위상 K이론

틀:위키데이터 속성 추적 대수적 위상수학에서 위상 K이론(位相K理論, 틀:Llang)은 위상 공간 위의 벡터 다발을 연구하는 분야이다. 보다 일반적인 K이론의 특수한 경우다.

정의

벡터 다발을 통한 정의

0차 K군

다음이 주어졌다고 하자.

• 콤팩트 하우스도르프 공간 $X$
• 기호 $G\in \{\mathrm{O},\mathrm{U},\mathrm{Sp}\}$. 이에 대하여,
  • $\mathrm{O}$-벡터 다발은 $X$ 위의 (유한 차원, 연속) 실수 벡터 다발이다. (O는 직교군을 뜻한다.)
  • $\mathrm{U}$-벡터 다발은 $X$ 위의 (유한 차원, 연속) 복소수 벡터 다발이다. (U는 유니터리 군을 뜻한다.)
  • $\mathrm{Sp}$-벡터 다발은 $X$ 위의 (유한 차원, 연속) 실수 짝수 차원 벡터 다발 가운데, (만약 $2n$차원이라면) $\mathrm{Sp}(2n;ℝ)$--주다발의 연관 벡터 다발로 표현되는 것이다. (Sp는 심플렉틱 군을 뜻한다.)

그렇다면, $X$ 위의 $G$-벡터 다발

$E\twoheadrightarrow X$

들의 동형류들의 집합을 생각할 수 있다. 이는 직합을 통하여 가환 모노이드를 이루며, $G\in \{\mathrm{O},\mathrm{U}\}$인 경우 텐서곱을 통하여 가환 반환을 이룬다. (직합에 대한 항등원은 자명한 0차원 벡터 다발이며, 텐서곱에 대한 항등원은 자명한 1차원 실수 또는 복소수 벡터 다발이다.)

$X$의 $G$에 대한 K군(틀:Lang) $\mathrm{K}{G}^0(X)$는 $X$ 위의 $G$-벡터 다발들의 그로텐디크 군이다. 만약 $G\in \{\mathrm{O},\mathrm{U}\}$라면, 이는 가환환을 이룬다.

흔히, 만약 $G$를 생략하였다면, $G=\mathrm{U}$를 뜻한다.

축소 K군

$(X,x_0)$가 점을 가진 공간이라고 하자. 그렇다면 축소 K군(縮小K群, 틀:Llang) ${\tilde{\mathrm{K}}}^0(X,x_0)$는 다음과 같다. 다음과 같은 준동형이 존재한다.

$\varphi :{\mathrm{K}}^0(X)\to {\mathrm{K}}^0(\{x_0\})$

그렇다면

${\tilde{\mathrm{K}}}^0(X,x_0)=\ker \varphi ={\mathrm{K}}^0(X)/{\mathrm{K}}^0(\{x_0\})$

이다.

벡터 다발의 차원에 해당하는, 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

$\dim :{\mathrm{K}}^0(X)\to {\check{\mathrm{H}}}^0(X,\mathbb{Z})$

여기서 ${\check{H}}^0(X,\mathbb{Z})$는 정수 계수를 가지는 체흐 코호몰로지다. 만약 $X$가 연결 공간이라면 ${\check{H}}^0(X,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$이다. 이 경우 $\dim :K^0(X)\to \mathbb{Z}$이며, 벡터 공간 $K_n^0(X)={\dim }^{-1}(n)$은 $n$차원 벡터 다발들이 이루는 그로텐디크 군이다.

상대 K군(틀:Llang)은 상대 호몰로지와 유사한 개념으로, 다음과 같다. $A\subseteq X$가 부분 공간이라고 하자. 그렇다면 $X$의 $A$에 대한 상대 K군 ${\mathrm{K}}^0(X,A)$는 다음과 같다.

${\mathrm{K}}^0(X,A)={\tilde{\mathrm{K}}}^0(X/A)$

여기서 $X/A$의 점은 물론 $A/A\in X/A$이다.

