삼차 형식

틀:위키데이터 속성 추적 대수기하학과 대수적 수론에서, 삼차 형식(三次型式, 틀:Llang)은 어떤 벡터 공간 또는 가군 위에 정의된 3차 동차 다항식이다. 즉, 선형 형식과 이차 형식의 다음 차수의 동차 다항식이다.

정의

표수 0의 경우

가환환 $K$가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

• $\alpha -\beta \subseteq \mathrm{Unit}(K)$인 $\alpha ,\beta \in \mathrm{Unit}(K)$가 존재한다.

여기서 $\mathrm{Unit}(K)$는 $K$의 가역원군이다.

특히, 만약 $K$에서 ½이 존재한다면, 이 조건이 충족된다. 이 경우

$(\alpha ,\beta )=(+1,-1)$

을 잡을 수 있다.

이 경우, $K$-자유 가군 $M$ 위의 삼차 형식은 다음 조건을 만족시키는 함수

$f:K\to M$

이다.

$f(\alpha x)={\alpha }^{3}f(x)\mathrm{\forall }\alpha \in K,x\in M$

일반적 경우

일반적으로 삼차 형식의 분해를 잘 정의하기 위해서는 삼차 형식의 함수 말고도 스칼라 확대를 잘 정의하는 추가 데이터가 필요하다.틀:Rp

가환환 $K$ 위의 가군 $M$ 위의 삼차 형식은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 함수 $f:M\to K$
• 함수 $\tilde{f}:M{\otimes }_{K}K[t]\to K[t]$

이는 다음과 같은 호환 관계를 만족켜야 한다.

• $f(\alpha x)={\alpha }^{3}f(x)\mathrm{\forall }\alpha \in K,x\in M$
• $f(\tilde{\alpha }\tilde{x})={\tilde{\alpha }}^3\tilde{f}(\tilde{x})\mathrm{\forall }\tilde{\alpha }\in K[t],\tilde{x}\in M{\otimes }_{K}K[t]$
• ${\iota }_{K\to K[t]}\circ f=f\circ {\iota }_{M\to M{\otimes }_{K}K[t]}$. 여기서 ${\iota }_{K\to K[t]}:K\to K[t]$ 및 <mah>\iota_{M\to M\otimes_KK[t]} \colon M \to M\otimes_KK[t]</math>는 다항식환의 상수 다항식으로 가는 단사 환 준동형 또는 가군 준동형이다.

만약 $K$가 “충분히 크다면” (즉, 첫째 정의에 등장하는 조건을 만족시킨다면), $\tilde{f}$를 $f$로부터 재구성할 수 있으나, 이는 일반적으로 성립하지 못할 수 있다.

삼차 형식의 분해

삼차 형식 $f:M\to K$가 주어졌을 때, $f$를

$f({\lambda }_1{x}_1+{\lambda }_2{x}_2+{\lambda }_3{x}_3)={\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_{3}A(x_1,x_2,x_3)+\sum _{i,j=1}^3{\lambda }_i^2{\lambda }_{j}B(x_i,x_j)+\sum _{i=1}^3{\lambda }_i^{3}f(x_i)$

와 같이 분해할 수 있다. 여기서 $A$는 가군 준동형

$A:{\mathrm{Sym}}^3(M;K)\to K$

을 정의하며,

$A(x,y,z)=B(x+z,y)-B(x,y)-B(z,y)$

$A(x,y,x)=2B(x,y)$

$A(x,x,x)=6f(x)$

이다.

즉, 만약 $K$에서 6이 가역원이라면, $A$로부터 $f$를 재구성할 수 있다.

분류

일반적으로 삼차 형식의 분류는 불가능하며, 그 분석은 복잡한 대수기하학을 요구한다. 다만, 비교적 간단한 체(복소수체, 실수체 등)에서 2항 삼차 형식은 분류될 수 있다. 이는 $n$항 삼차 형식은

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+2}{3})=(n+2)(n+1)n/6$

개의 계수를 갖는데, $n$차원 공간 위의 일반선형군 $\mathrm{GL}(n;K)$은 $n^2$차원이다. 즉, 그 모듈라이 공간은 일반적으로 $(n+2)(n+1)n/6-n^2$차원이 된다. $n=2$일 때 이는 0이지만, $n>2$일 때 이는 양수가 되게 된다.

복소수 2항 삼차 형식

모든 복소수 2항 삼차 형식은 $\mathrm{GL}(2;ℂ)$의 작용을 통해 다음과 같은 표준 형식 가운데 하나로 놓을 수 있다.틀:Rp

• $x^3$
• $x^3+y^3$
• $x^{2}y$
• $0$

실수 2항 삼차 형식

모든 실수 2항 삼차 형식은 $\mathrm{GL}(2;ℝ)$의 작용을 통해 다음과 같은 표준 형식 가운데 하나로 놓을 수 있다.틀:Rp

• $x^3$
• $x^3+y^3$
• $x^{2}y$
• $x(x^2-y^2)$
• $0$

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:Nlab