내적 공간

내적을 사용하여 정의한, 두 벡터 사이의 각도의 기하학적 해석

선형대수학과 함수해석학에서 내적 공간(內積空間, 틀:Llang)은 두 벡터의 쌍에 스칼라를 대응시키는 일종의 함수가 주어진 벡터 공간이다. 내적 공간 위에서는 벡터의 길이나 각도 등의 개념을 다룰 수 있다. 스칼라곱을 갖춘 유클리드 공간의 일반화이다.

정의

$𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

$𝕂$-벡터 공간 $V$ 위의 내적(內積, 틀:Llang)은 양의 정부호 에르미트 반쌍선형 형식이다. (실수의 경우 이는 양의 정부호 대칭 쌍선형 형식과 같다.) 즉, 다음 조건들을 만족시키는 함수

$⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to 𝕂$

$⟨\cdot ,\cdot ⟩:(u,v)\mapsto ⟨u,v⟩$

이다.

• (양의 정부호성) 임의의 $0\ne v\in V$에 대하여, $⟨v,v⟩>0$
• (에르미트성) 임의의 $u,v\in V$에 대하여, $⟨u,v⟩=\overline{⟨v,u⟩}$
• (왼쪽 선형성) 임의의 $a,b\in 𝕂$ 및 $u,v,w\in V$에 대하여, $⟨au+bv,w⟩=a⟨u,w⟩+b⟨v,w⟩$

이들 성질로부터 내적의 다음과 같은 성질을 유도할 수 있다.

• (오른쪽 반쌍선형성) 임의의 $a,b\in 𝕂$ 및 $u,v,w\in V$에 대하여, $⟨w,au+bv⟩=\overline{a}⟨w,u⟩+\overline{b}⟨w,v⟩$

내적이 주어진 $𝕂$-벡터 공간 $(V,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$을 $𝕂$-내적 공간이라고 한다. 특히 $𝕂=ℂ$인 경우, 즉 복소수체 위의 내적 공간은 유니터리 공간(틀:Llang)이라고 부르기도 한다.

성질

노름 구조

$𝕂$-내적 공간 $V$ 위에 자연스러운 $𝕂$-노름 공간 구조를 다음과 같이 줄 수 있다.

$\Vert v\Vert =\sqrt{⟨v,v⟩}$

틀:증명 노름의 양의 정부호성과 양의 동차성은 내적의 정의에 따라 자명하다. 노름의 삼각 부등식은 코시-슈바르츠 부등식의 따름정리이며, 그 증명은 다음과 같다. 임의의 벡터 $u,v\in V$에 대하여,

$\begin{array}{cc}\Vert u+v{\Vert }^2& =\Vert u{\Vert }^2+2\mathrm{Re}⟨u,v⟩+\Vert v{\Vert }^2\\ & \le \Vert u{\Vert }^2+2\Vert u\Vert \Vert v\Vert +\Vert v{\Vert }^2\\ & =(\Vert u\Vert +\Vert v\Vert {)}^2\end{array}$

이므로,

$\Vert u+v\Vert \le \Vert u\Vert +\Vert v\Vert$

틀:증명 끝 반대로, $𝕂$-노름 공간이 $𝕂$-내적 공간으로부터 유도될 필요충분조건은 평행 사변형 법칙

$2\Vert u{\Vert }^2+2\Vert v{\Vert }^2=\Vert u+v{\Vert }^2+\Vert u-v{\Vert }^2\mathrm{\forall }u,v\in V$

이다. 이 경우, 가능한 유일한 내적은 다음과 같으며, 이를 극화 항등식(極化恒等式, 틀:Llang)이라고 한다.

$⟨u,v⟩=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{4}\Vert u+v{\Vert }^2-\frac{1}{4}\Vert u-v{\Vert }^2& 𝕂=ℝ\\ \frac{1}{4}\Vert u+v{\Vert }^2-\frac{1}{4}\Vert u-v{\Vert }^2+\frac{i}{4}\Vert u+iv{\Vert }^2-\frac{i}{4}\Vert u-iv{\Vert }^2& 𝕂=ℂ\end{array}$

틀:증명 실수 내적 공간의 경우만을 증명하자. 극화 항등식이 정의한 내적이 다음 네 가지를 보이는 것으로 족하다.

$⟨v,v⟩>0\mathrm{\forall }0\ne v\in V$

$⟨u,v⟩=⟨v,u⟩\mathrm{\forall }u,v\in V$

$⟨u+v,w⟩=⟨u,w⟩+⟨v,w⟩\mathrm{\forall }u,v,w\in V$

$⟨au,v⟩=a⟨u,v⟩\mathrm{\forall }a\in ℝ,u,v\in V$

첫째와 둘째 조건은 자명하다. 셋째 조건은 다음과 같이 증명된다.