$X$가 (콤팩트하지 않을 수 있는) 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자. 그렇다면, 콤팩트 지지 K군(틀:Llang) ${\mathrm{K}}_{\text{c}}^0(X)$는 그 알렉산드로프 콤팩트화 $X^{+}$의 축소 K군이다.

${\mathrm{K}}_{\text{c}}^0(X)={\tilde{\mathrm{K}}}^0(X^{+})$

물론, 만약 $X$가 콤팩트 하우스도르프 공간이라면,

${\mathrm{K}}_{\text{c}}^0(X)={\tilde{\mathrm{K}}}^0(X^{+})={\tilde{\mathrm{K}}}^0(X\bigsqcup \{\bullet \})={\mathrm{K}}^0(X)$

이다.

고차 K군

−n차 축소 K군 ${\mathrm{K}}^{-n}(X)$는 다음과 같다.

${\tilde{\mathrm{K}}}^{-n}(X)=\tilde{\mathrm{K}}({𝕊}^n\wedge X)$

여기서 $\wedge$는 위상 공간의 분쇄곱이고, ${𝕊}^n$은 $n$차원 초구다. 여기서 $S^0\wedge X\cong X$이므로, ${\tilde{\mathrm{K}}}^0(X)$의 정의는 일관적이다. 또한 ${𝕊}^m\wedge {𝕊}^n\cong {𝕊}^{m+n}$이므로, ${\tilde{K}}^{-m-n}(X)={\tilde{K}}^{-m}(S^n\wedge X)$이다.

−n차 (비축소) K군 ${\mathrm{K}}^{-n}(X)$는 그 알렉산드로프 콤팩트화 $X^{+}=X\bigsqcup \{\mathrm{\infty }\}$의 축소 K군이다.

${\mathrm{K}}^{-n}(X)={\tilde{\mathrm{K}}}^{-n}(X^{+})$

고차 축소 K군들은 주기적이다. 즉, 다음이 성립한다.

• ${\tilde{\mathrm{K}}\mathrm{U}}^{-n-2}(X)={\tilde{\mathrm{K}}\mathrm{U}}^{-n}(X)$
• ${\tilde{\mathrm{K}}\mathrm{O}}^{-n-8}(X)={\tilde{\mathrm{K}}\mathrm{O}}^{-n}(X)$.

이를 보트 주기성(틀:Lang)이라고 한다. 보트 주기성을 사용하여 양의 정수차 K군 $K^1$, $K^2$ 등을 정의할 수 있다.

안정 벡터 다발을 통한 정의

콤팩트 하우스도르프 공간 $X$가 주어졌다고 하자. $X$ 위의 두 (유한 차원, 연속) 복소수 벡터 다발 $E$, $F$ 사이에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자.

$E\sim F⟺\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N}:E\oplus {ℂ}^n\cong F\oplus {ℂ}^n$

여기서 ${ℂ}^n$은 $n$차원 자명한 복소수 벡터 다발이며, 우변의 $\cong$은 연속 복소수 벡터 다발의 동형이다.

이 동치 관계에 대한 동치류를 안정 벡터 다발(安定vector다발, 틀:Llang)이라고 한다. 안정 벡터 다발들은 직합에 대하여 가환 모노이드를 이루며, 이는 사실 아벨 군이다. 이를 $X$의 0차 축소 K군 ${\widetilde{\mathrm{K}\mathrm{U}}}^0(X)$이라고 한다.

