프레셰 도함수

틀:위키데이터 속성 추적 함수해석학에서 프레셰 도함수(틀:Llang)는 두 바나흐 공간 사이의 함수에 대하여 정의할 수 있는 도함수이다. 가토 도함수보다 더 강한 개념이다. 즉, 어떤 바나흐 공간 위의 함수가 프레셰 미분가능이라면 그 함수는 가토 미분가능하지만, 그 역은 성립하지 않는다.

정의

두 바나흐 공간 $V,W$ 사이의 함수 $f:V\to W$ 및 $v\in V$에 대하여, 다음 성질을 만족시키는 유계 작용소 $D_{v}f:V\to W$가 존재한다면, $f$를 $v$에서 프레셰 미분 가능하다고 하고, $D_{v}f$를 $f$의 $v$에서의 프레셰 도함수라고 한다.

$\underset{ϵ\to 0}{\lim }\frac{\Vert f(v+ϵ)-f(v)-D_{v}f(ϵ)\Vert }{\Vert ϵ\Vert }=0$

즉, 함수

$g:V\setminus \{0\}\to ℝ$

$g:ϵ\mapsto \frac{\Vert f(v+ϵ)-f(v)-D_{v}f(ϵ)\Vert }{\Vert ϵ\Vert }$

가 $ϵ=0$에서 극한 0을 가져야 한다.

성질

만약 함수 $f:V\to W$가 $v\in V$에서 프레셰 미분 가능하다면, $f$는 $v$에서 가토 미분 가능하다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 만약 $f:V\to W$의 $v\in V$에서의 프레셰 도함수가 $D_{v}f$라면, $v$에서의, $u\in V$ 방향의 가토 도함수는 $D_{v}f(u)$이다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드

같이 보기

• 가토 도함수