국소체

틀:위키데이터 속성 추적 대수적 수론에서 국소체(局所體, 틀:Llang)는 위상체의 한 종류다. 대역체의 완비화로 얻어진다.

정의

위상체 $K$에 대하여, 다음 세 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상체를 국소체라고 한다.

• 이산 공간이 아닌 국소 콤팩트 공간이다.
• 실수체 또는 복소수체이거나, 아니면 어떤 이산 값매김(discrete valuation)에 대하여 완비 거리 공간을 이루고, 또한 그 이산 값매김환의 잉여류체가 유한체이다.
• 다음 목록 가운데 하나와 동형이다.
  • (아르키메데스 체) 실수체 $ℝ$ 또는 복소수체 $ℂ$
  • (체의 표수가 0인 비아르키메데스 체) p진수 ${\mathbb{Q}}_p$의 유한 확대
  • (체의 표수가 양수인 비아르키메데스 체) 유한체 계수의 형식적 로랑 급수체 ${𝔽}_{p^n}((x))$

비아르키메데스 국소체

비아르키메데스 국소체 $K$의 이산 값매김 $|\cdot |$에 대하여,

${𝒪}_K=\{a\in K:|a|\le 1\}$

은 이산 값매김환을 이루며, 이를 $K$의 대수적 정수환이라고 한다. ${𝒪}_K$의 가역원군은

${𝒪}_K^{\times }=\{a\in K:|a|=1\}$

이며, ${𝒪}_K$의 유일한 0이 아닌 소 아이디얼은

$𝔪=\{a\in K:|a|<1\}$

이다. ${𝒪}_K$는 주 아이디얼 정역이므로 $𝔪$은 주 아이디얼인데, $𝔪$의 생성원을 균일화자(틀:Llang) $\varpi \in {𝒪}_K$라고 한다. ${𝒪}_K$의 잉여류체 ${𝒪}_K/𝔪$는 유한체이다.

비아르키메데스 국소체 $K$의 $n$차 가역원군(틀:Llang)은 다음과 같다.

$U_K^{(n)}=1+{𝔪}^n=\{u\in {𝒪}_K^{\times }:u\equiv 1(\mathrm{mod}{𝔪}^n)\}$

0차 가역원군은 (통상적) 가역원군 ${𝒪}_K^{\times }$이다. 이에 대하여

${𝒪}_K^{\times }=U_K^{(0)}\supseteq U_K^{(1)}\supseteq \cdots$

이며,

${𝒪}_K^{\times }/U_K^{(n)}\cong (𝒪/{𝔪}^n{)}^{\times }$

이다.

가역원군의 구조

국소체 $K$의 가역원군의 구조는 다음과 같다. 만약 $K$가 아르키메데스 체일 경우,

${ℝ}^{\times }\cong (\mathbb{Z}/(2))\times ℝ$

${ℂ}^{\times }\cong (ℝ/(2\pi ))\times ℝ$

는 매우 익숙한 아벨 군이다.

만약 $K$가 비아르키메데스 체일 경우,

$K^{\times }\cong (\varpi )\times {\mu }_{q-1}\times U_K^{(1)}$

이다. 여기서 $(\varpi )$는 $K$의 정수환의 유일 극대 아이디얼이며, ${\mu }_{q-1}$은 $K$의 정수환의 잉여류체 ${𝒪}_K/(\varpi )$의 1의 거듭제곱근들의 군이며, $U_K^{(1)}$는 1차 가역원군이다. 구체적으로, 만약 $K$가 ${\mathbb{Q}}_p$의 차수가 $d$인 유한 확대라면

$K^{\times }\cong \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/(q-1)\oplus \mathbb{Z}/p^a\oplus {\mathbb{Z}}_p^d$

이다. 여기서 $q$는 $K$의 정수환의 잉여류체의 크기다. 만약 $K={𝔽}_{p^n}((x))$이라면

${({𝔽}_{p^n}((x)))}^{\times }\cong \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/(p^n-1)\oplus {\mathbb{Z}}_p^{\mathbb{N}}$

이다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Nlab

같이 보기

• 대역체
• 유체론