수렴 수열 공간

틀:위키데이터 속성 추적 함수해석학에서 수렴 수열 공간(收斂數列空間, 틀:Llang)은 어떤 값으로 수렴하는 수열들로 구성된 바나흐 공간이다. 기호는 c.

정의

$𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

수렴하는 $𝕂$-수열 (=코시 열)의 집합

$\mathrm{c}(𝕂)=\{a\in {𝕂}^{\mathbb{N}}:\mathrm{\exists }\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_i\}$

은 자연스럽게 $𝕂$-벡터 공간을 이룬다. 그 위에 다음과 같은 노름을 부여하자.

$\Vert a{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{i\in \mathbb{N}}{\sup }|a_i|$

그렇다면 이는 $𝕂$-바나흐 공간을 이룬다. 이를 수렴 수열 공간 $\mathrm{c}(𝕂)$라고 한다.

0으로 수렴하는 수열들로 구성된 부분 공간

${\mathrm{c}}_0(𝕂)=\{a\in \mathrm{c}(𝕂):\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_i=0\}$

은 $\mathrm{c}(𝕂)$의 닫힌 부분 벡터 공간이므로, 마찬가지로 $𝕂$-바나흐 공간을 이룬다. 이를 영 수렴 수열 공간(零收斂數列空間, 틀:Llang) ${\mathrm{c}}_0(𝕂)$이라고 한다.틀:Rp

성질

$\mathrm{c}(𝕂)$와 ${\mathrm{c}}_0(𝕂)$는 $𝕂$-위상 벡터 공간으로서 서로 동형이지만 (즉, 그 사이에 전단사 연속 선형 변환이 존재하지만), 바나흐 공간으로서 서로 동형이지 않다 (즉, 그 사이에 전단사 등거리 선형 변환이 존재하지 않는다).

구체적으로, 이 전단사 연속 $𝕂$-선형 변환은 다음과 같다.

$\mathrm{c}(𝕂)\to {\mathrm{c}}_0(𝕂)$

$(a_0,a_1,a_2,\dots )\mapsto (\underset{i}{\lim }{a}_i,a_0-\underset{i}{\lim }{a}_i,a_1-\underset{i}{\lim }{a}_i,\dots )$

분해 가능성

$\mathrm{c}(𝕂)$와 ${\mathrm{c}}_0(𝕂)$는 분해 가능 $𝕂$-바나흐 공간이다.

$\mathrm{c}(𝕂)$의 경우,

$f=\{a\in {𝕂}^{\mathbb{N}}:\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}:\mathrm{\forall }i\ge N:a_i=a\}\cap \{\begin{array}{cc}{\mathbb{Q}}^{\mathbb{N}}& 𝕂=ℝ\\ (\mathbb{Q}+\mathrm{i}\mathbb{Q}{)}^{\mathbb{N}}& 𝕂=ℂ\end{array}$

는 $\mathrm{c}(𝕂)$ 속의 가산 조밀 집합을 이룬다.

${\mathrm{c}}_0(𝕂)$는 그 부분 집합이며, 분해 가능 거리 공간의 부분 집합은 분해 가능 공간이므로 마찬가지로 분해 가능 공간이다. 구체적으로, $f\cap {\mathrm{c}}_0(𝕂)$는 ${\mathrm{c}}_0(𝕂)$의 가산 조밀 집합을 이룬다.틀:Rp

연속 쌍대 공간

$\mathrm{c}(𝕂)$의 연속 쌍대 공간과 ${\mathrm{c}}_0(𝕂)$의 연속 쌍대 공간은 둘 다 르베그 공간 ${\ell }^1(𝕂)$과 동형이다.

$\mathrm{c}(𝕂)$의 경우 이는 다음과 같다.

$\mathrm{c}(𝕂)\times {\ell }^1(𝕂)\to 𝕂$

$(x,y)\mapsto y_0\left(\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_i\right)+\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_i{y}_i$

${\mathrm{c}}_0(𝕂)$의 경우 이는 다음과 같다.틀:Rp

${\mathrm{c}}_0(𝕂)\times {\ell }^1(𝕂)\to 𝕂$

$(x,y)\mapsto \sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_i{y}_i$

${\ell }^1(𝕂)$의 쌍대 공간은 르베그 공간 ${\ell }^{\mathrm{\infty }}(𝕂)$이므로, $\mathrm{c}(𝕂)$와 ${\mathrm{c}}_0(𝕂)$는 반사 바나흐 공간이 아니다.

포함 관계

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.틀:Rp

${\ell }^1(𝕂)⊊{\ell }^2(𝕂)⊊{\ell }^3(𝕂)⊊\cdots \subseteq {\mathrm{c}}_0(𝕂)⊊\mathrm{c}(𝕂)⊊{\ell }^{\mathrm{\infty }}(𝕂)⊊{\ell }^0(𝕂)={𝕂}^{\mathbb{N}}$

여기서 ${\ell }^p$는 르베그 공간이며, $0<p<\mathrm{\infty }$이다. 물론, $0<p<q<\mathrm{\infty }$라면 ${\ell }^p(𝕂)⊋{\ell }^q(𝕂)$가 성립한다.

위 포함 관계들은 $𝕂$-선형 변환이지만 일반적으로 등거리 변환이 아니다. 다만, 다음 포함 관계들은 등거리 변환이다 (즉, 같은 노름을 갖는다).

${\mathrm{c}}_0(𝕂)⊊\mathrm{c}(𝕂)⊊{\ell }^{\mathrm{\infty }}(𝕂)$

샤우데르 기저

다음과 같은 수열들을 생각하자.

$(e_i{)}_j={\delta }_{ij}\mathrm{\forall }i,j\in \mathbb{N}$

$e_i=(\stackrel{i}{\overbrace{0,0,0,\dots ,0}},1,0,0,\dots )\mathrm{\forall }i\in \mathbb{N}$

여기서 ${\delta }_{ij}$는 크로네커 델타이다.

그렇다면, $(e_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$은 ${\mathrm{c}}_0(𝕂)$의 무조건 샤우데르 기저를 이룬다.틀:Rp

참고 문헌

• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용