$\begin{array}{cc}⟨u+v,w⟩& =\frac{1}{4}(\Vert u+v+w{\Vert }^2-\Vert u+v-w{\Vert }^2)\\ & =\frac{1}{4}(\Vert u+w{\Vert }^2+\Vert v+w{\Vert }^2+\Vert u{\Vert }^2+\Vert v{\Vert }^2-\frac{1}{2}\Vert u-v+w{\Vert }^2-\frac{1}{2}\Vert v-u+w{\Vert }^2)\\ & -\frac{1}{4}(\Vert u-w{\Vert }^2+\Vert v-w{\Vert }^2+\Vert u{\Vert }^2+\Vert v{\Vert }^2-\frac{1}{2}\Vert u-v-w{\Vert }^2-\frac{1}{2}\Vert v-u-w{\Vert }^2)\\ & =\frac{1}{4}(\Vert u+w{\Vert }^2-\Vert u-v{\Vert }^2)-\frac{1}{4}(\Vert v+w{\Vert }^2-\Vert v-w{\Vert }^2)\\ & =⟨u,w⟩+⟨v,w⟩\end{array}$

넷째 조건의 $a\in \mathbb{N}$의 경우는 다음과 같이 증명된다.

$⟨au,v⟩=⟨\underset{a}{\underbrace{u+\cdots +u}},v⟩=\underset{a}{\underbrace{⟨u,v⟩+\cdots +⟨u,v⟩}}=a⟨u,v⟩$

또한, $a\in \mathbb{Z}$일 경우의 증명은 다음과 같다.

$0=⟨0,v⟩=⟨au-au,v⟩=⟨au,v⟩+⟨-au,v⟩=⟨au,v⟩-a⟨u,v⟩$

만약 $a\in \mathbb{Q}$일 경우, $a=p/q$ ($p,q\in \mathbb{Z},q\ne 0$)이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같이 증명된다.

$q⟨au,v⟩=⟨qau,v⟩=⟨pu,v⟩=p⟨u,v⟩$

마지막으로, $a\in ℝ$일 경우는 $u,v\in V$를 고정하였을 때 $a\mapsto ⟨au,v⟩-a⟨u,v⟩$가 연속 함수임에 따라 성립한다. 틀:증명 끝

코시-슈바르츠 부등식

틀:본문 내적 공간 $V$의 벡터 $v\in V$에 대하여, 다음과 같은 부등식이 성립하며, 이를 코시-슈바르츠 부등식이라고 한다.

$|⟨u,v⟩|\le \Vert u\Vert \Vert v\Vert$

$|⟨u,v⟩|=\Vert u\Vert \Vert v\Vert ⟺\mathrm{rank}\{u,v\}<2$

이에 따라, 두 벡터 $u,v\in V$ 사이의 각도를 다음과 같이 정의할 수 있다.

$\arccos \frac{\mathrm{Re}⟨u,v⟩}{\Vert u\Vert \Vert v\Vert }$

또한, 내적이 유도하는 노름의 삼각 부등식은 코시-슈바르츠 부등식을 통해 증명된다.

정규 직교 기저

틀:다른 뜻 내적 공간 $V$의 정규 직교 기저(正規直交基底, 틀:Llang)는 서로 다른 두 벡터의 내적이 항상 0인 단위 벡터들이 이루는 기저이다. 즉, 이는 다음 조건들을 만족시키는 기저 $B\subseteq V$이다.

• (직교성) 만약 $e,e^{\prime }\in B$이며 $e\ne e^{\prime }$라면, $⟨e,e^{\prime }⟩=0$
• (정규성) 임의의 $e\in B$에 대하여, $\Vert e\Vert =1$

유한 차원 내적 공간의 정규 직교 기저는 항상 존재한다. 이는 그람-슈미트 과정을 통해 구성할 수 있다.

내적 공간 $V$의 벡터 $v\in V$의 정규 직교 기저 $B$에 대한 좌표는 다음과 같다.

$v=\sum _{e\in B}⟨v,e⟩e$

또한, 이 좌표 아래 내적을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$⟨u,v⟩=\sum _{e\in B}⟨u,e⟩\overline{⟨v,e⟩}$

내적 공간 $V$ 속의 유한 정규 직교 집합 $S\subseteq V\setminus \{0\}$ 및 벡터 $v\in V$에 대하여, 베셀 부등식과 유사한 꼴의 다음과 같은 부등식이 성립한다.

$\sum _{e\in S}|⟨v,e⟩{|}^2\le \Vert v{\Vert }^2$

$\sum _{e\in S}|⟨v,e⟩{|}^2=\Vert v{\Vert }^2⟺v=\sum _{e\in S}⟨v,e⟩e$

선형 범함수

유한 차원 내적 공간 $V$의 모든 선형 범함수는 어떤 유일한 고정된 벡터 $v\in V$와의 내적

$V\to 𝕂$

$u\mapsto ⟨u,v⟩$

이다. 구체적으로, 정규 직교 기저 $B\subseteq V$가 주어졌을 때, 선형 범함수 $f:V\to F$를 나타내는 벡터는 다음과 같다.

