그람-슈미트 과정

그람-슈미트 과정의 기본 원리

그람-슈미트 과정(Gram-Schmidt過程, 틀:Llang) 또는 그람-슈미트 단위직교화(Gram-Schmidt單位直交化, 틀:Llang)는 내적공간에서 유한 개의 일차독립 벡터 집합을 정규 직교 기저로 변환하는 방법이다. $𝐯$에서 $𝐮$ 위로 정사영한 ${\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}_{𝐮}(𝐯)$를 빼서 직교 성분을 구할 수 있다는 것을 이용한 것이다.

과정

그람-슈미트 과정의 시각화

내적공간 $V$의 기저 $\{{𝐯}_1,{𝐯}_2,\cdots ,{𝐯}_k\}$이 주어졌다고 하자. 사영 연산자를 다음과 같이 정의한다.

${\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}_{𝐮}(𝐯)=\frac{⟨𝐮,𝐯⟩}{⟨𝐮,𝐮⟩}𝐮$

$⟨𝐮,𝐯⟩$는 벡터 u 와 v에 대한 내적이고, $⟨𝐮,𝐯⟩={𝐮}^{\mathrm{\top }}𝐯$ (혹은 $⟨𝐮,𝐯⟩={𝐮}^{*}𝐯$) 로 정의된다.

먼저 각 벡터 ${𝐯}_i$를 ${𝐮}_1,{𝐮}_2,\cdots ,{𝐮}_{i-1}$와 직교적인 벡터 ${𝐮}_i$으로 만든다. 구체적으로는 다음과 같은 연산을 거친다.

${𝐮}_1={𝐯}_1$

${𝐮}_2={𝐯}_2-{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}_{{𝐮}_1}({𝐯}_2)$

${𝐮}_3={𝐯}_3-{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}_{{𝐮}_1}({𝐯}_3)-{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}_{{𝐮}_2}({𝐯}_3)$

$⋮$

${𝐮}_k={𝐯}_k-\sum _{j=1}^{k-1}{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j}}_{{𝐮}_j}({𝐯}_k)$

이렇게 생성된 $\{{𝐮}_1,{𝐮}_2,\cdots ,{𝐮}_k\}$ 집합은 직교적이다. 이제, 벡터 ${𝐞}_i$를

${𝐞}_i=\frac{{𝐮}_i}{\Vert {𝐮}_i\Vert }$

로 정의하면 $V$의 정규 직교 기저 $\{{𝐞}_1,{𝐞}_2,\cdots ,{𝐞}_k\}$를 얻는다.

$\Vert \Vert$는 노름

역사

원래 피에르시몽 라플라스와 오귀스탱루이 코시의 논문에 등장하였다. 이후 덴마크의 예르겐 페데르센 그람(틀:Llang)과 독일계 에스토니아 태생의 에르하르트 슈미트(틀:Llang)가 명시적으로 이를 다루었으며, 이들의 이름을 땄다.

같이 보기

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외부 링크

• 틀:Eom