위상 벡터 공간

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 위상 벡터 공간(位相vector空間, 틀:Llang, 약자 TVS)은 호환되는 위상이 주어진 벡터 공간이다.

정의

$K$가 위상환이라고 하자. 그렇다면 $K$-위상 왼쪽 가군(틀:Llang) $V$는 다음 두 성질을 만족시키는, 위상 공간의 구조를 가지는 $K$-왼쪽 가군이다.

• (덧셈의 연속성) 벡터 덧셈 $+:V\times V\to V$는 연속 함수다. (여기서 $V\times V$는 곱위상을 갖춘다.)
• (스칼라곱의 연속성) 스칼라곱 $\cdot :K\times V\to V$는 연속 함수다. (여기서 $K\times V$는 곱위상을 갖춘다.)

마찬가지로 $K$-위상 오른쪽 가군을 정의할 수 있다. 물론, $K$가 가환환이라면 왼쪽·오른쪽을 구별할 필요가 없다.

만약 $K$가 위상체라면, $V$를 $K$-위상 벡터 공간이라고 한다. (월터 루딘과 같은 일부 저자들은 여기에 T₁ 공간 조건을 추가하기도 한다.)

모든 위상 왼쪽/오른쪽 가군은 특히 아벨 위상군이므로, 표준적인 균등 공간 구조를 갖는다. 이 경우, 덧셈과 스칼라곱이 사실 균등 연속 함수임을 보일 수 있다.

위상 벡터 공간의 부분 집합

$𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$가 실수체 또는 복소수체 가운데 하나라고 하자.

$𝕂$-위상 벡터 공간 $V$ 속의 부분 집합 $E\subseteq V$에 대하여, 다음과 같은 성질들을 정의할 수 있다.

개념	정의
균형 집합	임의의 스칼라 $t\in 𝕂$, $|t|\le 1$에 대하여 $tE\subseteq E$
유계 집합	임의의 0의 근방 $U\ni 0$에 대하여, $tU\supseteq E$인 스칼라 $t\in 𝕂$가 존재
흡수 집합	$\mathrm{\forall }v\in V\mathrm{\exists }r\in {ℝ}^{+}\mathrm{\forall }t\in 𝕂:(|t|\ge r⟹v\in tE)$

특히, 위와 같은 유계 집합의 정의를 통해, 모든 $𝕂$-위상 벡터 공간은 유계형 집합을 이룬다.

연산

연속 쌍대 공간

틀:본문 위상환 $K$에 대한 위상 왼쪽 가군 ${}_{K}V$이 주어졌을 때, 연속 가군 준동형 ${}_{K}V\to {}_{K}K$들의 집합은 $K$-위상 오른쪽 가군을 이루며, 이를 $V$의 연속 쌍대 가군 $V{\text{'}}_K$이라고 한다. 만약 $K$가 위상체일 경우, 이는 연속 쌍대 공간이라고 한다.

이는 (대수적) 쌍대 공간보다 일반적으로 더 작다.

약한 위상

위상 벡터 공간 (또는 위상 가군) 위에는 항상 원래 위상보다 더 엉성한 특별한 위상을 표준적으로 줄 수 있으며, 이를 약한 위상(弱한位相, 틀:Llang)이라고 한다. 이 경우, 약한 위상과 구별하기 위하여 $V$의 원래 위상을 강한 위상(強한位相, 틀:Llang)이라고 한다.

구체적으로, 위상환 $K$에 대한 위상 왼쪽 가군 ${}_{K}V$의 연속 쌍대 가군 $V^{\prime }$으로 생성되는 시작 위상을 $V$의 약한 위상이라고 한다. 즉, 약한 위상은 연속 쌍대 가군의 원소를 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이다. 집합 $V$에 약한 위상을 부여한 것을 $V^{\text{weak}}$라고 표기하자.

약한 위상의 기저는 구체적으로 다음과 같다.

$\{{\varphi }^{-1}(U):U\in \mathrm{Open}(K),\varphi \in V^{\prime }\}$

여기서 $\mathrm{Open}(K)$는 $K$의 열린집합들의 족이다.

정의에 따라, 임의의 위상 가군 위의 약한 위상은 항상 원래 (강한) 위상보다 더 엉성한 위상이다. 또한, 약한 위상을 취하는 연산은 멱등 연산이다. 즉, 임의의 위상환 위의 위상 왼쪽 가군 ${}_{K}V$에 대하여, 다음이 성립한다.

$V^{\prime }=(V^{\text{weak}}{)}^{\prime }$

$V^{\text{weak}}=(V^{\text{weak}}{)}^{\text{weak}}$

성질

분리공리

실수체나 복소수체에 대한 위상 벡터 공간 $V$에 대하여, 다음 분리공리들이 서로 동치이다.

• $V$는 T₁ 공간이다.
• $V$는 하우스도르프 공간이다.
• $V$는 하우스도르프 정칙 공간이다.
• $V$는 티호노프 공간이다.

즉, 위상 벡터 공간에 대해서는 T₁부터 T_3½(= 티호노프 공간)까지의 성질들이 서로 동치가 된다.

거리화 가능성

틀:참고 실수체나 복소수체에 대한 위상 벡터 공간 $V$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• 제1 가산 공간이다.
• 유사 거리화 가능 공간이다.
• $V$의 위상은 평행 이동 불변 유사 거리 함수로 유도될 수 있다.

이는 위상군의 버코프-가쿠타니 정리의 특수한 경우다.

유한 차원

실수체나 복소수체에 대한 모든 유한 차원 위상 벡터 공간은 완비 균등 공간이다.

실수체나 복소수체에 대한 위상 벡터 공간 $V$, $W$에 대하여, 만약

• $V$, $W$가 하우스도르프 공간이며,
• $\dim V=\dim W<\mathrm{\infty }$

라면, 모든 전단사 선형 변환

$V\to W$

은 위상 동형이다. 즉, 하우스도르프 조건을 가정하면, 실수체나 복소수체에 대한 유한 차원 위상 벡터 공간은 ${ℝ}^n$이나 ${ℂ}^n$($n\in \mathbb{N}$)밖에 없다.틀:Rp틀:Rp 하우스도르프 조건을 없애면 이는 더 이상 성립하지 않는다. 예를 들어, 임의의 실수·복소수 벡터 공간 위에 비이산 위상을 입혀 위상 벡터 공간으로 만들 수 있다.

실수체나 복소수체에 대한 하우스도르프 위상 벡터 공간 $V$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.틀:Rp틀:Rp

• $\dim V<\mathrm{\infty }$
• $V$는 국소 콤팩트 공간이다.

실수체나 복소수체에 대한 하우스도르프 위상 벡터 공간 $V$의 모든 유한 차원 부분 공간 $W\subset V$는 닫힌집합이다. 하우스도르프 조건을 가정하지 않으면 이는 더 이상 성립하지 않는다. 예를 들어, 비이산 위상을 갖춘, 1차원 이상의 위상 벡터 공간의 유일한 0차원 부분 공간은 닫힌집합이 아니다.

각주

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab