르베그 공간

틀:위키데이터 속성 추적 함수해석학에서 르베그 공간(Lebesgue空間, 틀:Llang) 또는 L^p 공간(틀:Llang)은 절댓값의 $p$ 제곱이 르베그 적분 가능한 가측 함수들의 동치류들로 구성된 노름 공간이다.

정의

측도 공간 $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$ 및 음이 아닌 확장된 실수 $0\le p\le \mathrm{\infty }$가 주어졌다고 하고, $𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$가 (보렐 시그마 대수를 갖춘) 실수체 또는 복소수체라고 하자. 그렇다면, 르베그 공간 ${\mathrm{L}}^p(X;𝕂)$는 $𝕂$-위상 벡터 공간이며, 그 정의는 $p$의 값에 따라 다음과 같다.

L^p (0 < p ≤ ∞)

$0<p\le \mathrm{\infty }$ 및 가측 함수 $f:X\to 𝕂$에 대하여 다음 기호를 정의하자.

$\Vert \cdot {\Vert }_p:ℳ(X;𝕂)\to [0,\mathrm{\infty }]$

$\Vert f{\Vert }_p=\{\begin{array}{cc}\sqrt[p]{\underset{X}{\int }|f(x){|}^p\mathrm{d}\mu }& p<\mathrm{\infty }\\ \inf \{C\in ℝ:\mu (\{x\in X:|f(x)|>C\})=0\}& p=\mathrm{\infty }\end{array}$

그렇다면, ${ℒ}^p$를 다음과 같은 집합으로 정의하자.

${ℒ}^p(X;𝕂)=\{f\in ℳ(X;𝕂):\Vert f{\Vert }_p<\mathrm{\infty }\}$

여기서 $ℳ(X;Y)$는 두 측도 공간 $X,Y$ 사이의 가측 함수의 집합이며, $𝕂$의 경우 보렐 시그마 대수를 갖춘 것으로 여긴다.

${ℒ}^p(X;𝕂)$는 $𝕂$에 대한 벡터 공간을 이루며, 부분 공간

$(\Vert \cdot {\Vert }_p{)}^{-1}(0)=\{f\in ℳ(X;𝕂)|\Vert f{\Vert }_p=0\}\subseteq {ℒ}^p(X;𝕂)$

으로 몫공간을 취한 것을 르베그 공간 ${\mathrm{L}}^p(X;𝕂)$라고 한다.틀:Rp틀:Rp

${\mathrm{L}}^p(X;𝕂)=\frac{{ℒ}^p(X;𝕂)}{(\Vert \cdot {\Vert }_p{)}^{-1}(0)}$

이 위에는 "열린 공"들

$\{\mathrm{ball}(f,r):r\in {ℝ}^{+},f\in {\mathrm{L}}^p(X;𝕂)\}$

$\mathrm{ball}(f,r)=\{g\in {\mathrm{L}}^p(X;𝕂):\Vert f-g{\Vert }_p<r\}$

을 기저로 하는 위상을 줄 수 있다. (물론, $p<1$이라면 이는 거리 공간이 아니므로 엄밀히 말해 열린 공이라고 일컬어질 수 없다.)

만약 $p\ge 1$이라면, $\Vert \cdot {\Vert }_p$는 ${\mathrm{L}}^p(X;𝕂)$ 위의 완비 노름을 이루며, ${\mathrm{L}}^p(X;𝕂)$는 $𝕂$-바나흐 공간을 이룬다. 그러나 만약 $p<1$이라면 이는 (기호와 달리) 일반적으로 노름이 되지 못한다.

L⁰

$p=0$인 경우, ${\mathrm{L}}^0(X;𝕂)$은 모든 가측 함수 $X\to 𝕂$의 (동치류의) 공간이다. 즉, $𝕂$-벡터 공간 $ℳ(X;𝕂)$에

$𝒩=\{f\in ℳ(X;𝕂):\mu (\{x\in X:f(x)\ne 0\})=0\}$

를 정의하였을 때

${\mathrm{L}}^0(X;𝕂)=\frac{ℳ(X;𝕂)}{𝒩}$

이다.

이 경우, 측도 수렴 위상을 부여하여 균등 공간이자 (균등 위상을 부여한) 위상 벡터 공간으로 만들 수 있다. 즉, 이 경우 유사 거리 함수의 족

$\{d_S{\}}_{S\in \mathrm{\Sigma },\mu (S)<\mathrm{\infty }}$

$d_S(f,g)=\underset{S}{\int }\min \{|f-g|,1\}\mathrm{d}\mu$

을 통해 균등 공간 구조를 부여한다.

ℓ^p

만약 $X$가 (셈측도를 갖춘) 자연수의 이산 공간 $\mathbb{N}$일 경우,

${ℒ}^p(\mathbb{N};𝕂)={\mathrm{L}}^p(\mathbb{N};𝕂)={\ell }^p(𝕂)$

로 쓴다. (셈측도는 공집합이 아닌 영집합을 갖지 않으므로, 이 경우 ${ℒ}^p$와 ${\mathrm{L}}^p$를 구분하지 않아도 된다.) 이 경우, 함수 $f\in ℳ(\mathbb{N};𝕂)$는 $𝕂$값을 갖는 수열이 되고, 노름 $\Vert \cdot {\Vert }_p$은 다음과 같다.

$\Vert f{\Vert }_p=\{\begin{array}{cc}\sqrt[p]{\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}|f_i{|}^p}& 0<p<\mathrm{\infty }\\ \underset{i\in \mathbb{N}}{\sup }|f_i|& p=\mathrm{\infty }\end{array}$

성질

민코프스키 부등식

만약 $1\le p\le \mathrm{\infty }$일 경우, $\Vert \cdot {\Vert }_p$는 민코프스키 부등식에 따라 노름을 이룬다.

$\Vert f+g{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p(f,g\in {\mathrm{L}}^p(X;𝕂))$

만약 $0<p<1$일 경우, $\Vert \cdot {\Vert }_p$는 다음과 같은, 더 약한 부등식을 만족시킨다.틀:Rp

$\Vert f+g{\Vert }_p\le 2^{(1-p)/p}(\Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p)(f,g\in {\mathrm{L}}^p(X;𝕂))$

증명:

임의의 두 음이 아닌 실수 $s,t\in {ℝ}_{\ge 0}$에 대하여

$(s+t{)}^p\le s^p+t^p\le 2^{1-p}(s+t{)}^p$

가 성립함은 미적분학으로 쉽게 확인할 수 있다. 그렇다면,

$(\Vert f+g{\Vert }_p{)}^p=\underset{X}{\int }|f+g{|}^p\mathrm{d}\mu \le \underset{X}{\int }(|f|+|g|{)}^p\mathrm{d}\mu \le \underset{X}{\int }(|f{|}^p+|g{|}^p)\mathrm{d}\mu =(\Vert f{\Vert }_p{)}^p+(\Vert g{\Vert }_p{)}^p\le 2^{1-p}(\Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p{)}^p$

이다.

바나흐·힐베르트 공간일 조건

임의의 측도 공간 $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$ 및 $p\in [0,\mathrm{\infty }]$ 및 $𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$에 대하여, 다음이 성립한다.

• (리스-피셔 정리 틀:Llang) 만약 $1\le p\le \mathrm{\infty }$라면 ${\mathrm{L}}^p(X;𝕂)$는 $𝕂$-바나흐 공간이다.
• 만약 $1<p<\mathrm{\infty }$라면 ${\mathrm{L}}^p(X;𝕂)$는 $𝕂$-반사 바나흐 공간이다. (그러나 $p=1$ 또는 $p=\mathrm{\infty }$인 경우 이는 일반적으로 성립하지 않는다.)
• 만약 $p=2$일 경우 ${\mathrm{L}}^p(X;𝕂)$는 $𝕂$-힐베르트 공간이다. (그러나 $X$의 크기에 따라 이는 분해 가능 공간이 아닐 수 있다.)
• 만약 $𝕂=ℂ$이며 $p=\mathrm{\infty }$일 경우 ${\mathrm{L}}^{\mathrm{\infty }}(X;ℂ)$는 가환 C* 대수이다. 만약 $X$가 추가로 시그마 유한 측도를 갖추었다면, 이는 가환 폰 노이만 대수를 이룬다.

연속 쌍대 공간

임의의 측도 공간 $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$ 및 $𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$ 및 $1<p<\mathrm{\infty }$에 대하여, ${\mathrm{L}}^p(X;𝕂)$의 연속 쌍대 공간은 다음과 같다.

$({\mathrm{L}}^p(X;𝕂){)}^{\prime }={\mathrm{L}}^q(X;𝕂)(1/p+1/q=1)$

구체적으로, 이 동형 사상은

${\mathrm{L}}^p(X;𝕂)\times {\mathrm{L}}^q(X;𝕂)\to 𝕂$

$([f],[g])\mapsto \underset{X}{\int }f(x)g(x)\mathrm{d}\mu (x)$

이다. 특히, $p=2$일 경우 ${\mathrm{L}}^2$는 스스로의 연속 쌍대 공간이 되며, 따라서 이 경우 힐베르트 공간을 이룬다.

그러나 ${\mathrm{L}}^{\mathrm{\infty }}$의 연속 쌍대 공간은 (선택 공리를 가정하면) 일반적으로 ${\mathrm{L}}^1$보다 훨씬 크다. 반면, 만약 $X$가 시그마 유한 측도를 갖추었다면, $({\mathrm{L}}^1{)}^{\prime }={\mathrm{L}}^{\mathrm{\infty }}$이다.

