확장된 실수

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 확장된 실수(擴張된實數, 틀:Llang)는 실수이거나 아니면 ±∞인 수이다.

정의

확장된 실수의 집합 $\overline{ℝ}$는 집합으로서 실수들의 집합에 양과 음의 무한대를 추가한 집합이다.

$\overline{ℝ}=ℝ\bigsqcup \{+\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty }\}$

이는 다음과 같이 실직선의 일부로 간주할 수 있다.

$\arctan :\overline{ℝ}\to [-\pi /2,\pi /2]$

$\arctan (x)=\{\begin{array}{cc}\pi /2& x=+\mathrm{\infty }\\ -\pi /2& x=-\mathrm{\infty }\\ \arctan (x)& x\in ℝ\end{array}$

이에 따라, $\overline{ℝ}$에 부분 공간 위상을 줄 수 있다.

또한, $\overline{ℝ}$는 자연스럽게 전순서를 갖춘다. 여기서는 모든 $a\in ℝ$에 대하여,

$-\mathrm{\infty }<a<\mathrm{\infty }$

가 된다. 이에 따라서 $\overline{ℝ}$는 완비 격자를 이룬다. 즉, 모든 부분 집합은 상한과 하한을 갖는다.

산술 연산

확장된 실수의 경우, 산술 연산을 다음과 같이 부분적으로 정의할 수 있다. 모든 $a^{+}\in {ℝ}^{+}$, $a^{-}\in {ℝ}^{-}$에 대하여,

(덧셈) $a^{+}\pm \mathrm{\infty }=a^{-}\pm \mathrm{\infty }=0\pm \mathrm{\infty }=\pm \mathrm{\infty }\pm \mathrm{\infty }=\pm \mathrm{\infty }$

(덧셈의 역원) $-(\pm \mathrm{\infty })=\mp \mathrm{\infty }$

(곱셈) $a^{+}\cdot (\pm \mathrm{\infty })=a^{-}\cdot (\mp \mathrm{\infty })=\pm \mathrm{\infty }\cdot \mathrm{\infty }=\mp \mathrm{\infty }\cdot (-\mathrm{\infty })=\pm \mathrm{\infty }$

(곱셈의 역원) $(\pm \mathrm{\infty }{)}^{-1}=0$

그러나 다음과 같은 연산들은 정의할 수 없다 (즉, 어떻게 정의하더라도 덧셈과 곱셈이 좋은 성질을 갖지 못한다).

$0\cdot \mathrm{\infty }=?$

$\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }=?$

$0^{-1}=?$

다만, 측도론에서는 보통 $0\cdot \mathrm{\infty }=0$으로 정의하여 사용한다.

덧셈이나 곱셈을 일반적으로 정의할 수 없기 때문에, $\overline{ℝ}$는 군이나 환, 심지어 모노이드의 구조를 가지지 않는다. 다만, 다음이 성립한다.

• $\overline{ℝ}\setminus \{0\}$는 곱셈 가환 모노이드를 이룬다.
  • 만약 $0\cdot \mathrm{\infty }=0$으로 정의한다면, $\overline{ℝ}$는 곱셈 가환 모노이드를 이룬다.
• $\overline{ℝ}\setminus \{-\mathrm{\infty }\}$와 $\overline{ℝ}\setminus \{+\mathrm{\infty }\}$는 각각 덧셈 가환 모노이드를 이룬다.
• 만약 $0\cdot \mathrm{\infty }=0$으로 정의한다면, 음이 아닌 확장된 실수 ${\overline{ℝ}}_{\ge 0}=[0,\mathrm{\infty }]$는 가환 반환을 이룬다.

지수 함수

다음과 같이 지수 함수를 정의할 수 있다.

$\exp :\overline{ℝ}\to [0,\mathrm{\infty }]$

$\exp (-\mathrm{\infty })=0$

$\exp (+\mathrm{\infty })=+\mathrm{\infty }$

이는 전단사 함수이며, 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

$\exp (a+b)=\exp (a)\exp (b)(a,b\in \overline{ℝ},;(a,b)\in ̸\{(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }),(+\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty })\})$

마찬가지로, 그 역함수인 로그 함수

$\log :[0,\mathrm{\infty }]\to \overline{ℝ}$

를 정의할 수 있다. 이는 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

$\log (ab)=\log (a)+\log (b)(a,b\in [0,\mathrm{\infty }],;(a,b)\in ̸\{(0,\mathrm{\infty }),(\mathrm{\infty },0)\})$

기타 함수

만약 어떤 실함수 $f:ℝ\to ℝ$가

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=a$

인 경우,

$f(\mathrm{\infty })=a$

로 정의한다.

같이 보기

• 0으로 나누기
• 이상 적분
• 무한
• 급수 (수학)

외부 링크

• 틀:매스월드