노름 공간

선형대수학 및 함수해석학에서 노름 공간(norm空間, 틀:Llang)은 원소들에 일종의 ‘길이’ 또는 ‘크기’가 부여된 벡터 공간이다. 이러한 크기는 노름(틀:Llang)이라고 하며, 삼각 부등식을 따라 거리 함수를 정의한다.

노름 공간의 정의에서, 하우스도르프 조건을 생략하면 반노름 공간(半norm空間, 틀:Llang)의 개념을 얻는다. 즉, 노름이 0인 벡터는 영벡터 밖에 없지만, 반노름(半norm, 틀:Llang)이 0인 벡터는 영벡터가 아닐 수 있다.

삼각 부등식을 아래 부등식으로 변형하면 양의 실수 K에 대한 준노름이 된다. $\Vert x+y\Vert \le K(\Vert x\Vert +\Vert y\Vert )$

정의

$𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

통상적 정의

$𝕂$-벡터 공간 $V$ 위의 반노름은 다음 두 조건들을 만족하는 함수

$\Vert \cdot \Vert :V\to [0,\mathrm{\infty })$

$\Vert \cdot \Vert :v\mapsto \Vert v\Vert$

이다.틀:Rp

• (양의 동차성) 임의의 $a\in K$ 및 $v\in V$에 대하여, $\Vert av\Vert =|a|\Vert v\Vert$
• (삼각 부등식) 임의의 $u,v\in V$에 대하여, $\Vert u+v\Vert \le \Vert u\Vert +\Vert v\Vert$

반노름이 주어진 $𝕂$-벡터 공간 $(V,\Vert \cdot \Vert )$을 $𝕂$-반노름 공간이라고 한다.

$V$ 위의 노름은 다음 조건을 추가로 만족하는 반노름 $\Vert \cdot \Vert$이다.틀:Rp

• (양의 정부호성) 모든 $v\in V$에 대하여, $\Vert v\Vert =0$임은 $v=0$임과 동치이다.

노름이 주어진 $𝕂$-벡터 공간 $(V,\Vert \cdot \Vert )$을 $𝕂$-노름 공간이라고 한다.틀:Rp

민코프스키 범함수를 통한 정의

$𝕂$-벡터 공간 $V$의 부분 집합 $S\subseteq V$의 민코프스키 범함수(틀:Llang)는 다음과 같다.

${\mu }_S:V\to [0,\mathrm{\infty }]$

${\mu }_S(v)=\inf \{t\in {ℝ}^{+}:v\in tS\}$

$𝕂$-벡터 공간 $V$ 위의 반노름은 다음 조건을 만족시키는 함수

$\Vert \cdot \Vert :V\to [0,\mathrm{\infty }]$

$\Vert \cdot \Vert :v\mapsto \Vert v\Vert$

이다.

• 어떤 균형 볼록 흡수 집합의 민코프스키 범함수이다.

(흡수성에 따라 반노름의 값은 항상 유한하다.) 이 정의는 반노름의 통상적 정의와 동치이다.

연산

직합

$𝕂$-노름 공간들의 (유한 또는 무한) 족 $(V_i{)}_{i\in I}$과 실수 $1\le p<\mathrm{\infty }$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 직합

$V=\underset{i}{⨁}{V}_i$

에 다음과 같은 노름을 부여할 수 있다.

$\Vert (v_i{)}_{i\in I}{\Vert }_p=\sqrt[p]{\Vert v_i{\Vert }_{V_i}^p}$

그렇다면, $(V,\Vert \cdot {\Vert }_p)$ 역시 노름 공간을 이룬다.

부분 공간과 몫

$𝕂$-노름 공간 $V$의 $𝕂$-부분 벡터 공간 $W\subseteq V$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $W$에 $V$의 노름을 제한한 것을 부여하면, $W$ 역시 $𝕂$-노름 공간을 이룬다.

$𝕂$-노름 공간 $V$의 닫힌 $𝕂$-부분 벡터 공간 $W\subseteq V$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 몫공간 $V/W$ 위에 다음과 같은 노름을 부여할 수 있다.

$\Vert v+W{\Vert }_{V/W}=\underset{w\in W}{\inf }\Vert v+w{\Vert }_V$

그렇다면 $V/W$ 역시 $𝕂$-노름 공간을 이룬다.

연속 쌍대 공간

틀:본문 $𝕂$-노름 공간 $(V,\Vert \Vert )$의 연속 쌍대 공간 $V^{\prime }$ 위에는 쌍대 노름

$\Vert f{\Vert }_{V^{\prime }}=\underset{v\in V\setminus \{0\}}{\sup }\frac{|f(v)|}{\Vert v{\Vert }_V}$

을 부여할 수 있으며, 이에 따라 $V^{\prime }$ 역시 $𝕂$-노름 공간을 이룬다.

하우스도르프화

임의의 $𝕂$-반노름 공간 $(V,\Vert \Vert )$에 대하여, 다음과 같은 $𝕂$-부분 벡터 공간을 정의하자.

$N=\{v\in V:\Vert v\Vert =0\}$

그렇다면, 몫공간 $V/N$ 위에는 반노름이 잘 정의되며, 이 경우 반노름은 노름이 된다. 이러한 구성은 예를 들어 르베그 공간의 정의에 등장한다.

