이차 초곡면

틀:위키데이터 속성 추적 기하학에서 이차 초곡면(二次超曲面, 틀:Llang)은 이차 다항식으로 정의되는 대수다양체이다.

정의

체 $K$ 에 대한 $n$ 변수 2차 다항식 $P (x_{1}, \dots, x_{n})$ 이 주어졌을 때, $P$ 에 대응하는 이차 초곡면은 다음과 같다.

Spec 𝔸_{K}^{n} / (P (x_{1}, \dots, x_{n}))

즉,

{(x_{1}, \dots, x_{n}) \in 𝔸_{K}^{n} : P (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = 0}

이다. 이는 일반적으로 $n - 1$ 차원 아핀 대수다양체를 이룬다.

만약 $P$ 가 이차 형식일 경우, 사영 공간 위에도 이차 초곡면을 정의할 수 있다. 즉, 주어진 이차 형식 $Q (x_{0}, \dots, x_{n})$ 이 0이 되는 동차 좌표를 갖는 점들로 구성된 사영 대수다양체를 생각할 수 있다. 이는 $n$ 차원 사영 공간 속의 $n - 1$ 차원 사영 대수다양체를 이룬다.

2차원 이차 초곡면을 이차 곡면(틀:Llang)이라고 한다.

예

1차원 이차 초곡면

틀:본문 유클리드 공간의 1차원 이차 초곡면은 원뿔 곡선이라고 한다.

이차 곡면

유클리드 공간의 이차 곡면들은 다음과 같이 14가지가 있다.

비퇴화 이차 곡면
타원면	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$	회전타원면	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{z^{2}}{b^{2}} = 1$	구	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{z^{2}}{a^{2}} = 1$
타원 포물면	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - z = 0$	원 포물면	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} - z = 0$	쌍곡 포물면	$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} - z = 0$
일엽 쌍곡면	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$	이엽 쌍곡면	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}} = - 1$
퇴화 이차 곡면
타원뿔	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}} = 0$	원뿔	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{z^{2}}{b^{2}} = 0$	포물 기둥	$x^{2} + 2 a y = 0$
타원기둥	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$	원기둥	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$	쌍곡 기둥	$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$