양-밀스 순간자

틀:위키데이터 속성 추적 미분기하학에서 양-밀스 순간자(楊-Mills瞬間子, 틀:Llang)는 4차원 매끄러운 다양체 위의 주다발의 주접속 가운데, 그 주곡률의 호지 쌍대가 스스로의 −1배와 같은 것이다. 양자역학에서, 이는 양-밀스 이론의 특별한 (고전적) 해에 해당하며, 순간자로 해석될 수 있다. 양-밀스 순간자의 모듈라이 공간으로부터 도널드슨 불변량을 정의할 수 있다.

정의

(반) 자기 쌍대 형식

다음이 주어졌다고 하자.

• $2n$차원 유향 콤팩트 리만 다양체 $(M,g,\omega )$
• $M$ 위의 임의의 매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$ 및 그 위의 양의 정부호 내적 $⟨-,-⟩$

그렇다면, 벡터 값 미분 형식의 공간 ${\mathrm{\Omega }}^{\bullet }(M;E)$를 정의할 수 있으며, 그 호지 쌍대

$*:{\mathrm{\Omega }}^{\bullet }(M;E)\to {\mathrm{\Omega }}^{2n-\bullet }(M;E)$

$\alpha \wedge *\beta =⟨\alpha ,\beta ⟩\omega$

를 정의할 수 있다. 물론, $k$차 미분 형식에 대하여 ${*}^2=(-{)}^{k(2n-k)}$이다.

특히, 가운데 차수 ($n$차) 미분 형식에 대하여, 호지 쌍대는 자기 사상을 이루며, 이 경우 ${*}^2=(-{)}^{n^2}$이다. 만약 $n$이 짝수일 경우, $*\upharpoonright {\mathrm{\Omega }}^n(M;E)$의 고윳값은 ±1이 된다. 이에 따라, 가운데 차수 미분 형식의 공간을 호지 쌍대의 고유 공간에 따라 다음과 같이 분해할 수 있다.

${\mathrm{\Omega }}^n(M;E)={\mathrm{\Omega }}^{n,+}(M;E)\oplus {\mathrm{\Omega }}^{n,-}(M;E)$

여기서 ${\mathrm{\Omega }}^{n,+}(M)$의 원소는 자기 쌍대 미분 형식(틀:Llang), ${\mathrm{\Omega }}_{-}^2(M)$의 원소는 반 자기 쌍대 미분 형식(틀:Llang)라고 한다. 이에 대한 사영 사상을

${\mathrm{proj}}^{\pm }:{\mathrm{\Omega }}^n(M;E)\to {\mathrm{\Omega }}^{n,+}(M;E)$

라고 표기하자.

(만약 $n$이 홀수라면, $*$의 고윳값은 $\pm \mathrm{i}$가 된다. 따라서 복소수 계수에서 유사한 분해를 가할 수 있다.)

다양체 $M$의 방향을 뒤집으면, 자기 쌍대 미분 형식은 반 자기 쌍대 미분 형식이 되며, 그 역도 마찬가지다. 즉, 자기 쌍대 / 반 자기 쌍대의 선택은 임의적이다.

순간자수

다음이 주어졌다고 하자.

• 4차원 유향 콤팩트 매끄러운 다양체 $M$
• 콤팩트 리 군 $G$
• $𝔩𝔦𝔢(G)$ 위의 양의 정부호 2차 불변 다항식 $K(-,-)$
• $G$-매끄러운 주다발 $G\hookrightarrow P\twoheadrightarrow M$

그렇다면, $P$의 천-베유 준동형

${\mathrm{CW}}_P:ℂ[𝔩𝔦𝔢(G){]}^G\to {\mathrm{H}}^{\bullet }(M;ℂ)$

을 정의할 수 있으며, $K(-,-)$의 천-베유 준동형 아래의 상

${\mathrm{CW}}_P(K)\in {\mathrm{H}}^4(M;ℂ)\cong ℂ$

를 정의할 수 있다. 이는 천 특성류로 정의되는 특성수이며, 모든 가능한 주다발들에 대하여 그 값들은 어떤 $\lambda \in ℂ$에 대하여

${\mathrm{CW}}_P(K)\in \lambda \mathbb{Z}⊊ℂ$

의 꼴이다. 이 경우, ${\lambda }^{-1}{\mathrm{CW}}_P(K)\in \mathbb{Z}$를 주다발 $P$의 순간자수(틀:Llang)라고 한다. (이는 $\lambda \mapsto -\lambda$ 아래 부호의 모호성을 가진다.)

