점근 국소 유클리드 공간

틀:위키데이터 속성 추적 미분기하학에서 점근 국소 유클리드 공간(漸近局所Euclid空間, 틀:Llang)는 무한대에서 4차원 유클리드 공간의 오비폴드로 근사되는 4차원 초켈러 다양체이다.

정의

SU(2)의 유한 부분군 $\mathrm{\Gamma }\le \mathrm{SU}(2)$가 주어졌다고 하자. 이는 매케이 화살집을 통해 ADE 분류를 갖는다.

4차원 초켈러 다양체 $M$ 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것을 점근 국소 유클리드 공간이라고 한다.틀:Rp

어떤 콤팩트 집합 $K\subseteq M$을 제외하면, $M\setminus K$는 ${ℝ}^4\setminus \mathrm{ball}(0,R)$와 미분 동형이며, 적절한 좌표계에서 다음과 같은 꼴이다.

$|g_{ij}-{\delta }_{ij}|\in 𝒪(r^{-4})$

$|{\partial }_{k_1{k}_2\dots k_p}{g}_{ij}|\in 𝒪(r^{-4-p})$

여기서 $r$는 ${ℝ}^4$의 원소의 L² 노름이며, $R$는 충분히 큰 임의의 상수이다.

분류

SU(2)의 유한 부분군 $\mathrm{\Gamma }\le \mathrm{SU}(2)$가 주어졌다고 하자. (이는 매케이 화살집을 통해 ADE 분류를 갖는다.) 그렇다면, 복소수 아핀 대수다양체

$X={ℂ}^2/\mathrm{\Gamma }$

의 최소 분해(틀:Llang)

$\pi :\tilde{X}\to X$

를 생각하자. 즉, 그 예외 인자 ${\pi }^{-1}(0)$는 사영 직선들의 합집합이며, 특히 그 2차 특이 호몰로지는 (예외 인자를 구성하는 사영 직선들로 생성되므로) 유한 생성 자유 아벨 군이다.

${\mathrm{H}}_2(\tilde{X};\mathbb{Z})\cong {\mathbb{Z}}^n$

여기서 $n\in \mathbb{N}$은 ${\pi }^{-1}(0)$을 구성하는 사영 직선의 수이다.

${\pi }^{-1}(0)=L_1\cup L_2\cup \cdots \cup L_n$

또한, 이 사영 직선 $L_i$들의 교차 형식은 $\mathrm{\Gamma }$의 매케이 화살집의 카르탕 행렬의 −1배와 같다.틀:Rp

이 경우, $\tilde{X}$의 2차 드람 코호몰로지류

${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\in {\mathrm{H}}^2(\tilde{X};ℝ)$

가운데 다음 조건이 성립한다고 하자.

• 임의의 $L\in {\mathrm{H}}_2(\tilde{X};\mathbb{Z})$에 대하여, 만약 $L.L=-2$라면, $\underset{L}{\int }{\alpha }_i\ne 0$인 $i\in \{1,2,3\}$가 존재한다.

그렇다면, 이 데이터를 사용하여 $\tilde{X}$ 위에 어떤 표준적인 초켈러 구조를 구성할 수 있으며, 이 경우 세 개의 켈러 구조의 드람 코호몰로지류는 각각 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$이다.

또한, 반대로, 임의의 점근 국소 유클리드 공간은 위와 같이 $(\mathrm{\Gamma },\tilde{X},{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$의 데이터로 결정된다.

구성

기번스-호킹 구성

점근 국소 유클리드 공간 가운데, A형은 기번스-호킹 가설 풀이로 다음과 같이 주어진다. 우선, 좌표

$\tau \in ℝ/(4\pi \mathbb{Z})$

$\overrightarrow{r}\in {ℝ}^3$

를 정의하자. 그렇다면, A_n형 점근 국소 유클리드 공간의 계량은 다음과 같다.

$\mathrm{d}{s}^2=V(|\overrightarrow{r}|)\mathrm{d}{\overrightarrow{r}}^2+\frac{1}{V(|\overrightarrow{r}|)}(\mathrm{d}\tau +\omega {)}^2$

$V(|\overrightarrow{r}|)=\sum _{i=1}^N\frac{1}{2|\overrightarrow{r}|}$

여기서

$\omega =\overrightarrow{\omega }\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}\in {\mathrm{\Omega }}^1({ℝ}^3)$

는 ${ℝ}^3$ 위의 1차 미분 형식 가운데

$\mathrm{d}\omega =\star \mathrm{d}V$

인 것이다.

이 경우 $N=1$인 경우는 평탄 공간과 같으며,틀:Rp $N=2$인 경우는 에구치-핸슨 공간이다.틀:Rp 즉, A형 점근 국소 유클리드 공간은 여러 개의 에구치-핸슨 공간들을 겹친 것으로 이해할 수 있다.

초켈러 몫 구성

모든 종류의 점근 국소 유클리드 공간은 초켈러 몫으로 구성될 수 있다.

역사

이러한 공간들은 원래 일반 상대성 이론에서 중력의 ‘순간자’로서 최초로 거론되었다. 최초로 발견된 점근 국소 유클리드 공간은 (4차원 유클리드 공간 자체를 제외하면) 에구치-핸슨 공간이다. 이후 1989년에 피터 크론하이머가 이들을 모두 분류하였다.

응용

점근 국소 유클리드 공간은 초끈 이론에서 자주 등장한다.

외부 링크

• 틀:Nlab