바나흐 공간

틀:위키데이터 속성 추적 함수해석학에서 바나흐 공간(Banach空間, 틀:Llang)은 완비 노름 공간이다. 함수해석학의 주요 연구 대상 가운데 하나다. 스테판 바나흐의 이름을 땄다.

정의

$𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

$𝕂$-노름 공간 $(X,\Vert \cdot \Vert )$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $𝕂$-노름 공간을 $𝕂$-바나흐 공간이라고 한다.

• (노름으로 정의한 거리 함수를 부여하면) 완비 거리 공간이다. 즉, 모든 코시 열이 수렴한다.
• 모든 절대 수렴 급수가 수렴한다. 즉, 임의의 점렬 $(v_i{)}_{i\in \mathbb{N}}\subseteq X$에 대하여, 만약 $\sum _{i\in \mathbb{N}}\Vert v_i\Vert <\mathrm{\infty }$라면, 급수 $\sum _{i\in \mathbb{N}}{v}_i$ 역시 (노름으로 정의한 거리 위상에 대하여) 수렴한다.틀:Rp

체 $𝕂$를 실수체 또는 복소수체로 국한하는 이유는 노름 공간에 완비성을 가정하려면 그 체가 완비되어야 하기 때문이다. (예를 들어, 유리수체는 완비되지 못한다.)

부분 공간

$𝕂$-바나흐 공간 $V$의 부분 벡터 공간 $\iota :W\hookrightarrow V$가 주어졌다고 하자. 만약 $W$가 닫힌집합이라면 $W$는 역시 바나흐 공간을 이룬다.

만약 다음 조건을 만족시키는 선형 변환 $P:V\to W$가 존재한다면, $W$를 여공간을 가지는 부분 공간(틀:Llang)라고 한다.

• $P$는 전사 함수이다.
• $\iota \circ P:V\to V$는 ($W$로의) 사영이다. 즉, $\iota \circ P\circ \iota \circ P=\iota \circ P$이다.
• $P$는 유계 작용소이다.

여분 부분 공간은 (연속 함수의 상이므로) 항상 닫힌집합이다. 즉, 바나흐 공간의 부분 벡터 공간에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

여공간을 가지는 부분 공간 ⇒ 닫힌 부분 벡터 공간 ⇒ 부분 벡터 공간

여분 부분 공간 $W\subseteq V$가 주어졌을 때, 바나흐 공간 $V$를 다음과 같이 분해할 수 있다.

$V=W\oplus \ker P$

그러나 이러한 $P$는 유일하지 않을 수 있다.

연산

완비화

$𝕂$-노름 공간 $V$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 조건을 만족시키는 $𝕂$-바나흐 공간 $\overline{V}$ 및 등거리 선형 변환 $\iota :V\to \overline{V}$가 존재한다.

• 상 $\iota (V)\subseteq \overline{V}$는 $\overline{V}$의 조밀 집합이다.

또한, 이는 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다.

• 임의의 $𝕂$-바나흐 공간 $W$ 및 등거리 선형 변환 $j:V\to W$에 대하여, 만약 $j(V)$가 조밀 집합이라면, $j=i\circ \iota$인 바나흐 공간 동형 사상(=등거리 선형 위상 동형 사상) $i:\overline{V}\to W$가 존재한다.

$\overline{V}$는 거리 공간으로서 $V$의 거리 공간 완비화와 같다. 만약 $V$가 이미 바나흐 공간이라면 $\iota$는 바나흐 공간 동형 사상이다.

부분 공간과 몫공간

$𝕂$-바나흐 공간 $X$의 $𝕂$-부분 벡터 공간 $Y\subseteq X$에 제한 노름 $\Vert {\Vert }_X\upharpoonright Y$를 부여하면, 이는 노름 공간을 이룬다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $Y$는 $𝕂$-바나흐 공간을 이룬다.
• $Y$는 닫힌집합이다.