만약 $M={𝕊}^4$ (4차원 초구)이며, $G$가 콤팩트 단순 리 군이라면, ${𝕊}^4$ 위의 $G$-주다발은 순간자수만으로 완전히 분류된다.

증명 개략:

${𝕊}^4$ 위의 주다발이 주어졌다고 하자. 그 위에 임의의 주접속 $A$를 부여하자. 또한, 어떤 임의의 점 $\mathrm{\infty }\in {𝕊}^4$을 무한대로 여겨, ${ℝ}^4\cong {𝕊}^4\setminus \{\mathrm{\infty }\}$로 여길 수 있다.

4차원 유클리드 공간 ${ℝ}^4$은 축약 가능 공간이므로, 그 위의 $G$-주다발은 하나 밖에 없으며, 이를 자명한 주다발로 여길 수 있다. $A$는 그 위의 주접속으로 여길 수 있다. 4차원 유클리드 공간 ${ℝ}^4$의 무한대는 ${𝕊}^3$이므로, 무한대에서 게이지 퍼텐셜은 연속 함수

${𝕊}^3\to G$

를 나타낸다. 서로 호모토픽한 게이지 퍼텐셜들은 같은 ${𝕊}^4$ 위의 서로 동형인 주다발에 정의될 수 있다. 따라서, 주다발들은 ${𝕊}^3\to G$ 호모토피류, 즉 $G$의 3차 호모토피 군에 의하여 분류된다. 그런데 $G$가 콤팩트 단순 리 군이라면 이는 $\mathbb{Z}$이며, 이는 순간자수에 해당한다.

(반) 자기 쌍대 주접속

다음이 주어졌다고 하자.

• 4차원 유향 콤팩트 리만 다양체 $(M,g,\omega )$
• 콤팩트 리 군 $G$
• $𝔩𝔦𝔢(G)$ 위의 양의 정부호 2차 불변 다항식 $K(-,-)$
• $G$-매끄러운 주다발 $P\twoheadrightarrow M$

그렇다면, $P$의 주접속들을 생각하자. 연관 벡터 다발

$\mathrm{ad}(P)=P{\times }_G\mathrm{ad}(G)$

을 정의하면, 주접속 모듈라이 공간은

${\mathrm{\Omega }}^1(M;\mathrm{ad}(P))$

에 대한 아핀 공간이다. ($\mathrm{ad}(G)$는 $G$의 딸림표현이다.) 주접속 $A$로부터, 주곡률 $F\in {\mathrm{\Omega }}^2(M;\mathrm{ad}(G))$을 정의할 수 있다. $K(-,-)$가 양의 정부호 2차 불변 다항식이므로, 이는 $\mathrm{ad}(G)$ 위의 양의 정부호 내적을 정의한다. 따라서 주곡률의 호지 쌍대를 정의할 수 있다.

주접속 가운데, 그 주곡률이 반 자기 쌍대인 것을 반 자기 쌍대 주접속(틀:Llang) 또는 양-밀스 순간자(틀:Llang)라고 한다.

이 경우, 게이지 변환에 대하여 서로 동치인 주접속은 같은 순간자로 간주한다. 이 경우 게이지 변환군은

$𝒢={𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M,G)$

이다. 이 대신, $M$에 임의의 밑점을 골라 점을 가진 공간 $(M,\bullet )$을 만들어, 밑점에서 자명한 게이지 변환들의 부분군

${𝒢}_0={𝒞}_{\bullet }^{\mathrm{\infty }}((M,\bullet ),(G,1_G))$

을 생각할 수 있다. 이는 짧은 완전열

$1\to {𝒢}_0\to 𝒢\to G\to 1$

을 이룬다. ${𝒢}_0$에 대한 반 자기 쌍대 주접속의 동치류를 틀 갖춘 순간자(틀:Llang)이라고 한다. 순간자의 모듈라이 공간을 $ℳ$, 틀 갖춘 순간자의 모듈라이 공간을 $\widetilde{ℳ}$이라고 하면, 이는 $G$-주다발

$G\hookrightarrow \widetilde{ℳ}\twoheadrightarrow ℳ$

을 이룬다.