분류 공간을 통한 정의

기호 $G\in \{\mathrm{O},\mathrm{U},\mathrm{Sp}\}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 리 군의 포함 관계

$G(0)\hookrightarrow G(1)\hookrightarrow \cdots$

에 대한 분류 공간의 포함 관계

$\mathrm{B}G(0)\to \mathrm{B}G(1)\to \mathrm{B}G(2)\to \cdots$

가 존재한다. 구체적으로, 이는 어떤 위상 공간 $X$ 위의 $G(n)$-벡터 다발 $E\twoheadrightarrow X$가 주어졌을 때, $\mathrm{G}(n+1)$-벡터 다발 $E\oplus 𝕂$를 취하는 것이다 ($𝕂$는 자명한 1차원 또는 2차원 벡터 다발). 이에 따라서, 귀납적 극한

$\underrightarrow{\lim }\mathrm{B}G(\mathrm{\infty })$

를 취할 수 있다.

이들은 구체적으로 다음과 같이 표현된다. 직교군 $\mathrm{O}(n)$의 분류 공간 $\mathrm{BO}(n)$은 무한 차원 실수 벡터 공간에서 원점을 지나는 $n$차원 부분 공간들의 공간(그라스만 다양체)이며, 유니터리 군 $\mathrm{U}(n)$의 분류 공간 $\mathrm{BU}(n)$은 무한 차원 복소수 벡터 공간에서 원점을 지나는 복소수 $n$차원 부분 공간들의 공간이다.

$X$가 CW 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간이라고 하자. 그렇다면, $X$의 K군은 다음과 같다.

$\mathrm{K}G(X)=[X,\mathbb{Z}\times \mathrm{B}G(\mathrm{\infty })]$

여기서 $[X,Y]$는 $X\to Y$ 호모토피류들의 집합이다.

만약, $X$가 $n$차원 연결 공간이고 $k>n/2$일 때,

$\widetilde{\mathrm{K}\mathrm{O}}(X)\cong [X,\mathrm{BO}(k)]$

$\widetilde{\mathrm{K}\mathrm{U}}(X)\cong [X,\mathrm{BU}(k)]$

이 성립한다.

성질

함자성

$𝒞$가 적절한 위상 공간의 범주(예를 들어, 콤팩트 생성 약한 하우스도르프 공간의 범주)라고 하자. 그렇다면, 위상 K이론은 다음과 같은 함자를 정의한다.

$\mathrm{KO}:\mathrm{ho}(𝒞)\to {\mathrm{CRing}}^{\mathrm{op}}$

$\mathrm{KU}:\mathrm{ho}(𝒞)\to {\mathrm{CRing}}^{\mathrm{op}}$

$\mathrm{KSp}:\mathrm{ho}(𝒞)\to {\mathrm{Ab}}^{\mathrm{op}}$

여기서

• $\mathrm{ho}(𝒞)$는 위상 공간의 호모토피 범주이다.
• $\mathrm{CRing}$은 가환환의 범주이다.
• $\mathrm{Ab}$은 가환군의 범주이다.
• $(-{)}^{\mathrm{op}}$은 반대 범주이다.

즉, 연속 함수 $X\to Y$가 주어지면, 이에 따라 환 준동형 $K(Y)\to K(X)$가 존재한다.

또한, 축소 위상 K이론은 다음과 같이 점을 가진 공간의 범주 위의 함자를 정의한다.

$\widetilde{\mathrm{K}\mathrm{O}}:\mathrm{ho}(𝒞/\bullet )\to {\mathrm{CRing}}^{\mathrm{op}}$

$\widetilde{\mathrm{K}\mathrm{U}}:\mathrm{ho}(𝒞/\bullet )\to {\mathrm{CRing}}^{\mathrm{op}}$

$\widetilde{\mathrm{K}\mathrm{S}\mathrm{p}}:\mathrm{ho}(𝒞/\bullet )\to {\mathrm{Ab}}^{\mathrm{op}}$

특히, 위상 K이론은 호모토피 불변량이다. 즉, 서로 호모토피 동치인 공간들의 K군들은 동형이다.

보트 주기성

다음이 성립한다.

