콤팩트 생성 공간

틀:위키데이터 속성 추적 위상수학에서 콤팩트 생성 공간(compact生成空間, 틀:Llang) 또는 k-공간(틀:Llang)은 연속 함수들의 공간이 항상 잘 정의되는 위상 공간이다. 즉, 콤팩트 생성 공간의 범주는 모든 위상 공간들의 범주와 달리 데카르트 닫힌 범주를 이룬다.

정의

위상 공간 $X$, $Y$ 사이의 함수 $f:X\to Y$가 다음 조건을 만족시키면, k-연속 함수라고 하자.

• 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 $K$ 및 연속 함수 $t:K\to X$에 대하여, $f\circ t:K\to Y$는 연속 함수이다.

위상 공간 $X$의 부분 집합 $A$가 다음 조건을 만족시키면 k-닫힌집합이라고 하자.

• 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 $K$ 및 연속 함수 $t:K\to X$에 대하여, $t^{-1}(A)$는 닫힌집합이다.

모든 연속 함수는 k-연속 함수이지만, 연속 함수가 아닌 k-연속 함수가 존재한다. 비슷하게, 모든 닫힌집합은 k-닫힌집합이지만, 닫힌집합이 아닌 k-닫힌집합이 존재한다.

위상 공간 $X$에 대하여 다음 네 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 공간을 콤팩트 생성 공간이라고 한다.틀:Rp틀:Rp

• $X$를 정의역으로 하는 모든 k-연속 함수는 연속 함수이다. 즉, 임의의 위상 공간 $Y$ 및 k-연속 함수 $f:X\to Y$에 대하여, $f$는 연속 함수이다.
• $X$의 모든 k-닫힌집합은 닫힌집합이다.
• $X$는 콤팩트 하우스도르프 공간들의 분리합집합의 몫공간이다. 즉, $X\cong \left(\underset{i\in I}{⨆}{K}_i\right)/\sim$인 콤팩트 하우스도르프 공간들의 집합 $\{K_i{\}}_{i\in I}$ 및 $\underset{i\in I}{⨆}{K}_i$ 위의 동치 관계 $\sim$가 존재한다.
• 다음 조건을 성립시키는 콤팩트 하우스도르프 공간들의 집합 $\{K_i{\}}_{i\in I}$ 및 함수들의 집합 $\{f_i:K_i\to X{\}}_{i\in I}$이 존재한다.
  • 임의의 부분 집합 $A\subseteq X$에 대하여, $A$가 닫힌집합일 필요충분조건은 모든 $i\in I$에 대하여 $f_i^{-1}(A)\subseteq K_i$가 닫힌집합인 것이다.
• $X$는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간의 몫공간이다.

콤팩트 생성 공간과 (k-)연속 함수의 범주를 $\mathrm{CGTop}$라고 하고, 위상 공간과 연속 함수의 범주를 $\mathrm{Top}$라고 하고, 위상 공간과 k-연속 함수의 범주를 $\mathrm{T}\mathrm{o}{\mathrm{p}}_{\mathrm{k}}$라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

$\mathrm{CGTop}\to \mathrm{Top}\to \mathrm{T}\mathrm{o}{\mathrm{p}}_{\mathrm{k}}$

이를 합성하여 얻는 함자 $\mathrm{CGTop}\to \mathrm{T}\mathrm{o}{\mathrm{p}}_{\mathrm{k}}$는 범주의 동치를 이룬다.

성질

모든 국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 콤팩트 생성 공간이다.틀:Rp틀:Rp 모든 제1 가산 공간은 콤팩트 생성 공간이다.틀:Rp틀:Rp 모든 CW 복합체는 콤팩트 생성 공간이다.틀:Rp

콤팩트 생성 공간의 범주론적 연산

포함 관계

$\mathrm{CGTop}\to \mathrm{Top}$

에 따라, $\mathrm{CGTop}$는 $\mathrm{Top}$의 반사 부분 범주를 이루며, 그 수반

$k:\mathrm{Top}\to \mathrm{CGTop}$

을 콤팩트 생성화(틀:Llang)라고 한다. 위상 공간 $X$의 콤팩트 생성화 $k(X)$는 집합으로서 $X$와 같지만 $X$보다 더 섬세한 위상을 갖는다. 구체적으로, $k(X)$의 닫힌집합은 $X$의 k-닫힌집합이다.

$\mathrm{CGTop}$는 ($\mathrm{Top}$와 마찬가지로) 완비 범주이며 쌍대완비 범주이다. $\mathrm{CGTop}$에서의 쌍대극한은 $\mathrm{Top}$와 같으며, $\mathrm{CGTop}$에서의 극한은 $\mathrm{Top}$에서의 극한의 콤팩트 생성화이다. 예를 들어, $\mathrm{CGTop}$에서의 곱은 다음과 같으며, 일반적으로 (위상 공간의) 곱공간과 다르다.

$X{\times }_{\mathrm{CGTop}}Y=k(X{\times }_{\mathrm{Top}}Y)$

$\mathrm{CGTop}$는 ($\mathrm{Top}$와 달리) 데카르트 닫힌 범주이다. 임의의 두 콤팩트 생성 공간 $X$, $Y$ 사이의 (k-)연속 함수들의 집합 $𝒞(X,Y)$에 다음과 같은 부분 기저로 정의되는 위상을 부여하자.

• 임의의 열린집합 $U\subseteq Y$ 및 콤팩트 하우스도르프 공간 $K$ 및 연속 함수 $t:K\to X$에 대하여, $\{f\in K(X,Y):f\circ t(K)\subseteq U\}$.

만약 $X$가 하우스도르프 공간이라면, 이는 콤팩트-열린집합 위상과 같다. 그렇다면, $\mathrm{CGTop}$에서의 지수 대상 $Y^X$는 $𝒞(X,Y)$의 콤팩트 생성화이다.

$(Y^X{)}_{\mathrm{CGTop}}=k(𝒞(X,Y))$

콤팩트 생성 하우스도르프 공간

위와 마찬가지로, 콤팩트 생성 하우스도르프 공간의 범주 $\mathrm{CGHaus}$ 및 콤팩트 생성 약한 하우스도르프 공간의 범주 $\mathrm{CGWH}$를 정의할 수 있다. 이들 역시 완비 범주이자 쌍대완비 범주이자 데카르트 닫힌 범주이다.

역사

이 개념은 원리 비톨트 후레비치가 도입하였다. 이후 로널드 브라운(틀:Llang)이 1961년 박사 학위 논문에서 콤팩트 생성 하우스도르프 공간의 범주가 데카르트 닫힌 범주임을 증명하였다.틀:Rp 이후 1967년에 노먼 스틴로드는 콤팩트 생성 하우스도르프 공간의 범주가 대수적 위상수학을 전개하기에 가장 편리한 범주라고 제안하였다.

예

흔히 볼 수 있는 대부분의 위상 공간은 콤팩트 생성 공간이다. 콤팩트 생성 공간이 아닌 공간의 예로는 다음이 있다.

비가산 기수 $\kappa \ge {\mathrm{\aleph }}_1$에 대하여, 실수선의 비가산 무한 곱공간 ${ℝ}^{\kappa }$는 콤팩트 생성 공간이 아니다.틀:Rp틀:Rp

외부 링크

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