성질

순간자 모듈라이 공간의 국소 모형

반 자기 쌍대 주접속의 모듈라이 공간 ${ℳ}_{\text{ASD}}(M,G)$의 접공간은 다음과 같이 묘사할 수 있다. 우선, 반 자기 쌍대 주접속 $[A]\in {ℳ}_{\text{ASD}}(M,G)$이 주어졌을 때, 다음과 같은 짧은 완전열을 정의할 수 있으며, 이를 순간자 변형 복합체(瞬間子變形複合體, 틀:Llang)라고 한다.

$0\to {\mathrm{\Omega }}^0(M;\mathrm{ad}(P))\stackrel{{\mathrm{\nabla }}_A}{\to }{\mathrm{\Omega }}^1(M;\mathrm{ad}(P))\stackrel{{\mathrm{proj}}^{+}{\mathrm{\nabla }}_A}{\to }{\mathrm{\Omega }}^{2,+}(M;\mathrm{ad}(P))\to 0$

완전열 조건의 증명:

임의의 $\varphi \in {\mathrm{\Omega }}^0(M;\mathrm{ad}(P))$가 주어졌을 때,

${\mathrm{\nabla }}_A{\mathrm{\nabla }}_A\varphi =[F,\varphi ]$

이다. 여기서 $F\in {\mathrm{\Omega }}^2(M;\mathrm{ad}(P))$는 $A$의 주곡률이다. $F$가 반 자기 쌍대 2차 미분 형식이라고 가정하였으므로,

${\mathrm{proj}}^{+}({\mathrm{\nabla }}_A{\mathrm{\nabla }}_A\varphi )=[{\mathrm{proj}}^{+}(F),\varphi ]=0$

이다.

여기서

• ${\mathrm{\Omega }}^{2,+}(M;\mathrm{ad}(P))$는 자기 쌍대 미분 형식으로 구성된, ${\mathrm{\Omega }}^2(M;\mathrm{ad}(P))$의 부분 실수 벡터 공간이다.
• ${\mathrm{proj}}^{+}:{\mathrm{\Omega }}^2(\mathrm{ad}(P))\to {\mathrm{\Omega }}^{2,+}(\mathrm{ad}(P))$는 자기 쌍대 2차 미분 형식에 대한 사영이다.
• ${\mathrm{\nabla }}_A:{\mathrm{\Omega }}^{\bullet }(M;\mathrm{ad}(P))\to {\mathrm{\Omega }}^{\bullet +1}(M;\mathrm{ad}(P))$는 $A$에 대한 공변 미분이다.

순간자 변형 복합체의 (가운데) 코호몰로지 군

${\mathrm{H}}^1=\frac{\ker ({\mathrm{proj}}^{+}\circ {\mathrm{\nabla }}_A)}{\mathrm{im}{\mathrm{\nabla }}_A}$

은 ${ℳ}_{\text{ASD}}(M,G)$의, $A\in {ℳ}_{\text{ASD}}(M,G)$에서의 접공간과 표준적으로 동형이다. 그 해석은 다음과 같다. 임의의 $X\in {\mathrm{\Omega }}^1(M;\mathrm{ad}(P))$에 대하여,

• ${\mathrm{proj}}^{+}({\mathrm{\nabla }}_{A}X)=0$ 조건은 반 자기 쌍대 조건이 성립해야 함을 뜻한다.
• $\nexists \varphi \in {\mathrm{\Omega }}^0(M;\mathrm{ad}(P)):{\mathrm{\nabla }}_A\varphi =X$ 조건은 게이지 변환군의 작용에 대한 몫을 취한 것이다.

순간자 변형 복합체의 오일러 지표

$\mathrm{ind}=-\dim {\mathrm{H}}^0+\dim {\mathrm{H}}^1-\dim {\mathrm{H}}^2$

를 모듈라이 공간의 가상 차원(假想次元, 틀:Llang)이라고 한다. 이는 아티야-싱어 지표 정리를 통해 계산될 수 있으며, 모듈라이 공간의 실제 차원의 하계를 이룬다. 많은 주접속의 경우, 이는 실제 차원과 일치한다.

주다발 $P$에 대하여, 틀 갖춘 순간자 모듈라이 공간의 가상 차원은 다음과 같다.

$\mathrm{ind}=4h^{\vee }(G)|k|\le \dim \widetilde{ℳ}$

여기서 $k$는 순간자수이며, $h^{\vee }(G)$는 $G$의 이중 콕서터 수이다. 즉, 이는 틀 갖춘 순간자 모듈라이 공간의 하계이다. 틀이 없는 순간자 모듈라이 공간의 차원은 물론 이보다 $|G|$만큼 작다.