${\widetilde{\mathrm{K}\mathrm{U}}}^{\bullet +2}(X)\cong {\widetilde{\mathrm{K}\mathrm{U}}}^{\bullet }(X)$

${\widetilde{\mathrm{K}\mathrm{O}}}^{\bullet +8}(X)\cong {\widetilde{\mathrm{K}\mathrm{O}}}^{\bullet }(X)$

${\widetilde{\mathrm{K}\mathrm{S}\mathrm{p}}}^{\bullet +8}(X)\cong {\widetilde{\mathrm{K}\mathrm{S}\mathrm{p}}}^{\bullet }(X)$

분류 공간으로서, 이는 다음과 같은 호모토피 동치에서 기인한다.

${\mathrm{\Omega }}^8\mathrm{B}\mathrm{O}(\mathrm{\infty })\simeq \mathbb{Z}\times \mathrm{B}\mathrm{O}(\mathrm{\infty })$

${\mathrm{\Omega }}^2\mathrm{B}\mathrm{U}(\mathrm{\infty })\simeq \mathbb{Z}\times \mathrm{B}\mathrm{U}(\mathrm{\infty })$

${\mathrm{\Omega }}^8\mathrm{S}\mathrm{p}(\mathrm{\infty })\simeq \mathbb{Z}\times \mathrm{B}\mathrm{S}\mathrm{p}(\mathrm{\infty })$

코호몰로지

위상 K이론은 코호몰로지에 대한 에일렌베르크-스틴로드 공리들을 차원 공리를 제외하고 모두 만족시킨다. 따라서, 위상 K이론은 특수(extraordinary) 코호몰로지 이론을 이룬다. (차원 공리에 따르면 $H^n(\{\bullet \})=0\mathrm{\forall }n>0$이어야 하지만, K이론에서는 ${\mathrm{KU}}^{2n}(\{\bullet \})=\mathbb{Z}$이다.)

천 지표

천 지표 $\mathrm{ch}:\mathrm{Vect}(X)\to {\mathrm{H}}^{\bullet }(X)$는 $X$ 위의 벡터 다발들의 가환 모노이드 $\mathrm{Vect}(X)$로부터 짝수 차수 유리수 코호몰로지 ${\mathrm{H}}^0(X)\oplus {\mathrm{H}}^2(X)\oplus \cdots \subset {\mathrm{H}}^{\bullet }(X;\mathbb{Q})$로 가는 모노이드 준동형이다.틀:Rp틀:Rp 이는 그로텐디크 군 연산을 통해, 다음과 같은 환 준동형 $\mathrm{ch}:K^0(X)\to H^{\bullet }(X;\mathbb{Q})$로 확장된다. 즉, $[E],[F]\in K^0(X)$라고 하면,

$\mathrm{ch}([E]\oplus [F])=\mathrm{ch}([E])+\mathrm{ch}([F])$

$\mathrm{ch}([E]\otimes [F])=\mathrm{ch}([E])⌣\mathrm{ch}([F])$

$\mathrm{ch}(-[E])=-\mathrm{ch}([E])$

$\mathrm{ch}([{ℂ}^{\oplus k}])=k$

이다. 다시 말해, 천 지표는 K이론에서 코호몰로지로 가는 준동형이다. 마찬가지로, 축소 K이론에서 축소 코호몰로지로 가는 준동형 $\mathrm{ch}:{\tilde{K}}^0(X)\to {\tilde{H}}^{\bullet }(X;\mathbb{Q})$ 또한 존재한다.

고차 K이론의 경우에도 천 지표를 정의할 수 있다.틀:Rp

${\widetilde{\mathrm{K}\mathrm{U}}}^1(X)={\mathrm{KU}}^0({𝕊}^1\wedge X)$

${\tilde{\mathrm{H}}}^{2k}(X;\mathbb{Q})\cong {\mathrm{H}}^{2k+1}({𝕊}^1\wedge X;\mathbb{Q})$