포함 관계

임의의 두 확장된 실수

$0<p<q\le \mathrm{\infty }$

가 주어졌다고 하자. 또한, 측도 공간 $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$ 위에 다음과 같은 두 조건을 생각하자.

㈎ $\sup \{\mu (S):S\in \mathrm{\Sigma },\mu (S)\ne \mathrm{\infty }\}<\mathrm{\infty }$

㈏ $\inf \{\mu (S):S\in \mathrm{\Sigma },\mu (S)\ne 0\}>0$

그렇다면, 다음과 같은 동치가 성립한다.

㈎ $⟺{\mathrm{L}}^p(X;𝕂)\subseteq {\mathrm{L}}^q(X;𝕂)$

㈏ $⟺{\mathrm{L}}^p(X;𝕂)\supseteq {\mathrm{L}}^q(X;𝕂)$

㈎와 ㈏가 동시에 성립 $⟺{\mathrm{L}}^p(X;𝕂)={\mathrm{L}}^q(X;𝕂)$

대표적인 측도 공간에서 위 두 조건이 성립하는지 여부는 다음과 같다.

측도 공간	㈎	㈏
유클리드 공간 ${ℝ}^n$ 위의 르베그 측도 ($n>0$)	❌	❌
유한 집합 위의 셈측도	⭕	⭕
무한 집합 위의 셈측도	❌	⭕
유클리드 공간 속의, 양의 유한 측도의 르베그 가측 집합	⭕	❌

예

유한 집합

$X$가 유한 집합이며, 그 위에 셈측도를 부여하자. 그렇다면, 이 경우 임의의 $0\le p\le \mathrm{\infty }$에 대하여

${\mathrm{L}}^p(X;𝕂)={𝕂}^X$

이다. 즉, 이 경우 르베그 공간은 $𝕂$ 위의 유한 차원 벡터 공간이며, 그 차원은 $X$의 크기이다.

$p$의 값에 따라, ${𝕂}^X$ 위에 정의되는 노름은 서로 다르며, 다음과 같다.

$\Vert f{\Vert }_p=\sqrt[p]{\sum _{x\in X}|f(x){|}^p}(0<p<\mathrm{\infty })$

$\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{x\in X}{\max }|f(x)|$

만약 $p=2$일 경우 이는 힐베르트 공간을 이루며, $|X|\ge 2$이자 $1\le p\ne 2$일 경우 이는 힐베르트 공간이 아닌 바나흐 공간이다.

수열 공간

$X=\mathbb{N}$일 경우, $p$의 범위에 따라서, 수열 르베그 공간 ${\ell }^p(𝕂)$ 공간의 성질은 다음과 같다.

$p$의 범위	${\ell }^p(𝕂)$의 성질
$0\le p<1$	$𝕂$-위상 벡터 공간 ($𝕂$-국소 볼록 공간이 아님)
$1\le p<2$	$𝕂$-바나흐 공간
$p=2$	분해 가능 $𝕂$-힐베르트 공간
$2<p\le \mathrm{\infty }$	$𝕂$-바나흐 공간

디랙 측도

틀:본문 집합 $X$ 속의 원소 $x_0\in X$가 주어졌으며,

$\mu (S)=\{\begin{array}{cc}1& S\ni x_0\\ 0& S\ni ̸x_0\end{array}$

라고 하자. 그렇다면, $0\le p\le \mathrm{\infty }$에 대하여, ${\mathrm{L}}^p(X;𝕂)$는 다음과 같다.

${\mathrm{L}}^p(X;𝕂)=𝕂$

$\Vert f{\Vert }_p=|f(x_0)|(0<p\le \mathrm{\infty })$

역사

"르베그 공간"이라는 용어는 앙리 르베그의 이름을 딴 것이다. 그러나 르베그는 르베그 적분의 도입을 제외하고는 르베그 공간의 개념과 크게 관계가 없다.

${\ell }^2$ 공간은 이미 19세기 푸리에 변환의 이론에서 등장하였다 (파르세발 정리).틀:Rp 이후 다비트 힐베르트가 이 수열 공간에 대하여 연구하였으며, 이는 "힐베르트 공간"으로 불리게 되었다.틀:Rp 힐베르트의 이론을 $p\ne 2$로 일반화하여, 리스 프리제시가 르베그 공간을 1910년에 도입하였다.틀:Rp틀:Rp 이 논문에서 리스는 오늘날 사용되는 기호 ${\mathrm{L}}^p$를 도입하였고, 또한 르베그 공간의 쌍대성 ${\mathrm{L}}^p\text{'}={\mathrm{L}}^q$ ($1/p+1/q=1$)을 증명하였다.

같이 보기

• 소볼레프 공간

외부 링크

• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용