무한 집합

틀:위키데이터 속성 추적 틀:출처 필요 수학에서 무한 집합(無限集合, 틀:Llang)은 원소의 개수가 무한히 많은 집합으로, 원소의 개수가 유한한 유한 집합이 아닌 모든 집합이다. 무한 집합은 크게 가산 무한 집합과 비가산 집합으로 나눌 수 있다.

정의

엄밀한 정의로는 집합 $A$의 적당한 진부분 집합 $S$가 존재해, $A$와 $S$ 사이의 일대일 대응이 존재하면 $A$를 무한 집합이라 한다.

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 집합 $S$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 집합을 무한 집합이라고 한다.

• $S$는 두 개 이상의 원소를 가지며, $S$와 $S^2$ 사이에 전단사 함수가 존재한다.
• $S$와 그 진부분 집합 $T⊊S$ 사이에 전단사 함수가 존재한다.
• 단사 함수이지만 전사 함수가 아닌 함수 $S\to S$가 존재한다.
• 전사 함수이지만 단사 함수가 아닌 함수 $S\to S$가 존재한다.
• 단사 함수 $\mathbb{N}\to S$가 존재한다.
• 전사 함수 $S\to \mathbb{N}$이 존재한다.

만약 선택 공리를 가정하지 않으면, 이 조건들 가운데 일부는 동치이지 않을 수 있다.

성질

임의의 집합 $S$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $S$는 무한 집합이다.
• $S^2$는 무한 집합이다.
• 멱집합 $𝒫(S)$는 무한 집합이다.

무한 공리를 제외한 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 무한 집합의 존재를 증명할 수 없다. 즉, 무한 공리의 존재를 보이려면 무한 공리가 필요하다.

예

자연수의 집합 · 정수의 집합 · 유리수의 집합은 가산 무한 집합이다. 실수의 집합 · 복소수의 집합은 비가산 집합이다.

분류

• 무한 집합
  • 가산 무한 집합
    • 자연수의 집합
    • 정수의 집합
    • 유리수의 집합
  • 비가산 무한 집합
    • 실수의 집합
    • 복소수의 집합

같이 보기

• 알레프 수
• 유한 집합

외부 링크

• 틀:매스월드
• 틀:웹 인용