또한, 닫힌 부분 벡터 공간 $Y\subseteq X$에 대한 몫공간 $X/Y$ 위에

$\Vert x+Y\Vert =\underset{y\in Y}{\inf }\Vert x+y\Vert$

으로 노름을 주자. 그렇다면 $X/Y$ 역시 $𝕂$-바나흐 공간을 이룬다.

상

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• $𝕂$-바나흐 공간 $X$
• $𝕂$-노름 공간 $Y$
• 연속 열린 $𝕂$-선형 변환 $T:X\to Y$

그렇다면, $T(X)$는 $𝕂$-바나흐 공간이다.

직합

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• $𝕂$-노름 공간의 집합 $(V_i{)}_{i\in I}$
• 확장된 실수 $1\le p\le \mathrm{\infty }$

그렇다면, 직합

$\tilde{V}=\underset{i\in I}{⨁}{V}_i$

위에 다음과 같은 노름을 정의하자.

$\Vert \underset{i\in I}{⨁}{v}_i\Vert =\{\begin{array}{cc}\sqrt[p]{\sum _{i\in I}\Vert v_i{\Vert }_{V_i}^p}& p<\mathrm{\infty }\\ \underset{i\in I}{\max }\Vert v_i{\Vert }_{V_i}& p=\mathrm{\infty }\end{array}$

그렇다면, $\tilde{V}$는 $𝕂$-내적 공간을 이룬다.

만약 $I$가 유한 집합이라면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 모든 $i$에 대하여 $V_i$가 바나흐 공간이다.
• $\tilde{V}$는 바나흐 공간이다.

이 경우, $\tilde{V}$의 ($p$-노름으로 정의되는) 위상은 $p$에 의존하지 않는다.

그러나 만약 $I$가 무한 집합이라면, $V_i$가 모두 바나흐 공간이라도 $\tilde{V}$가 바나흐 공간이 아닐 수 있다. 이 경우 $\tilde{V}$의 완비화 $V$를 취해야 하며, 그 결과는 일반적으로 $p\in [1,\mathrm{\infty }]$에 따라 다르다.

텐서곱

힐베르트 공간의 경우 간단하고 유일한 텐서곱이 존재하지만, 바나흐 공간의 텐서곱 이론은 유일하지 않으며 복잡하다. 특히, 대략 "최대" 텐서곱인 사영 위상 텐서곱(틀:Llang)과 "최소" 텐서곱인 단사 위상 텐서곱(틀:Llang)이 존재한다. 이 둘은 일반적으로 서로 다르며, 또한 (힐베르트 공간의 경우) 힐베르트 텐서곱과도 다르다.

성질

바나흐 공간 사이의 선형 변환

바나흐-샤우데르 정리(-定理, 틀:Llang) 또는 열린 사상 정리(-寫像定理, 틀:Llang)에 따르면, 임의의 두 $𝕂$-바나흐 공간 $V$, $W$ 사이의 전사 유계 작용소 $T:V\to W$는 열린 함수이다.틀:Rp 특히, 두 바나흐 공간 사이의 전단사 선형 변환은 항상 위상 벡터 공간의 동형 사상이다. (그러나 이는 등거리 변환이 아닐 수 있다.)

이 정의는 베르 범주 정리를 사용하여 다음과 같이 증명될 수 있다.

증명:

$V$ 속의 단위 열린 공의 상

$T({\mathrm{ball}}_V(0,1))$

이 $0_W$의 근방임을 증명하면 족하다.

우선, $V$는 다음과 같은 열린 공들의 합집합이다.

$V=\bigcup _{n\in {\mathbb{Z}}^{+}}{\mathrm{ball}}_V(0,n)$

$T$가 전사 함수이므로

$W=T(V)=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}T({\mathrm{ball}}_V(0,n))$

이다.

