분류 공간

틀:위키데이터 속성 추적 대수적 위상수학에서 분류 공간(分流空間, 틀:Llang)는 어떤 위상군을 올로 하는 모든 주다발들을 호모토피류들로 나타낼 수 있는 올다발이다.

정의

$G$가 위상군이라고 하자. 어떤 $G$-주다발 $\pi :\mathrm{E}G\to \mathrm{B}G$이 주어졌을 때, 임의의 위상 공간 $X$ 및 연속 함수 $X\to \mathrm{B}G$에 대하여, $G$-주다발 ${\pi }^{*}\mathrm{E}G\to X$를 당겨서 정의할 수 있다.

만약 임의의 위상 공간 $X$에 대하여, $X$ 위에 존재하는 $G$-주다발 $E\to X$는 연속 함수 $\varphi :X\to \mathrm{B}G$의 호모토피류 $[\varphi ]$들과 위와 같은 사상을 통해 일대일 대응한다면, $\pi :\mathrm{E}G\to \mathrm{B}G$를 $G$의 분류 공간이라고 한다.

이 경우, $\mathrm{B}G$를 $G$의 분류 공간, $\mathrm{E}G$를 $G$의 전체 분류 공간(틀:Llang)이라고 한다. 즉, $G$-주다발들은 $G$의 분류 공간을 공역으로 하는 호모토피류들과 일대일 대응한다.

성질

주어진 위상 공간의 분류 공간은 호모토피 동치 아래 유일하다.

두 위상군의 직접곱의 분류 공간은 각 위상군의 분류 공간의 곱공간(과 호모토피 동치)이다.

$B(G_1\times G_2)\simeq B{G}_1\times B{G}_2$

벡터 다발의 경우, 항상 리만 계량 (또는 에르미트 계량)을 줘 그 구조군 O(n) (실수 벡터 다발의 경우) 또는 U(n) (복소수 벡터 다발의 경우)의 주다발로 나타낼 수 있다. 따라서 벡터 다발은 그 구조군의 분류 공간으로 분류된다.

예

군 $G$	분류 공간 $\mathrm{B}G$	전체 공간 $\mathrm{E}G$
아벨 군 $\mathbb{Z}$	원 $S^1$	$ℝ$
순환군 $\mathbb{Z}/(n)$	무한 차원 렌즈 공간 $L^{\mathrm{\infty }}(n)=S^{\mathrm{\infty }}/{\mathbb{Z}}_n$	무한 차원 초구 $S^{\mathrm{\infty }}$
$\mathbb{Z}/(2)$	무한 차원 실수 사영 공간 ${ℝ\mathbb{P}}^{\mathrm{\infty }}$	무한 차원 초구 $S^{\mathrm{\infty }}$
n개의 생성원의 자유군 $⟨a_1,a_2,\dots ,a_n⟩$	n개의 원들의 쐐기합 ${\bigwedge }^n{S}^1$
유니터리 군 U(n)	복소수 그라스만 다양체 $\mathrm{Gr}(n,\mathrm{\infty };ℂ)$	그라스만 다양체의 보편 다발(tautological bundle)
원군 U(1)	무한 차원 복소 사영 공간 $ℂP^{\mathrm{\infty }}$	무한 차원 초구 $S^{\mathrm{\infty }}$
직교군 O(n)	실수 그라스만 다양체 $\mathrm{Gr}(n,\mathrm{\infty };ℝ)$	그라스만 다양체의 보편 다발(tautological bundle)

같이 보기

• 모듈라이 공간
• 에일렌베르크-매클레인 공간
• 신경 (범주론)

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용
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