호모토피 범주

틀:위키데이터 속성 추적 호모토피 이론에서 호모토피 범주(homotopy範疇, 틀:Llang)는 주어진 모형 범주에서, 모든 약한 동치를 동형 사상으로 만들어 얻는 범주이다.

정의

모형 범주 $(𝒞,𝔚,𝔉,ℭ)$가 주어졌다고 하자. 이에 대응하는 호모토피 범주(틀:Llang) $\mathrm{Ho}(𝒞)$는 다음과 같은 범주이다.

• $\mathrm{Ho}(𝒞)$의 대상들은 $𝒞$의 대상 가운데 올대상이자 쌍대올대상인 것들이다.
• $\mathrm{Ho}(𝒞)$의 사상들은 $𝒞$의 사상들의 호모토피류이다. (정의역과 공역이 모두 올대상이자 쌍대올대상일 경우), 오른쪽 호모토픽 및 왼쪽 호모토픽 조건이 서로 동치이다.

성질

모형 범주 $(𝒞,𝔚,𝔉,ℭ)$에서, 그 호모토피 범주로 가는, 다음 조건을 만족시키는 함자

$H:𝒞\to \mathrm{Ho}(𝒞)$

가 항상 존재한다.

• $𝒞$ 속의 약한 동치 $w\in 𝔚$의 상 $Fw$는 $\mathrm{Ho}(𝒞)$의 동형 사상이다.
• 올대상이자 쌍대올대상인 대상 $X\in 𝒞$의 상 $H(X)$는 $X$ 자신이다.
• 올대상이자 쌍대올대상인 두 대상 $X,Y\in 𝒞$ 및 사상 $f\in {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,Y)$에 대하여, $Hf\in {\mathrm{hom}}_{\mathrm{Ho}(𝒞)}(X,Y)$는 $f$의 호모토피류이다.

이러한 함자는 일반적으로 유일하지 않으나, 이러한 두 함자 사이에는 항상 유일한 자연 동형이 존재한다.

퀼런 수반

두 모형 범주 $𝒞$, $𝒟$ 사이의 퀼런 수반 함자

$F:𝒞\to 𝒟$

$G:𝒟\to 𝒞$

$F⊣G$

가 주어졌을 때, 각각 왼쪽 유도 함자

$\mathrm{L}F:\mathrm{Ho}(𝒞)\to \mathrm{Ho}(𝒟)$

및 오른쪽 유도 함자

$\mathrm{R}G:\mathrm{Ho}(𝒟)\to \mathrm{Ho}(𝒞)$

를 정의할 수 있으며, 이 역시 서로 수반 함자

$\mathrm{L}F⊣\mathrm{R}G$

를 이룬다.

예

위상 공간의 (퀼런) 모형 범주의 호모토피 범주는 CW 복합체와 그 사이의 연속 함수의 호모토피류들의 범주와 동치이다.

외부 링크

• 틀:Nlab
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