$4h^{\vee }(G)|k|-\dim G\le \dim ℳ$

순간자 모듈라이 공간

양-밀스 순간자의 모듈라이 공간 ${ℳ}_{\text{ASD}}(P)$를 생각하자. 그 위에는 $M$의 리만 계량 및 $𝔩𝔦𝔢(G)$ 위의 2차 불변 다항식으로 유도되는 리만 계량이 존재한다.

만약 $M$이 4차원 유클리드 공간의 콤팩트화라면, 이에 따라 틀 달린 순간자 모듈라이 공간 ${ℳ}_{\text{ADS}}(P)$는 (특이점을 제외하면 국소적으로) 초켈러 다양체를 이룬다. 특히, 그 가상 차원은 항상 4의 배수이다.

4차원 유클리드 공간(의 콤팩트화) 위에서, 게이지 군이 $G$일 경우, 1차 및 2차 베티 수가 0이므로, 순간자 모듈라이 공간의 가상 차원은 실제 차원과 일치하며, 다음과 같다.틀:Rp

$\dim \widetilde{ℳ}(k,G)=4|k|h^{\vee }(G)$

$\dim ℳ(k,G)=4|k|h^{\vee }(G)-\dim G$

모든 순간자들을 평행 이동시킬 수 있고, 이 방향으로는 모듈라이 공간이 평탄하다. 즉, 모듈라이 공간 $\tilde{M}$은 ${ℝ}^4$ 등거리 대칭을 갖는다. 이에 대한 몫을 취하면, $4|k|h^{\vee }(G)-4$ 차원의 초켈러 다양체를 얻는다.

ADHM 작도

틀:본문 4차원 유클리드 공간의 콤팩트화 (즉, 4차원 초구) ${𝕊}^4$ 위의 양-밀스 순간자 모듈라이 공간은 $𝒩=2$ 게이지 이론의 힉스 가지(틀:Llang)로 나타낼 수 있다. 이를 통해 순간자를 힉스 가지의 모듈라이로 작도할 수 있다. 이를 ADHM 작도라고 한다. 마이클 아티야, 블라디미르 드린펠트, 나이절 히친, 유리 마닌이 1978년에 3쪽밖에 되지 않는 유명한 논문에 발표하였다.

보고몰니-프라사드-소머필드 부등식

(반) 자기 쌍대 주접속은 보고몰니-프라사드-소머필드 부등식(틀:Llang, BPS 부등식)을 충족시킨다.

$M$ 위의 부피 형식 $\omega$가 리만 계량에 의하여 주어지며, 또한 $𝔩𝔦𝔢(G)$ 위에 양의 정부호 쌍선형 형식을 이루는 2차 불변 다항식 $K(-,-)$이 주어졌다고 하자. (반단순 리 대수의 경우, 이는 킬링 형식에 비례한다.) 이 경우, ${\mathrm{\Omega }}^2(M;\mathrm{ad}(P))$ 위에 자연스러운 양의 정부호 내적

$⟨B,C⟩=\underset{M}{\int }K(B\wedge *C)$

이 주어진다. 이 내적 아래, 자기 쌍대 2차 미분 형식의 공간과 반 자기 쌍대 2차 미분 형식의 공간은 서로 수직이다.

이에 대한 주곡률의 노름 $⟨F,F⟩$을 주접속의 양-밀스 작용(틀:Llang)이라고 하며, 이는 양-밀스 이론의 작용이다. 임의의 주곡률

$F\in {\mathrm{\Omega }}^2(M;\mathrm{ad}(P))$

의 (반) 자기 쌍대 성분을 $F^{\pm }$이라고 하자 ($F=F^{+}+F^{-}$, $*F=F^{+}-F^{-}$). 그렇다면

$⟨F,F⟩=⟨F_{+},F_{+}⟩+⟨F_{-},F_{-}⟩\ge |⟨F_{+},F_{+}⟩-⟨F_{-},F_{-}⟩|=⟨F,*F⟩=|\underset{M}{\int }K(F\wedge F)|$

이다. 우변은 $F$의 (어떤 충실한 표현에 대한 연관 벡터 다발의) 2차 천 특성류(의 절댓값)에 비례한다. 즉, 양-밀스 작용은 천 특성류의 절댓값에 의하여 하계를 갖는다. 이를 주접속의 보고몰니-프라사드-소머필드 부등식이라고 한다.