$v=\sum _{e\in B}\overline{f(e)}e$

이에 따라, 유한 차원 내적 공간의 선형 변환 $T:V\to V$의 수반 선형 변환 $T^{*}:V\to V$은 다음과 같이 항상 존재한다.

$⟨Tu,v⟩=⟨u,T^{*}v⟩\mathrm{\forall }u,v\in V$

그러나 무한 차원 내적 공간의 경우 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 다항식환 $ℂ[x]$에 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다.

$⟨p,q⟩=\underset{a}{\overset{b}{\int }}p(x)\overline{q(x)}dx=\sum _{k=0}^{\mathrm{deg}p}\sum _{k^{\prime }=0}^{\mathrm{deg}q}\frac{p_k\overline{q_{k^{\prime }}}}{k+k^{\prime }+1}$

이 경우, 임의의 $c\in ℂ$가 주어졌을 때, 다음과 같은 선형 범함수는 고정된 벡터와의 내적으로 나타낼 수 없다.

$ℂ[x]\to ℂ$

$p\mapsto p(c)$

또한 미분 선형 변환

$D:ℂ[x]\to ℂ[x]$

$D:x^n\mapsto n{x}^{n-1}n=0,1,2,\dots$

의 수반 선형 변환은 존재하지 않는다.

예

유한 차원 벡터 공간 위의 내적

$n$차원 $𝕂$-벡터 공간 ${𝕂}^n$ 위의 표준적인 내적은 다음과 같다.

$⟨x,y⟩=\sum _{k=1}^n{x}_k\overline{y_k}$

$𝕂=ℝ$일 때, ${ℝ}^n$은 유클리드 공간이며, 이 내적은 스칼라곱이라고 부른다. 이 경우 실수의 켤레 복소수는 스스로와 일치한다 ($\overline{y_k}=y_k$). 이 내적이 유도하는 노름은 L² 노름이다. 그러나 $p\ne 2$의 경우, L^p 노름은 평행 사변형 법칙을 만족시키지 않으므로 내적으로부터 유도될 수 없다.

특히, $n=1$인 경우 $𝕂$는 1차원 벡터 공간이며, 위 내적은 단순히

$⟨x,y⟩=x\bar{y}$

이다.

마찬가지로, 실수 또는 복소수 성분 행렬들의 집합 $\mathrm{Mat}(m,n;𝕂)$은 $mn$차원 벡터 공간을 이룬다. 이 위에 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다.

$⟨X,Y⟩=\mathrm{tr}(X^{†}\overline{Y})=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{X}_{ij}\overline{Y_{ij}}$

이를 프로베니우스 내적이라고 한다.

보다 일반적으로, 양의 정부호 행렬 $M\in \mathrm{Mat}(n,n;𝕂)$에 대하여, ${𝕂}^n$ 위에 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다.

$⟨x,y⟩=x^{\mathrm{T}}M\overline{y}=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{M}_{ij}{x}_i\overline{y_j}$

함수 공간

연속 함수의 공간 $𝒞([a,b];𝕂)$에는 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다.

$⟨f,g⟩=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\overline{g(x)}dx$

여기서 우변의 적분은 리만 적분이다. 또한, 다음과 같은 내적을 정의할 수도 있다.

$⟨f,g⟩=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^{2}f(x)\overline{g(x)}dx$

가측 함수 $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },\mu )\to 𝕂$들의 (거의 어디서나 같음에 대한) 동치류들로 구성된 $𝕂$-벡터 공간 ${\mathrm{L}}^2(\mathrm{\Omega };𝕂)$ 위에 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다.

$⟨f,g⟩=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\bar{g}d\mu$

여기서 우변은 르베그 적분이다. 이를 L² 공간이라고 한다. 특히, $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },\mu )$가 확률 공간일 때, ${\mathrm{L}}^2(\mathrm{\Omega };𝕂)$은 확률 변수들의 동치류들로 이루어지며, 적분은 기댓값이다. 따라서, 두 확률 변수 $X,Y:\mathrm{\Omega }\to 𝕂$의 내적은 다음과 같다.

$⟨X,Y⟩=\mathrm{E}(X\bar{Y})$

가측 함수나 확률 변수의 동치류를 취하는 것은 내적을 양의 정부호적이게 만들기 위함이다. 예를 들어, $⟨X,X⟩=0$일 필요충분조건은 거의 확실하게 $X=0$인 것이다 ($\mu (X=0)=1$). 따라서, 스스로와의 내적이 0인 경우가 0밖에 없으려면 거의 어디서나 같은 함수들을 하나의 동치류로 뭉뚱그려야 한다.

같이 보기

• 벡터곱
• 외대수
• 쌍선형 형식
• 쌍대공간

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:플래닛매스
• 틀:플래닛매스
• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용