𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론

틀:위키데이터 속성 추적 틀:끈 이론 이론물리학에서, 4차원 $𝒩=4$ 초대칭 양-밀스 이론(四次元$𝒩=4$超對稱[楊]-Mills理論, 틀:Llang)은 중력을 포함하지 않는, 4차원에서 최대의 초대칭 대수를 갖는 초대칭 게이지 이론이다. 이 이론은 사실 초등각 장론을 이루며, 초끈 이론과 깊은 관계를 갖는다.

정의

콤팩트 리 군 $G$를 게이지 군으로 삼는 4차원 $𝒩=4$ 초대칭 양-밀스 이론의 라그랑지언은 다음과 같다. $$L=\mathrm{tr}\{-\frac{1}{2g^2}{F}_{\mu \nu }{F}^{\mu \nu }+\frac{\theta }{8{\pi }^2}{F}_{\mu \nu }{\overline{F}}^{\mu \nu }-i\stackrel{a}{\stackrel{‾}{\lambda }}\stackrel{\mu }{\bar{\sigma }}{D}_{\mu }{\lambda }_a-D_{\mu }{X}^i{D}^{\mu }{X}^i+g{C}_i^{ab}{\lambda }_a[X^i,{\lambda }_b]+g{\bar{C}}_{iab}\stackrel{a}{\stackrel{‾}{\lambda }}[X^i,\stackrel{b}{\stackrel{‾}{\lambda }}]+\frac{g^2}{2}[X^i,X^j{]}^2\}$$ 여기서 $\mu ,\nu =0,1,2,3$는 3+1차원 시공간 벡터 표현의 지표이며, $i,j=1,\dots ,6$는 Spin(6)=SU(4) R대칭 벡터 표현의 지표이며, $f$는 게이지 군 $G$의 딸림표현의 지표이다. $C_i^{ab}$는 SU(4)의 구조 상수이다. $F_{\mu \nu }^k$는 양-밀스 이론의 게이지 장세기 $F_{\mu \nu }^k={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }^k-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }^k+f^{klm}{A}_{\mu }^l{A}_{\nu }^m$ 이다 ($A_{\mu }^k$는 게이지 퍼텐셜). $g$와 $\theta$는 게이지 결합 상수이며, 게이지 군의 종류와 더불어 이론의 유일한 매개 변수이다. 비재규격화 정리에 따라서, $g$와 $\theta$는 재규격화를 겪지 않으며, 이 이론은 4차원 $𝒩=4$ 초등각 대칭을 갖는다.

구성

4차원 $𝒩=4$ 초대칭 양-밀스 이론은 같은 게이지 군을 갖는 10차원 초대칭 양-밀스 이론의 차원 축소(틀:Llang)로 얻어진다. 이 경우, Spin(6) R대칭군은 축소된 6개의 차원에 대한 회전 대칭으로서 발생한다.

또한, 적어도 특정한 게이지 군에 대하여, 이 이론은 D3-막 위에 자연스럽게 존재하는 양자장론이다(이 사실은 ${\mathrm{AdS}}_5\times {𝕊}^5$ AdS/CFT 대응성에 핵심적인 역할을 한다). 이 경우, 게이지 군의 종류는 겹쳐진 D3-막의 수와 오리엔티폴드의 유무에 따라 결정된다. 예를 들어, 오리엔티폴드가 없으며, $N$개의 D3-막이 존재한다면, 이 경우 $\mathrm{U}(N)$ 게이지 군이 발생한다.

성질

몬토넨-올리브 이중성

$𝒩=4$ 초대칭 양-밀스 이론에서는 일종의 S-이중성이 성립하는데, 이를 몬토넨-올리브 이중성(틀:Lang)이라고 한다. 구체적으로, 두 결합 상수 $g$와 $\theta$를 다음과 같이 하나의 복소수 결합 상수

$\tau =\frac{\theta }{2\pi }+\frac{4\pi i}{g^2}$

로 표기하였을 때, 이 이론은

$\tau \mapsto \tau +1$

에 의하여 불변이며 (즉, $\theta$는 $2\pi$ 주기의 각도), 또한 게이지 군 $G$의, 결합 상수 $\tau$의 초대칭 양-밀스 이론은 게이지 군 $L_G$와 결합 상수

${\tau }^{\prime }=\frac{-1}{n_G\tau }$

를 갖는 이론과 동형이다. 여기서 $L_G$는 $G$의 랭글랜즈 쌍대군이며, $n_G$는 랭글랜즈 쌍대성에 등장하는 정수이다. 특히, $n_G=1$인 경우 이는 $\mathrm{SL}(2;\mathbb{Z})$ 모듈러 군을 이룬다.

몬토넨-올리브 이중성은 IIB종 초끈 이론으로 설명할 수 있다.틀:Rp $𝒩=4$ $U(N)$ 양-밀스 이론은 $N$개의 겹친 D3-막들 위에 존재하는 유효 이론이다. D3-막에는 기본 끈(F-끈)과 D1-막(D-끈)이 붙어 있는데, F-끈의 끝은 전기 홀극, D-끈의 끝은 자기 홀극을 이룬다. IIB종 초끈 이론에서는 S-이중성은 F-끈과 D-끈을 맞바꾸게 되고, 이 이중성은 물론 D3-막의 유효 이론도 따르게 된다. 이 이중성이 몬토넨-올리브 이중성이다.

AdS/CFT 대응성

틀:본문 AdS/CFT 대응성에 따라, $𝒩=4$ 초대칭 양-밀스 이론은 5차원 초구 ${𝕊}^5$와 4+1차원 반 더 시터르 공간 ${\mathrm{AdS}}_5$의 곱공간 ${\mathrm{AdS}}_5\times {𝕊}^5$ 위에 존재하는 IIB종 초끈 이론과 사실상 같은 이론이라고 추측된다.

적분 가능성

$\mathrm{SU}(N)$ $𝒩=4$ 초대칭 양-밀스 이론에서, $N\to \mathrm{\infty }$ 극한에서 $g$개의 고리(=끈 세계면의 종수)를 갖는 파인먼 도형의 확률 진폭은 $N^{2-2g}$에 비례하게 된다. 즉, 색깔의 수가 매우 클 경우, 오직 낮은 종수의 파인먼 도형만이 살아남게 된다.

이러한 극한에서, 양자장론의 국소적 연산자들은 일종의 스핀 사슬(틀:Llang) 모형으로 나타내어질 수 있다.

역사

$𝒩=4$ 초대칭 양-밀스 이론은 1977년에 10차원 초대칭 양-밀스 이론의 차원 축소로 발견되었다.틀:Rp틀:Rp

같은 해에, 양-밀스 이론의 S-이중성은 클라우스 몬토넨(틀:Llang)과 데이비드 이언 올리브(틀:Llang)가 1977년에 제시하였다. 몬토넨과 올리브의 원래 가설은 초대칭을 포함하지 않았는데, 이후 1979년에 휴 오즈번(틀:Llang)이 이 가설이 성립하려면 $𝒩=4$ 초대칭이 필요함을 지적하였다.틀:Rp

참고 문헌

• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용

같이 보기

• S-이중성
• 자이베르그-위튼 이론
• 초끈 이론
• AdS/CFT 대응성