완비화

$𝕂$-노름 공간 $(V,\Vert \Vert )$의 (거리 공간으로서의) 완비화 $\overline{V}$ 위에 다음과 같은 노름을 정의하자.

$\Vert \overline{v}{\Vert }_{\overline{V}}=\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert v_i{\Vert }_V(\overline{v}\in V)$

여기서 $(v_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$는 $\overline{v}$로 수렴하는 코시 열이다. 이를 부여하면 $\overline{V}$는 $𝕂$-바나흐 공간을 이룬다.

이 경우, 자연스러운 단사 $𝕂$-선형 등거리 변환

$V\hookrightarrow \overline{V}$

가 존재하여, $V$를 $\overline{V}$의 부분 공간으로 여길 수 있다. 만약 $V$가 이미 $𝕂$-바나흐 공간이라면, 위 함수는 전단사 함수이다.

성질

$𝕂$-반노름 공간 $V$ 위에는 다음과 같은 유사 거리 함수를 부여하여 유사 거리 공간으로 만들 수 있다.

$d(u,v)=\Vert u-v\Vert =\Vert v-u\Vert (u,v\in V)$

만약 $V$가 노름 공간이라면, 이는 거리 공간을 이룬다. 유사 거리 공간 구조에 의하여, $𝕂$-반노름 공간은 항상 $𝕂$-위상 벡터 공간을 이룬다.

두 $𝕂$-반노름 공간 사이의 $𝕂$-선형 변환의 경우, 유계 작용소인 것과 연속 함수인 것이 서로 동치이다.

함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

$𝕂$-노름 공간	⇐	$𝕂$-내적 공간
⇑		⇑
$𝕂$-바나흐 공간	⇐	$𝕂$-힐베르트 공간

즉, $𝕂$-노름 공간 $(V,\Vert \Vert )$가 주어졌을 때,

• 만약 $(u,v)\mapsto (\Vert u+v\Vert -\Vert u-v\Vert )/2$가 $𝕂$-쌍선형 형식을 이루면, $(V,\Vert \Vert )$는 $𝕂$-내적 공간을 이룬다.
• 만약 완비 거리 공간이라면, $(V,\Vert \Vert )$는 $𝕂$-바나흐 공간을 이룬다.
• 만약 $(V,\Vert \Vert )$가 $𝕂$-내적 공간이자 $𝕂$-바나흐 공간이라면, $(V,\Vert \Vert )$를 $𝕂$-힐베르트 공간이라고 한다.

노름화 가능 공간

$𝕂$-위상 벡터 공간 $V$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $V$를 반노름화 가능 공간(틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp

• $V$의 위상은 낱개의 반노름으로 유도된다.
• 국소 볼록 공간이자 국소 유계 공간이다. 즉, $0\in V$가 볼록 유계 근방을 갖는다.

$𝕂$-위상 벡터 공간 $V$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $V$를 노름화 가능 공간이라고 한다.틀:Rp

• $V$의 위상은 낱개의 노름으로 유도된다.
• 반노름화 가능 공간이며, 하우스도르프 공간이다.

예

모든 벡터 공간에서 자명 반노름(틀:Llang) $\Vert v\Vert =0$은 반노름을 이루지만, 이는 ($V$가 0차원이 아니라면) 노름을 이루지 못한다.

체

체 $𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$는 스스로에 대한 1차원 벡터 공간을 이룬다. 이 경우 절댓값 $\Vert a\Vert =|a|$은 노름을 이룬다.

유클리드 공간에서의 노름

서로 다른 노름 공간에서 정의된 단위원.

임의의 $1\le p\le \mathrm{\infty }$에 대하여, 유클리드 공간 ${ℝ}^n$ 위에 다음과 같은 노름 $\Vert \cdot {\Vert }_p$을 정의할 수 있으며, 이를 L^p 노름이라고 한다.

$\Vert 𝐱{\Vert }_p={(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p)}^{1/p}$

여기서 $p=2$인 경우는 표준적인 유클리드 노름

$\Vert 𝐱{\Vert }_2=\sqrt{\sum _{i=1}^n|x_i{|}^2}$

이다. 만약 $p=\mathrm{\infty }$일 경우는 상한 노름(틀:Llang)

$\Vert 𝐱{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p)}^{1/p}=\max \{|x_1|,|x_2|,\dots ,|x_n|\}$

이 된다. $p=1$인 경우는 맨해튼 노름

$\Vert 𝐱{\Vert }_1=\sum _{i=1}^n|x_i|$

이 된다.

${\ell }^p$ 노름 말고도 유클리드 공간 위에 수많은 노름들을 정의할 수 있다. 예를 들어, ${ℝ}^4$ 위에는 다음과 같은 노름이 존재한다.

$\Vert x\Vert =2|x_1|+\sqrt{3|x_2{|}^2+\max (|x_3|,2|x_4|{)}^2}$

그러나 유클리드 공간 위의 모든 노름은 같은 위상을 유도한다.

같이 보기

• 바나흐 공간
• 핀슬러 다양체
• 내적 공간
• 국소 볼록 공간
• 공간#수학

외부 링크

• 틀:Eom
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• 틀:매스월드
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• 틀:Nlab
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