베르 범주 정리에 따라서, 바나흐 공간 $W$는 가산 개의 조밀한 곳이 없는 집합들의 합집합으로 표현될 수 없다. 따라서,

${\mathrm{ball}}_W(nc,nr)\subseteq \mathrm{cl}\left(T({\mathrm{ball}}_V(0,n))\right)$

인 양의 정수 $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ 및 $c\in W$ 및 양의 실수 $r>0$가 존재한다. ($\mathrm{ball}(-,-)$는 열린 공을 뜻한다.) 즉,

${\mathrm{ball}}_W(c,r)\subseteq \mathrm{cl}\left(T({\mathrm{ball}}_V(0,1))\right)$

이다.

이제,

${\mathrm{ball}}_W(0,r)\subseteq \mathrm{cl}\left(T({\mathrm{ball}}_V(0,1))\right)$

를 증명하자. 우선,

$\mathrm{cl}\left(T({\mathrm{ball}}_V(0,1))\right)=-\mathrm{cl}\left(T({\mathrm{ball}}_V(0,1))\right)$

이므로, 임의의 $w\in {\mathrm{ball}}_W(0,r)$에 대하여,

$w\pm c\in \mathrm{ball}(\pm c,r)\subseteq \mathrm{cl}\left(T({\mathrm{ball}}_V(0,1))\right)$

이며, $\mathrm{cl}\left(T({\mathrm{ball}}_V(0,1))\right)$는 볼록 집합이므로

$w=\frac{(w+c)+(w-c))}{2}\in \mathrm{cl}\left(T({\mathrm{ball}}_V(0,1))\right)$

이다.

이제

${\mathrm{ball}}_W(0,r/2)\subseteq T(\frac{2}{r}{\mathrm{ball}}_V(0,1))$

를 증명하면 족하다. 즉, 임의의 $w\in {\mathrm{ball}}_W(0,r/2)$에 대하여, $Tv=w$인 $v\in V$를 찾으면 족하다.

다음 두 조건을 만족시키는 벡터열 $(v_1,v_2,\dots )$을 재귀적으로 고를 수 있다.

$\Vert v_i\Vert <2^{-i}\mathrm{\forall }i\in {\mathbb{Z}}^{+}$

$\Vert w-T{v}_1-\cdots -T{v}_i\Vert <2^{-i-1}r\mathrm{\forall }i\in {\mathbb{Z}}^{+}$

(이는 $r$의 정의에 따라 가능하다.) 그렇다면, 바나흐 공간에서 절대 수렴 급수는 수렴하므로,

$v=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_i\in {\mathrm{ball}}_V(0,1)$

를 정의할 수 있다. $T$가 연속 함수이므로

$Tv=w$

이다.

특히, 이에 따라 두 바나흐 공간 사이의 전단사 유계 작용소는 위상 벡터 공간의 동형이다.틀:Rp 또한, 바나흐 공간의 닫힌 그래프 정리(틀:Llang)에 따르면, 두 $𝕂$-바나흐 공간 $V$, $W$ 사이의 $𝕂$-선형 변환 $T:V\to W$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 연속 함수이다.
• 유계 작용소이다.
• $\mathrm{graph}T=\{(v,Tv):v\in V\}\subseteq V\oplus W$는 (곱위상을 부여한) $V\oplus W$ 속의 닫힌집합이다.

증명:

연속 함수 ⇔ 유계 작용소는 임의의 노름 공간에서 성립한다. 연속 함수 ⇒ 닫힌 그래프는 위상수학에서의 닫힌 그래프 정리로부터 함의된다. 따라서, 닫힌 그래프 ⇒ 연속 함수만을 보이면 된다.

$\mathrm{graph}T\subseteq V\oplus W$가 닫힌집합이라 가정하자. 이에 따라 $\mathrm{graph}T$는 (임의의 $p\in [1,\mathrm{\infty }]$에 대한 노름을 주면) 바나흐 공간을 이룬다. 두 사영 함수

${\pi }_V:\mathrm{graph}T\twoheadrightarrow V$

${\pi }_W:\mathrm{graph}T\twoheadrightarrow W$

는 정의에 따라 연속 함수이다. ${\pi }_V$는 전단사 함수이므로, 바나흐-샤우데르 정리에 의하여 ${\pi }_V$는 위상 동형 사상이다. 따라서

$T={\pi }_W\circ {\pi }_V^{-1}:V\to W$

역시 연속 함수이다.

즉, 두 바나흐 공간 사이의 유계 작용소에 대하여 다음 함의 관계가 성립한다.

닫힌 그래프 선형 변환
⇕
연속 선형 변환
⇕
유계 작용소	⇐	전사 유계 작용소	⇒	열린 유계 작용소
⇑		⇑
단사 유계 작용소	⇐	전단사 유계 작용소	⇒	닫힌 유계 작용소
		⇕
		위상 동형 유계 작용소

이 밖에도, 두 바나흐 공간 사이의 유계 작용소의 열에 대하여 균등 유계성 원리가 성립한다.

함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

$𝕂$-힐베르트 공간	⇒	$𝕂$-반사 바나흐 공간	⇒	$𝕂$-바나흐 공간
⇓				⇓
$𝕂$-내적 공간	⟹			$𝕂$-노름 공간

샤우데르 기저

틀:본문 벡터 공간의 (하멜) 기저나 힐베르트 공간의 정규 직교 기저와 달리, 바나흐 공간 이론에서 기저의 개념은 복잡하다. 바나흐 공간의 경우 샤우데르 기저라는 개념을 정의할 수 있지만, 샤우데르 기저를 갖지 않는 바나흐 공간이 존재하며, 또한 샤우데르 기저의 원소들의 순서가 중요하다.

바나흐 공간 위의 미적분학

틀:본문 바나흐 공간 속의 열린집합 위에 정의된 함수의 경우, 프레셰 도함수라는 일종의 도함수를 정의할 수 있다. 이를 통해, 바나흐 공간 위의 (비선형) 미적분학을 전개할 수 있다.

분류

분해 가능 바나흐 공간에 대하여 다음과 같은 분류 정리가 존재한다.

L¹의 몫공간으로의 표현

모든 분해 가능 $𝕂$-바나흐 공간은 르베그 공간 ${\ell }^1(𝕂)$의 몫공간이다. 즉, ${\ell }^1(𝕂)$에 닫힌 $𝕂$-부분 벡터 공간 $M$이 존재하여, $X\cong {\ell }^1(𝕂)/M$이다.

${𝒞}^0$의 부분 공간으로의 표현

바나흐-마주르 정리(Banach-Mazur定理, 틀:Llang)에 따르면, 임의의 $𝕂$-바나흐 공간 $V$에 대하여 다음이 성립한다.

• 어떤 콤팩트 하우스도르프 공간 $K$ 및 등거리 $𝕂$-선형 변환 $\iota :V\to {𝒞}^0(K,𝕂)$가 존재한다.
• 만약 $V$가 분해 가능 공간이라면, 등거리 $𝕂$-선형 변환 $\iota :V\to {𝒞}^0([0,1],𝕂)$가 존재한다.

여기서 ${𝒞}^0(-,𝕂)$는 $𝕂$값의 연속 함수들의 바나흐 대수이며, 그 위의 노름은

$\Vert f\Vert =\underset{x\in K}{\sup }|f(x)|$

이다.

이는 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다. 분해 가능 실수 바나흐 공간 $V$가 주어졌을 때, 그 연속 쌍대 공간 $V^{\prime }$의 단위 닫힌 공 $K={\mathrm{ball}}_{V^{\prime }}(0,1)$을 생각하고, 그 위에 약한-* 위상을 부여하자. 이는 바나흐-앨러오글루 정리에 의하여 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 약한-* 위상의 정의에 따라, 임의의 $v\in V$에 대하여 연속 함수

$K\to 𝕂$

$f\mapsto f(v)$

는 연속 함수이다. 즉, 이는 연속 함수

$V\to {𝒞}^0(K)$

$v\mapsto (f\mapsto f(x))$

를 정의한다. 이는 등거리 선형 변환임을 쉽게 보일 수 있다.

