작용소 노름

틀:위키데이터 속성 추적 함수해석학에서 작용소 노름(作用素norm, 틀:Llang)은 두 노름 공간 사이의 유계 작용소에 대하여 정의되는 노름이다.

두 노름 공간 사이의 유계 작용소는 단위 벡터를 어떤 유한한 길이 이상으로 늘리지 못하는, 두 노름 공간 사이의 선형 변환인데, 유계 작용소가 단위 벡터를 늘리는 최댓값을 그 작용소 노름이라고 한다. 즉, 작용소 노름이 c인 작용소는 임의의 벡터의 길이를 c배 초과로 늘리지 못한다.

정의

$𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$가 실수체 또는 복소수체 가운데 하나이며, $V$와 $W$가 $𝕂$-노름 공간이라고 하자. 그렇다면, 이들 사이의 선형 변환 $T:V\to W$에 대하여, 다음과 같은 음이 아닌 확장된 실수를 정의할 수 있으며, 이를 $T$의 작용소 노름이라고 한다.틀:Rp틀:Rp

$\begin{array}{cc}\Vert T\Vert & =\underset{v\in V\setminus \{0\}}{\sup }\frac{\Vert Tv{\Vert }_W}{\Vert v{\Vert }_V}\\ & =\underset{v\in V\setminus \{0\}}{\sup }\Vert T(v/\Vert v{\Vert }_V){\Vert }_W\\ & =\inf \{c\in [0,\mathrm{\infty }):\Vert Tv{\Vert }_W\le c\Vert v{\Vert }_V\mathrm{\forall }v\in V\}\\ & =\inf \{c\in [0,\mathrm{\infty }):\frac{\Vert Tv{\Vert }_W}{\Vert v{\Vert }_V}\le c\mathrm{\forall }v\in V\setminus \{0\}\}\\ & =\underset{v\in V,\Vert v{\Vert }_V=1}{\sup }\Vert Tv{\Vert }_W\\ & \in [0,\mathrm{\infty }]\end{array}$

위 상계(또는 하계)는 일반적으로 포화되지 못할 수 있다.

성질

작용소 노름은 유계 작용소 위의 노름이다. 즉, 아래의 성질을 만족시킨다.

$\Vert T\Vert =0⟺T=0\mathrm{\forall }T\in \mathrm{B}(V,W)$

$\Vert aT\Vert =|a|\Vert T\Vert \mathrm{\forall }a\in 𝕂,T\in \mathrm{B}(V,W)$

(삼각 부등식) $\Vert T+U\Vert \le \Vert T\Vert +\Vert U\Vert \mathrm{\forall }T,U\in \mathrm{B}(V,W)$

두 $𝕂$-노름 공간 $V$와 $W$ 사이의 임의의 $𝕂$-선형 변환 $T\in {\mathrm{hom}}_{𝕂}(V,W)$에 대하여 다음 네 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• $T$는 유계 작용소이다.
• $T$는 ($V$와 $W$의 위상에 대하여) 연속 함수이다.
• ($V$와 $W$의 덧셈 위상군 균등 공간 구조에 대하여) 균등 연속 함수이다.
• $T$는 ($V$와 $W$의 노름 거리 함수에 대하여) 립시츠 연속 함수이다.
• $T$의 작용소 노름이 유한하다. 즉, $\Vert T\Vert <\mathrm{\infty }$이다.

이 가운데 ‘립시츠 연속 ⇒ 균등 연속 ⇒ 연속’은 자명하다.

증명 (유한 노름 ⇒ 립시츠 연속):

유한한 노름의 작용소 $T$가 주어졌을 때, 임의의 $u,v\in V$에 대하여,

$d(Tu,Tv)=\Vert Tu-Tv\Vert =\Vert T(u-v)\Vert \le \Vert T\Vert d(u,v)$

이므로, $T$는 립시츠 상수 $\Vert T\Vert$에 대하여 립시츠 연속 함수이다.

증명 (연속 ⇒ 유한 노름):

연속 작용소 $T$가 주어졌다고 하자. 연속성의 정의에 따라,

$T({\mathrm{ball}}_V(0,\delta ))\subseteq {\mathrm{ball}}_W(0,1)$

인 양의 실수 $\delta \in {ℝ}^{+}$가 존재한다. (여기서 $\mathrm{ball}(x,r)$는 열린 공을 뜻한다.)

그렇다면, 연속성에 따라, 임의의 $v\in V\setminus \{0\}$에 대하여, $\delta v/2\Vert v\Vert \in {\mathrm{ball}}_V(0,\delta )$이므로,

$\Vert Tv\Vert =\frac{2\Vert v\Vert }{\delta }\cdot \Vert T(\delta v/2\Vert v\Vert )\Vert \le \frac{2\Vert v\Vert }{\delta }$

이다. 즉,

$\Vert T\Vert \le \frac{2}{\delta }<\mathrm{\infty }$

이다.

같이 보기

• 페아노의 정리

외부 링크

• 틀:매스월드