심플렉틱 군

틀:위키데이터 속성 추적 군론에서 심플렉틱 군(-群, 틀:Llang) 또는 사교군(斜交群)은 고전적 행렬 리 군의 하나다.

정의

심플렉틱 군 Sp(2n; K)

$K$가 체라고 하자. 다음과 같은 $2n\times 2n$ 행렬을 정의하자.

$\mathrm{\Omega }=\left(\begin{array}{cc}0& 1_{n\times n}\\ -1_{n\times n}& 0\end{array}\right)\in \mathrm{GL}(2n;K)$

여기서 $1_{n\times n}$은 $n\times n$ 단위 행렬이다.

그렇다면 $\mathrm{Sp}(2n;K)$는 $M^{\mathrm{\top }}\mathrm{\Omega }M=\mathrm{\Omega }$를 만족하는 $2n\times 2n$ 행렬 $M$들의 곱셈군이다. 즉,

$\mathrm{Sp}(2n;K)=\{M\in \mathrm{GL}(2n;K)|M^{\mathrm{\top }}\mathrm{\Omega }M=\mathrm{\Omega }\}$.

이 성질을 만족하는 행렬을 심플렉틱 행렬이라고 한다.

유니터리 심플렉틱 군 USp(2n)

유니터리 심플렉틱 군 $\mathrm{USp}(2n)$은 $2n\times 2n$ 유니터리 심플렉틱 복소수 행렬의 리 군이다. 즉,

$\mathrm{USp}(2n)=\mathrm{U}(2n)\cap \mathrm{Sp}(2n,ℂ)$

이다. 간혹 USp(2n)을 Sp(n)으로 쓰기도 한다. 하지만 이는 Sp(n,F)와 다른 군이다.

유니터리 심플렉틱 군 $\mathrm{USp}(2n)$은 사원수의 유니터리 군과 같다.

$\mathrm{USp}(2n)\cong \mathrm{U}(n;ℍ)=\{M\in \mathrm{GL}(n;ℍ):M^{-1}=M^{†}\}$

리 대수

$\mathrm{Sp}(2n;ℝ)$에 대응하는 리 대수 $𝔰𝔭(2n;ℝ)$는 해밀턴 행렬(틀:Llang), 즉 $\mathrm{\Omega }M$이 대칭 행렬인 행렬 $M$들로 구성된다.

$𝔰𝔭(2n;ℝ)=\{M\in 𝔤𝔩(2n;ℝ):\mathrm{\Omega }M=(\mathrm{\Omega }M{)}^{\mathrm{\top }}\}$

복소수체의 경우에도 마찬가지이다.

$𝔰𝔭(2n;ℂ)=\{M\in 𝔤𝔩(2n;ℂ):\mathrm{\Omega }M=(\mathrm{\Omega }M{)}^{\mathrm{\top }}\}$

유니터리 심플렉틱 군의 리 대수 $𝔲𝔰𝔭(2n)$는 $n\times n$ 사원수 반에르미트 행렬로 구성된다. 또한, 이는 $2n\times 2n$ 복소수 에르미트 행렬이자 $2n\times 2n$ 해밀턴 행렬인 것들로 구성할 수도 있다.

$𝔲𝔰𝔭(2n)=\{M\in 𝔤𝔩(n;ℍ):M=-M^{†}\}\cong 𝔰𝔭(2n;ℂ)\cap 𝔲(2n)$

성질

군론적 성질

$\mathrm{USp}(2n)$의 중심은 다음과 같다.

$\mathrm{Z}(\mathrm{USp}(2n))=\{\pm 1_{2n\times 2n}\}\cong \mathbb{Z}/2$

만약 $K$의 표수가 2가 아닐 경우, $\mathrm{Sp}(2n;K)$의 중심은 다음과 같다.

$\mathrm{Z}(\mathrm{Sp}(2n;K))=\{\pm 1_{2n\times 2n}\}\cong \mathbb{Z}/2$

만약 $K$의 표수가 2일 경우, $\mathrm{Sp}(2n;K)$의 중심은 자명군이다.

(유니터리) 심플렉틱 군의 중심에 대한 몫군은 사영 (유니터리) 심플렉틱 군(틀:Llang)이라고 한다.

$\mathrm{Sp}(2n;K)/\mathrm{Z}(\mathrm{Sp}(2n;K))=\mathrm{PSp}(2n;K)$

$\mathrm{USp}(2n)/\mathrm{Z}(\mathrm{USp}(2n))=\mathrm{PUSp}(2n)$

유한체에 대한 심플렉틱 군의 크기는 다음과 같다.

$|\mathrm{Sp}(2n;{𝔽}_q)|=q^{n^2}\prod _{k=1}^n(q^{2k}-1)$

리 이론적 성질

심플렉틱 군 $\mathrm{Sp}(2n;ℂ)$는 계수가 $n$인 단순 리 군이며, 단순 리 군의 분류에서 $C_n$에 해당한다. 그 콤팩트 실수 형태는 $\mathrm{USp}(2n)$이며, 분해 실수 형태는 $\mathrm{Sp}(2n;ℝ)$이다. $\mathrm{Sp}(2n;ℂ)$의 딘킨 도표는 다음과 같다.

$\stackrel{n}{\overbrace{\bullet -\bullet -\cdots -\bullet \Leftarrow \bullet }}$

$\mathrm{Sp}(2n;ℝ)$의 최대 콤팩트 부분군은 유니터리 군 $\mathrm{U}(n)$이다.