만약 $V$가 추가로 분해 가능 공간이라면, ${𝒞}^0(K,ℝ)$는 ${𝒞}^0([0,1],ℝ)$의 부분 공간으로 등거리 매장할 수 있음을 보일 수 있다.

바나흐-마주르 거리

바나흐-마주르 콤팩트 공간(틀:Llang)이라는, 유한 차원 바나흐 공간의 일종의 모듈라이 공간이 존재한다.

자연수 $n$ 및 $𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$ 및 두 $n$차원 실수 바나흐 공간 $V$, $W$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 사이의 전단사 $𝕂$-선형 변환들의 공간 $\mathrm{GL}(V,W)$을 생각할 수 있다. 이 경우, $V$와 $W$ 사이의 바나흐-마주르 거리(틀:Llang)는 다음과 같다.

$d(V,W)={\ln }_{T\in \mathrm{GL}(V,W)}\Vert T\Vert \Vert T^{-1}\Vert$

여기서 $\Vert T\Vert$는 작용소 노름이다.

이는 삼각 부등식을 만족시킨다. $n$차원 $𝕂$-바나흐 공간들의 (등거리) 동형류들의 공간은 이 거리 함수를 통해 콤팩트 거리 공간을 이룬다. 이를 바나흐-마주르 콤팩트 공간이라고 한다.

예

유클리드 공간

자연수 $n\in \mathbb{N}$에 대하여, 유한 차원 $𝕂$-벡터 공간 ${𝕂}^n$ 위에 노름

$\Vert (x_1,\dots ,x_n)\Vert =\sqrt{|x_1{|}^2+\cdots +|x_n{|}^2}$

를 부여하면, 이는 $𝕂$-바나흐 공간을 이룬다.

르베그 공간

틀:본문 임의의 측도 공간 $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$ 및 확장된 실수 $1\le p\le \mathrm{\infty }$에 대하여, 르베그 공간 ${\mathrm{L}}^p(X;𝕂)$는 $𝕂$-바나흐 공간을 이룬다.

수렴 수열 공간

틀:본문 수렴 수열 공간 $\mathrm{c}(𝕂)$과 영 수렴 수열 공간 ${\mathrm{c}}_0(𝕂)$은 둘 다 $𝕂$-바나흐 공간을 이룬다.

힐베르트 공간

틀:본문 임의의 $𝕂$-힐베르트 공간 $\mathscr{H}$에 대하여,

$\Vert v\Vert =\sqrt{⟨v,v⟩}(v\in \mathscr{H})$

로 노름을 정의하면 이는 $𝕂$-바나흐 공간을 이룬다.

연속 함수 공간

콤팩트 하우스도르프 공간 $X$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $X$ 위의, $𝕂$값의 연속 함수들의 $𝕂$-벡터 공간

${𝒞}^0(X,𝕂)$

에 다음과 같은 노름을 줄 수 있다.

$\Vert f\Vert =\underset{x\in X}{\max }|f(x)|$

이는 $𝕂$-바나흐 공간을 이룬다. 사실, 점별 곱셈을 통해 이는 추가로 $𝕂$-바나흐 대수를 이룬다.

역사

스테판 바나흐가 1922년부터 연구하였다. 이 밖에도, 한스 한과 에두아르트 헬리가 바나흐 공간 이론의 초기 연구에 기여하였다.

바나흐-마주르 정리는 스테판 바나흐와 스타니스와프 마주르가 증명하였다. 바나흐-샤우데르 정리와 그 따름정리인 닫힌 그래프 정리는 스테판 바나흐가 1929년에 발표하였고,틀:Rp 이듬해 율리우시 샤우데르가 개량하였다.틀:Rp틀:Rp

외부 링크

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