절대 수렴

틀:위키데이터 속성 추적 해석학에서 절대 수렴(絶對收斂, 틀:Llang)은 급수가 각 항에 절댓값을 취하였을 때 수렴하는 성질이다. 만약 어떤 실수항 또는 복소수항 급수가 절대 수렴한다면, 원래의 급수 역시 수렴한다.

실수항 또는 복소수항 급수

정의

$𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

$𝕂$ 항의 급수 ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$ ($x_n\in 𝕂$)가 주어졌을 때, 만약 각 항에 절댓값을 취하여 얻는 음이 아닌 실수 항의 급수가 수렴한다면, 즉

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}|x_n|<\mathrm{\infty }$

라면, 원래의 급수 ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$가 절대 수렴한다고 한다.

성질

$𝕂$ 항의 급수 ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$ ($x_n\in 𝕂$)가 주어졌다고 하자.

만약 ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$이 절대 수렴한다면, 원래의 급수 역시 수렴한다 (절대 수렴 판정법, 絶對收斂判定法, 틀:Llang). 그러나 그 역은 성립하지 않는다. $𝕂$ 항의 급수가 수렴하지만 절대 수렴하지 않는다면, 조건 수렴한다고 한다. 또한, 임의의 순열 $\sigma \in \mathrm{Sym}(\{0,1,2,\dots \})$에 대하여, 그 순열을 통해 항을 재배열하여 얻는 급수 ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_{\sigma (n)}$ 역시 수렴하며, 합은 원래의 급수와 같다.틀:Rp 이는 임의의 바나흐 공간 또는 프레셰 공간 위에서도 성립한다. 틀:증명 실수항 급수 ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$ ($x_n\in ℝ$)가 절대 수렴한다고 가정하자. 그렇다면, 임의의 자연수 $n\in \mathbb{N}$에 대하여 $0\le x_n+|x_n|\le 2|x_n|$이므로, 임의의 자연수 $n\in \mathbb{N}$에 대하여

$\sum _{k=0}^n(x_k+|x_k|)\le 2\sum _{k=0}^n|x_k|$

이다. 따라서

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(x_k+|x_k|)\le 2\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}|x_k|<\mathrm{\infty }$

이다. 즉, ${\sum }_{k=0}^{\mathrm{\infty }}(x_k+|x_k|)$는 수렴한다. ${\sum }_{k=0}^{\mathrm{\infty }}|x_k|$ 역시 수렴하므로, ${\sum }_{k=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_k$는 수렴한다. 틀:증명 끝

만약 ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$이 조건 수렴한다면, ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_{\sigma (n)}$이 발산하게 되는 순열 $\sigma \in \mathrm{Sym}(\{0,1,2,\dots \})$이 존재한다.

만약 $𝕂=ℝ$이며, ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$이 조건 수렴한다면, 임의의 확장된 실수 $s\in [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$에 대하여, ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_{\sigma (n)}=s$이게 되는 순열 $\sigma \in \mathrm{Sym}(\{0,1,2,\dots \})$이 존재한다 (리만 재배열 정리).틀:Rp

노름 공간 위의 급수

정의

$𝕂$-노름 공간 $(X,\Vert \cdot \Vert )$ 위의 급수 ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$ ($x_n\in X$)가 주어졌을 때, 만약 각 항에 노름을 취하여 얻는 음이 아닌 실수 항의 급수가 수렴한다면, 즉

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\Vert x_n\Vert <\mathrm{\infty }$

라면, 원래의 급수 ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$가 절대 수렴한다고 한다.

성질

바나흐 공간 위의 모든 절대 수렴 급수는 무조건 수렴하며, 특히 (통상적인 의미에서) 수렴한다.틀:Rp 유한 차원 노름 공간 위의 모든 무조건 수렴 급수는 절대 수렴한다.틀:Rp 이에 따라, 유한 차원 바나흐 공간 위에서 절대 수렴은 무조건 수렴과 동치이다. 무한 차원 바나흐 공간 위에는 무조건 수렴하지만 절대 수렴하지 않는 급수가 존재한다 (드보레츠키-로저스 정리).틀:Rp틀:Rp

위상 벡터 공간 위의 급수

정의

하우스도르프 $𝕂$-국소 볼록 공간 $X$ 위의 급수 ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$ ($x\in X$)가 주어졌을 때, 만약 임의의 연속 반노름 $\nu :X\to [0,\mathrm{\infty })$에 대하여,

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\nu (x_n)<\mathrm{\infty }$

라면, 원래의 급수 ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$가 절대 수렴한다고 한다.

성질

하우스도르프 완비 국소 볼록 공간 위의 모든 절대 수렴 급수는 무조건 수렴하며, 특히 (통상적인 의미에서) 수렴한다.틀:Rp 특히, 프레셰 공간 위의 모든 절대 수렴 급수는 무조건 수렴 및 수렴한다. 유한 차원 하우스도르프 국소 볼록 공간 위의 모든 무조건 수렴 급수는 절대 수렴한다.틀:Rp 핵(틀:Llang) 프레셰 공간 위에서 절대 수렴은 무조건 수렴과 동치이며, 비(非)핵 프레셰 공간 위에는 무조건 수렴하지만 절대 수렴하지 않는 급수가 존재한다.틀:Rp틀:Rp

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:매스월드