KR이론

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서, KR이론(KR理論, 틀:Llang)은 대합을 갖춘 위상 공간 위의 안정 벡터 다발을 분류하는, 위상 K이론의 일종이다.

정의

대합 공간(틀:Llang) $(X,\tau )$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 콤팩트 하우스도르프 공간 $X$
• 대합인 연속 자기 함수 $\tau :X\to X$, $\tau \circ \tau ={\mathrm{id}}_X$

대합 공간 $(X,\tau )$ 위의 대합 벡터 다발(틀:Llang)은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 복소수 벡터 다발 $\pi :E\twoheadrightarrow X$
• $E$ 위의 연속 대합 ${\tau }_E:E\to E$

이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

• 영단면을 $0_E:X\to E$라고 하면, $\pi \circ {\tau }_E\circ 0_E=\tau$이다.

  $\begin{array}{ccc}E& \stackrel{{\tau }_E}{\to }& E\\ 0_E\uparrow 0_E& & \pi \downarrow \pi \\ X& \to \tau & X\end{array}$

• ${\tau }_E:E\to E$는 ($\tau :X\to X$ 위의) 실수 벡터 다발의 동형 사상이며, 임의의 $x\in E$에 대하여 $({\tau }_E\upharpoonright E_x):E_x\to E_{\tau (x)}$는 복소수 벡터 공간의 반선형 변환이다. 즉, $v\in E_x$ 및 $\lambda \in ℂ$에 대하여 ${\tau }_E(\lambda v)=\overline{\lambda }{\tau }_E(v)$이다.

대합 공간 위의 대합 벡터 다발들의 직합을 취할 수 있으며, 이에 따라서 주어진 대합 공간 위의 대합 벡터 다발의 동형류는 가환 모노이드를 이룬다. 이 가환 모노이드의 그로텐디크 구성을 대합 공간의 KR군이라고 한다.

성질

다른 K이론과의 관계

복소수 벡터 다발의 위상 K군 ${\mathrm{KU}}^0(-)$과 실수 벡터 다발의 위상 K군 ${\mathrm{KO}}^0(-)$은 KR군의 특별한 경우로 주어진다.

콤팩트 하우스도르프 공간 $X$ 위에 항등 함수인 대합 ${\mathrm{id}}_X$을 부여하자. 그렇다면, 이 대합 공간 위의 대합 벡터 다발 $(E,{\tau }_E)$이 주어졌을 때, 항상 실수 벡터 다발

$E_{ℝ}=\{v\in E:{\tau }_E(v)=v\}$

$E\cong E_{ℝ}\otimes ℂ$

을 정의할 수 있으며, 따라서 그 위의 대합 벡터 다발(의 동형류)은 $X$ 위의 실수 벡터 다발(의 동형류)과 동치이다. 따라서, 이 경우 KR군은 KO군과 같다.

${\mathrm{KR}}^0(X,{\mathrm{id}}_X)={\mathrm{KO}}^0(X)$

콤팩트 하우스도르프 공간 $X$가 주어졌을 때, $X\times \{\pm 1\}$ 위에 대합

$(x,\pm 1)\mapsto (x,\mp 1)$

을 부여하자. 그렇다면, $X\times \{\pm 1\}$ 위의 대합 벡터 다발은 $X$ 위의 복소수 벡터 다발과 동치이다. 따라서, 이 경우 $X\times \{\pm 1\}$의 KR군은 $X$의 KU군과 같다.

${\mathrm{KR}}^0(X\times \{\pm 1\},(x,\pm 1)\mapsto (x,\mp 1))={\mathrm{KU}}^0(X)$

보트 주기성

일반 위상 K이론과 마찬가지로, 축소 KR군(틀:Llang) ${\widetilde{\mathrm{K}\mathrm{R}}}^{0,0}(X)$을 정의할 수 있다.

유클리드 공간 ${ℝ}^{m+n}$ 위에 대합

$(x,y)\mapsto (x,-y)(x\in {ℝ}^m,y\in {ℝ}^n)$

을 부여한 것을 ${ℝ}^{m,n}$으로 표기하자. 그 속의 $m+n-1$차원 공 및 초구를 다음과 같이 표기하자.

${𝔻}^{m,n}=\{(x,y)\in {ℝ}^{m,n}:\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2\le 1\}\cong {𝔻}^{m+n}$

${𝕊}^{m,n}=\{(x,y)\in {ℝ}^{m,n}:\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2=1\}\cong {𝕊}^{m+n-1}$

그렇다면, 다음과 같이 두 개의 등급을 갖는 (축소) KR군들을 정의할 수 있다.

${\mathrm{KR}}^{m,n}(X)={\mathrm{KR}}^{0,0}(X\times {𝔻}^{m,n})$

${\widetilde{\mathrm{K}\mathrm{R}}}^{m,n}(X)={\widetilde{\mathrm{K}\mathrm{R}}}^{0,0}(X\wedge {𝔻}^{m,n})$

(여기서 $\wedge$는 분쇄곱이다.) 그렇다면, 다음과 같은 보트 주기성(틀:Llang)이 성립한다.

${\mathrm{KR}}^{m,n}(X)\cong {\mathrm{KR}}^{m+1,n+1}(X)\cong {\mathrm{KR}}^{m+8,n}(X)$

즉, KR군은 오직 $(m-n)mod8$에만 의존한다. 보통

${\widetilde{\mathrm{K}\mathrm{R}}}^{m,n}(X)={\widetilde{\mathrm{K}\mathrm{R}}}^{n-m}(X)$

으로 표기한다. 특히, ${𝕊}^{m,n}$은 ‘$m-n-1$차원 초구’로 해석되며, 이를 통하여 음의 차원의 초구를 생각할 수 있다.

실수 · 복소수 K이론의 보트 주기성은 KR이론의 보트 주기성의 특수한 경우이다.

응용

끈 이론에서, 오리엔티폴드가 주어진 시공간은 대합 공간을 이루며, 그 위의 D-막들은 KR군에 의하여 분류된다.틀:Rp

역사

1966년에 마이클 아티야가 도입하였다. 이름 ‘KR’에서, ‘K’는 원래 K이론에서 딴 것이다. (이는 틀:Llang의 첫 글자이다.) ‘R’는 틀:Llang의 첫 글자이다.

외부 링크

• 틀:Nlab