(반) 자기 쌍대 접속의 경우, $F^{+}$ 또는 $F^{-}$가 0이므로, 보고몰니-프라사드-소머필드 부등식 부등식이 포화된다. 즉, (반) 자기 쌍대 접속은 양-밀스 작용을 (국소적으로) 최소화시킨다.

예

유클리드 공간

4차원 유클리드 공간 ${ℝ}^4$ 위의, 게이지 군 $G$의 양-밀스 순간자를 생각하자. ${ℝ}^4$의 콤팩트화 ${𝕊}^4$는 자명한 위상을 가지므로, 그 위의 순간자 모듈라이 공간의 가상 차원은 실제 차원과 같다.

$\dim ℳ(G,k)=4h^{\vee }(G)|k|$

예를 들어, $G=\mathrm{SU}(N)$인 경우 이중 콕서터 수는 $h^{\vee }=N$이며, 틀 달린 순간자 모듈라이 공간의 차원은 $4N|k|$이다.틀:Rp 하나의 순간자($k=1$)인 경우, 이는 다음과 같다.

• 4차원 공간 속의 점입자이므로, 4개의 평행 이동(틀:Llang) 자유도가 있다.
• 4차원 순수 양-밀스 이론(또는 𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론)은 등각 장론이므로, 순간자의 크기를 마음대로 놓을 수 있다. 이에 따라 1개의 확대 변환(틀:Llang) 자유도가 있다.
• $\mathrm{SU}(2)\cong S^3$이므로, 원점에서 무한히 떨어진 $S^3$에서 순간자의 게이지 퍼텐셜은 이 SU(2)를 따라 감기게 된다. SU(2)는 3차원이므로, 무한대에서 상수 게이지 변환 3개가 있다.
• $\mathrm{SU}(N)$에서 SU(2) 부분군을 골라야 하는데, 이 모듈라이 공간은 잉여류 공간

$\frac{\mathrm{SU}(N)}{(\mathrm{U}(2)\times \mathrm{U}(N-2))/\mathrm{U}(1)}=\frac{\mathrm{U}(N)}{\mathrm{U}(2)\times \mathrm{U}(N-2)}$

이고, 그 차원은

$N^2-4-(N-2{)}^2=4N-8$

이다.

따라서, 순간자수 1의 모듈라이 공간의 가상 차원은

$4+1+3+4N-8=4N$

이다. 만약 순간자수가 $k$라면, 순간자들이 멀리 떨어져 있을 경우 차원이 $4kN$이 되며, 모듈라이 공간의 가상 차원은 일정하므로 이는 순간자들이 서로 가까이 있을 때에도 성립한다.

하나의 순간자의 모듈라이 공간은

${ℝ}^4\times {ℝ}^4/\mathrm{Cyc}(2)$

이다.틀:Rp 이 경우, 오비폴드의 특이점은 작은 순간자 극한에 해당한다.

칼로론

틀:본문 ${ℝ}^3\times {𝕊}^1$ 위의 양-밀스 순간자는 칼로론이라고 하며, 잘 알려져 있다.

초켈러 다양체

점근 국소 유클리드 공간과 토브-너트 공간의 경우에도 양-밀스 순간자가 알려져 있다.

토브-너트 공간 위의 SU(2) 순간자 모듈라이 공간을 나타내는 활 도형

토브-너트 공간 위의 (무한대에서 주어진 모노드로미 행렬 $\mathrm{diag}(\exp (2\pi \lambda /l),\exp (-2\pi \lambda /l))$을 갖는) $k$개의 SU(2) 양-밀스 순간자의 모듈라이 공간은 초켈러 축소

$\frac{\mathrm{T}\mathrm{G}\mathrm{L}(k;ℂ)\times {ℍ}^k\times \mathrm{TGL}(k;ℂ)\times {ℍ}^k\times \mathrm{TGL}(k;ℂ)\times {ℍ}^{k^2}}{\mathrm{U}(k)\times \mathrm{U}(k)\times \mathrm{U}(k)\times \mathrm{U}(k)}$

로 주어진다.틀:Rp 이는 활 도형(틀:Llang)으로 유도할 수 있다. 따라서, 모듈라이 공간의 실수 차원은

$\dim {ℳ}_{l,\lambda ,k}=4(k^2+k+k^2+k+k^2+k^2-k^2-k^2-k^2-k^2)=8k$

이다.

역사

양-밀스 순간자의 수학적 중요성은 사이먼 도널드슨이 1983년에 지적하였다.

외부 링크

• 틀:웹 인용
• 틀:Eom
• 틀:Nlab
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