천 지표

틀:위키데이터 속성 추적 대수적 위상수학에서 천 지표([陳]指標, 틀:Llang)는 복소수 벡터 다발에 대응되는 유리수 계수 특성류이다. 위상 K이론에서 (유리수 계수) 특이 코호몰로지로 가는 환 준동형을 이룬다.

정의

위상 공간 $X$가 주어졌다고 하자. 그 위의 유리수 계수 호몰로지 군

${\mathrm{H}}^{\bullet }(X;\mathbb{Q})$

은 유리수 벡터 공간이다. 이 경우,

$\overbrace{{\mathrm{H}}^{\bullet }(X;\mathbb{Q})}$

가 그 속의 (형식적) 가산 무한 합들의 유리수 벡터 공간이라고 하자. 즉, ${\mathrm{H}}^{\bullet }(X;\mathbb{Q})$의 임의의 기저 $({\alpha }_i{)}_{I\in I}$를 잡으면

${\mathrm{H}}^{\bullet }(X;\mathbb{Q})\cong \underset{i\in I}{⨁}\mathbb{Q}$

인데,

$\overbrace{{\mathrm{H}}^{\bullet }(X;\mathbb{Q})}=\prod _{i\in I}\mathbb{Q}$

로 정의하자. (만약 ${\mathrm{H}}^{\bullet }(X;\mathbb{Q})$가 유한 차원이라면, 즉 만약 $I$가 유한 집합이라면, $\overbrace{{\mathrm{H}}^{\bullet }(X;\mathbb{Q})}={\mathrm{H}}^{\bullet }(X;\mathbb{Q})$이다.)

분할 원리를 통한 정의

$X$ 위의 복소수 선다발 $L$의 천 지표는 1차 천 특성류의 (형식적) 지수 함수다. 즉, 다음과 같다.

$\mathrm{ch}(L)=\exp (c_1(L))=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{i!}{\mathrm{c}}_1(L{)}^i\in \overbrace{{\mathrm{H}}^{\bullet }(X;\mathbb{Q})}$

일반적인 복소수 벡터 다발은 분할 원리에 따라 선다발의 합 $E=L_1\oplus \cdots \oplus L_n$인 것처럼 여길 수 있으며, 천 특성류는 이에 따라 다음과 같다.

$\mathrm{ch}(E)=\sum _{i=1}^n\exp (c_1(L_i))$

직접적 정의

분할 원리를 통해 얻는 표현을 그냥 직접적으로 천 지표의 정의로 놓을 수도 있다. 이에 따라, 천 지표는 구체적으로 다음과 같다.

$\mathrm{ch}(E)={\dim }_{ℂ}E+{\mathrm{c}}_1(E)+\frac{1}{2}({\mathrm{c}}_1(E)-2{\mathrm{c}}_2(E))+\frac{1}{6}({\mathrm{c}}_1(E{)}^3-3{\mathrm{c}}_1(E){\mathrm{c}}_2(E)+3{\mathrm{c}}_3(E))+\cdots$

여기서 ${\mathrm{c}}_i(E)\in {\mathrm{H}}^i(E;\mathbb{Q})$는 유리수 계수 $2i$차 천 특성류이다. (정수 계수로 정의되는 천 특성류와 달리 천 지표는 유리수 계수만으로 정의된다.)

천-베유 이론을 통한 정의

만약 $X$가 매끄러운 다양체이며, 그 위의 $n$차원 복소수 매끄러운 벡터 다발 $E$가 코쥘 접속 $\mathrm{\nabla }$를 가졌을 경우, 천-베유 준동형을 통해 복소수 계수 천 지표는 다음과 같은 표현으로 주어진다.

$\mathrm{ch}(E)=[\mathrm{tr}\exp \frac{\mathrm{i}{F}_{\mathrm{\nabla }}}{2\pi }]$

여기서

• $F_{\mathrm{\nabla }}\in {\mathrm{\Omega }}^2(X;{\mathrm{End}}_{ℂ}(E))$는 $\mathrm{\nabla }$의 리만 곡률이며, ${\mathrm{End}}_{ℂ}(E)$값 2차 미분 형식이다.
• $\exp$는 $\overbrace{{\mathrm{H}}^{\bullet }(X;\mathbb{Q})}$ 속의 형식적 지수 함수이다. 즉, ${\mathrm{End}}_{ℂ}(E)$ 성분은 합성하고, 2차 미분 형식 성분은 쐐기곱을 취한다. (만약 $X$가 추가로 콤팩트 공간이라면 $n$차 초과의 베티 수가 0이므로 이 급수는 유한하다.)
• $\mathrm{tr}:{\mathrm{\Omega }}^{\bullet }(X;\mathrm{End}(E))\to {\mathrm{\Omega }}^{\bullet }(X;ℂ)$는 $\exp (\mathrm{i}{F}_{\mathrm{\nabla }}/2\pi )\in {\mathrm{\Omega }}^{\bullet }(X;\mathrm{End}(E))$에서 $\mathrm{End}(E)$ 성분의 대각합을 취하는 연산이다.
• $[-]:{\mathrm{\Omega }}^{\bullet }(M;ℂ)\to {\mathrm{H}}^{\bullet }(M;ℂ)$는 드람 코호몰로지에서 미분 형식에 대응하는 코호몰로지류를 취하는 연산이다.

성질

천 지표는 (복소수) 위상 K이론에서 유리수 계수 특이 코호몰로지로 가는 환 준동형을 이룬다.

$\mathrm{ch}:\mathrm{K}(X)\to \mathrm{H}(X;\mathbb{Q})$

즉, 같은 위상 공간 위의 두 복소수 벡터 다발에 대하여 다음이 성립한다.

$\mathrm{ch}(E\oplus F)=\mathrm{ch}(E)+\mathrm{ch}(F)$

$\mathrm{ch}(E\otimes F)=\mathrm{ch}(E)⌣\mathrm{ch}(F)$

또한, 임의의 벡터 다발 짧은 완전열

$0\to E\to F\to F/E\to 0$

에 대하여 다음이 성립한다.

$\mathrm{ch}(E)+\mathrm{ch}(F/E)=\mathrm{ch}(F)$

참고 문헌

• 틀:서적 인용
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외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용
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