$\mathrm{USp}(2n)$을 $n\times n$ 사원수 유니터리 행렬들의 군으로 생각한다면, $\mathrm{USp}(2n)$의 극대 원환면은 다음과 같다.

$\{\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n):{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\in ℂ\subset ℍ,|{\lambda }_1|=\cdots =|{\lambda }_n|=1\}$

위 식에서는 사원수 대수 $ℍ$ 속에서, 복소수체와 동형인 부분 대수를 임의로 골랐다. 이러한 부분 대수로는 $ℝ+ℝi$ 또는 $ℝ+ℝj$ 또는 $ℝ+ℝk$ 따위를 사용할 수 있다.

$\mathrm{USp}(2n)$의 바일 군은 다음과 같으며, 이는 $\mathrm{SO}(2n+1)$의 바일 군과 같다.

$\mathrm{Weyl}(\mathrm{USp}(2n))\cong (\mathbb{Z}/2{)}^n⋊\mathrm{Sym}(n)$

이는 구체적으로 다음과 같이 작용한다. 각 ${ϵ}_i\in \{\pm 1\}$는 ${\lambda }_i$를

$+1:{\lambda }_i\mapsto {\lambda }_i$

$-1:{\lambda }_i\mapsto {\overline{\lambda }}_i$

와 같이 대응시키며, $\sigma \in \mathrm{Sym}(n)$은 극대 원환면의 기저에 대하여 순열로 작용한다.

위상수학적 성질

복소수 심플렉틱 군 $\mathrm{Sp}(2n;ℂ)$은 $n(2n+1)$ 복소수 차원의 연결 단일 연결 리 군이다. 이는 콤팩트하지 않으며, 다음과 같은 위상 동형이 존재한다.

$\mathrm{Sp}(2n;ℂ)\cong \mathrm{USp}(2n)\times {ℝ}^{2n^2+n}$

실수 심플렉틱 군 $\mathrm{Sp}(2n;ℝ)$은 $n(2n+1)$ (실수) 차원의 연결 리 군이며, 이는 콤팩트하지 않는다. 또한, 다음과 같은 호모토피 동치가 존재한다.

$\mathrm{Sp}(2n,ℝ)\simeq {𝕊}^1\times \mathrm{SU}(n)$

따라서, 그 기본군은 다음과 같다.

${\pi }_1(\mathrm{Sp}(2n;ℝ))\cong \mathbb{Z}$

이에 따라 두 겹 피복군을 취하면 메타플렉틱 군(틀:Llang)

$1\to \mathbb{Z}/2\to \mathrm{Mp}(2n)\to \mathrm{Sp}(2n;ℝ)\to 1$

을 얻는다.

유니터리 심플렉틱 군 $\mathrm{USp}(2n)$은 $n(2n+1)$ (실수) 차원의 콤팩트 연결 단일 연결 리 군이다.

포함 관계

유니터리 심플렉틱 군은 다음과 같은 포함 관계를 가진다.

$\mathrm{USp}(2n)\supset \mathrm{USp}(2n-2)$

$\mathrm{SU}(2n)\supset \mathrm{USp}(2n)\supset \mathrm{SU}(n)$

$F_4\supset \mathrm{USp}(8)$

$G_2\supset \mathrm{USp}(2)$.

낮은 차수의 유니터리 심플렉틱 군은 다음과 같은 예외적 동형(틀:Llang)을 보인다.

$\mathrm{USp}(2)\cong \mathrm{Spin}(3)\cong \mathrm{SU}(2)$

$\mathrm{PUSp}(2)\cong \mathrm{PSU}(2)\cong \mathrm{SO}(3)$

$\mathrm{Sp}(2;ℝ)\cong \mathrm{SL}(2;ℝ)$

$\mathrm{PSp}(2;ℝ)\cong \mathrm{PSL}(2;ℝ)\cong {\mathrm{Spin}}^{+}(2,1)$

$\mathrm{USp}(4)\cong \mathrm{Spin}(5)$

$\mathrm{PUSp}(4)\cong \mathrm{SO}(5)$

$\mathrm{Sp}(4;ℝ)\cong \mathrm{Spin}(3,2)$

$\mathrm{PSp}(4;ℝ)\cong \mathrm{SO}(3,2)$

복소군의 경우 이는 해당 딘킨 도표로부터 쉽게 알 수 있다.

모든 체 $K$에 대하여, 다음과 같은 동형이 성립한다.

$\mathrm{Sp}(2;K)=\mathrm{SL}(2;K)$

유한체에 대한 심플렉틱 군의 경우 다음과 같은 동형이 존재한다.

$\mathrm{Sp}(2;{𝔽}_2)\cong \mathrm{Sym}(3)$

$\mathrm{Sp}(4;{𝔽}_2)\cong \mathrm{Sym}(6)$

$\mathrm{PSp}(2;{𝔽}_3)\cong \mathrm{Alt}(4)$

여기서 $\mathrm{Sym}(n)$ 및 $\mathrm{Alt}(n)$은 각각 대칭군과 교대군을 뜻한다.

역사

심플렉틱 군은 닐스 헨리크 아벨이 도입하였다.

"심플렉틱 군"이라는 이름은 헤르만 바일이 1939년에 도입하였다. 이 책에서 바일은 다음과 같이 적었다. 틀:인용문2 이 어원에 대하여 다른 저자는 다음과 같이 적었다. 틀:인용문2

각주

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab

같이 보기

• 심플렉틱 다양체
• 심플렉틱 행렬