이므로, 이를 사용하여 천 지표를

${\mathrm{K}}^{\bullet }(X)\to {\mathrm{H}}^{\bullet }(X;\mathbb{Q})$

로 확장시킬 수 있다. 대부분(유한 CW 복합체)의 경우, 천 지표는 $K^{\bullet }(X)\otimes \mathbb{Q}$와 $H^{\bullet }(X;\mathbb{Q})$ 사이의 동형 사상이다. 즉, 다음과 같은 동형 사상이 성립한다.틀:Rp

${\mathrm{KU}}^0(X)\otimes \mathbb{Q}=\underset{k}{⨁}{\mathrm{H}}^{2k}(X;\mathbb{Q})$

${\mathrm{KU}}^1(X)\otimes \mathbb{Q}=\underset{k}{⨁}{\mathrm{H}}^{2k+1}(X;\mathbb{Q})$

마찬가지로, 실수 K군의 경우 다음이 성립한다.틀:Rp

${\mathrm{KO}}^0(X)\otimes \mathbb{Q}=\underset{k}{⨁}{\mathrm{H}}^{4k}(X;\mathbb{Q})$

예

축약 가능 공간

하나의 점을 포함하는 공간 $\{\bullet \}$의 K군들은 다음과 같다.

$K^0(\{\bullet \})=\mathbb{Z}$

${\tilde{K}}^0(\{\bullet \})=0$

$K^1(\{\bullet \})={\tilde{K}}^1(\{\bullet \})=0$

K이론은 호모토피 불변량이므로, 모든 콤팩트 하우스도르프 축약 가능 공간의 K군은 1점 공간 $\{\bullet \}$의 K군과 같다.

이에 따라, 축소 K군의 경우

$K^0(X)\cong {\tilde{K}}^0(X)\oplus \mathbb{Z}$

$K^1(X)\cong {\tilde{K}}^1(X)$

임을 알 수 있다.

초구

초구 $S^n$의 (비축소) 복소수 K군들은 다음과 같다.틀:Rp

${\mathrm{KU}}^0({𝕊}^{2n})={\mathbb{Z}}^2$

${\mathrm{KU}}^1({𝕊}^{2n})=0$

${\mathrm{KU}}^0({𝕊}^{2n+1})=\mathbb{Z}$

${\mathrm{KU}}^1({𝕊}^{2n+1})=\mathbb{Z}$

초구의 축소 복소수 K군들은 다음과 같다.

${\widetilde{\mathrm{K}\mathrm{U}}}^0({𝕊}^{2n})={\widetilde{\mathrm{K}\mathrm{U}}}^1({𝕊}^{2n+1})=\mathbb{Z}$

${\widetilde{\mathrm{K}\mathrm{U}}}^1({𝕊}^{2n})={\widetilde{\mathrm{K}\mathrm{U}}}^0({𝕊}^{2n+1})=0$

초구의 축소 실수 K군들은 다음과 같다.틀:Rp

${\widetilde{\mathrm{K}\mathrm{O}}}^m({𝕊}^n)=\{\begin{array}{cc}\mathbb{Z}& n-m\equiv 0,4(\mathrm{mod}8)\\ \mathbb{Z}/(2)& n-m\equiv 1,2(\mathrm{mod}8)\\ 0& n-m\equiv 3,5,6,7(\mathrm{mod}8)\end{array}$

기타 공간

복소수 사영 공간 ${ℂ\mathbb{P}}^n$의 K군들은 다음과 같다.

$K^0({ℂ\mathbb{P}}^n)={\mathbb{Z}}^{n+1}$

$K^1({ℂ\mathbb{P}}^n)=0$

원환면 ${𝕋}^n$의 K군들은 다음과 같다.

$K^0({𝕋}^n)={\mathbb{Z}}^{2^{n-1}}$

$K^1({𝕋}^n)={\mathbb{Z}}^{2^{n-1}}$

역사

마이클 아티야와 프리드리히 히르체브루흐가 1950년대 말에 창시하였다.

같이 보기

• KR이론
• 아티야-싱어 지표 정리
• 대수적 K이론

각주

• 틀:서적 인용