동치이며, 비트 지표는 다음과 같다.틀:Rp

• $n\equiv 2(\mathrm{mod}4)$이며 $q\equiv 3(\mathrm{mod}4)$인 경우, $Q_1^{(n)}$의 비트 지표는 $n/2-1$이며 $Q_2^{(n)}$의 비트 지표는 $n/2$이다.
• $n\equiv 0(\mathrm{mod}4)$이거나 또는 $q\equiv 1(\mathrm{mod}4)$인 경우, $Q_1^{(n)}$의 비트 지표는 $n/2$이며 $Q_2^{(n)}$의 비트 지표는 $n/2-1$이다.

이 경우, 비트 지표가 $n/2$인 경우를 플러스형(틀:Llang), $n/2-1$인 경우를 마이너스형(틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp

비트 분해 정리에 의하여, 모든 (퇴화 또는 비퇴화) 이차 형식은 비퇴화 이차 형식과 0의 직합과 동치이다. 즉, 다음 두 꼴 가운데 하나와 동치이다.

$\mathrm{diag}(1,\dots ,1,1,0,\dots ,0)$

$\mathrm{diag}(1,\dots ,1,a,0,\dots ,0)$

홀수 차수 유한체 ${𝔽}_q$의 비트 환의 크기는 4이며, 이는 $q$에 따라 구체적으로 다음과 같다.틀:Rp

$W({𝔽}_q)\cong \{\begin{array}{cc}\mathbb{Z}/(4)& q\equiv 3(\mathrm{mod}4)\\ {𝔽}_2[{𝔽}_q^{\times }/({𝔽}_q^{\times }{)}^2]& q\equiv 1(\mathrm{mod}4)\end{array}$

이 동형은 구체적으로 다음과 같다.

$q\equiv 3(\mathrm{mod}4)$인 경우

$\mathbb{Z}/(4)$	0	1	2	3
$W({𝔽}_q)$	$Q_1^{(0)}$	$Q_1^{(1)}$	$Q_1^{(2)}$	$Q_2^{(1)}$

$q\equiv 1(\mathrm{mod}4)$인 경우

${𝔽}_2[x]/(x^2)$	0	1	x	1+x
$\mathrm{Witt}({𝔽}_q)$	$Q_1^{(0)}$	$Q_1^{(1)}$	$Q_2^{(2)}$	$Q_2^{(1)}$

역사

에른스트 비트(1911~1991)는 1937년 하빌리타치온 논문에서 비트 소거 정리와 비트 분해 정리 및 비트 환의 개념을 도입하였다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:Eom