베티 수

틀:위키데이터 속성 추적 베티 수(틀:Llang)는 위상 공간의 호몰로지 군의 계수다. 공간의 위상적 특성을 나타내는 수열의 하나다. 기호는 $b_k$며, 0이거나, 양의 정수이거나, $\mathrm{\infty }$이다. 좀 더 다루기 쉬운 (콤팩트 공간 또는 CW 복합체 등) 경우에는 베티 수는 모두 유한하며, 어느 $k_0$부터 $k\ge k_0$에 대하여 $b_k=0$이다.

정의

위상 공간 $X$, 음이 아닌 정수 $k$, 체 $𝔽$가 주어지면, $k$번째 베티 수 $b_k(X,𝔽)$는 $k$번째 특이 호몰로지 공간 $H_k(X;𝔽)$의 ($𝔽$에 대한 벡터 공간으로서의) 차원이다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

$b_k(X,𝔽)=\dim H_k(X;𝔽)$

일반적으로, $𝔽$가 주어지지 않았을 때에는 $𝔽=\mathbb{Q}$ (유리수)를 의미하는 것이다. 유리수에 대한 베티 수는 정수에 대한 호몰로지 공간 $H_k(X;\mathbb{Z})$의 계수와 같다. $𝔽$의 표수가 0이면 베티 수는 항상 유리수에 대한 베티 수와 같지만, 표수가 유한한 경우 달라질 수 있다. 만약 $k$가 주어지지 않으면 암묵적으로 $k=1$이다.

콤팩트 공간이나 CW 복합체의 베티 수는 어떤 유한한 $k_0$ 이상으로는 $k\ge k_0$에 대하여 $b_k=0$이다. 따라서 베티 수를 생성함수로 나타낼 수 있는데, 이를 푸앵카레 다항식(틀:Llang)이라 한다. 즉 푸앵카레 다항식 $P(z)$는 다음을 만족한다.

$P(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_k{z}^k$

무한차원에서는 이를 일반화하여 푸앵카레 급수(틀:Llang)를 정의할 수 있다.

성질

거칠게 말해서, $k>0$일 때 베티 수 $b_k$는 $k$차원 "구멍"의 수를 나타내는 것으로 해석할 수 있다. 예를 들어 구 ${𝕊}^n$의 베티 수는 $k\in \{0,n\}$일 때에만 1이고 나머지 경우엔 0이다.

유한한 CW 복합체 $K$의 경우 오일러 지표와 베티 수는 다음과 같은 관계를 가진다.

임의의 체 $𝔽$에 대하여, $\chi (K)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^i{b}_i(K,𝔽)$

여기서 $\chi (K)$는 오일러 지표이다.

임의의 (베티 수열이 유한한) 위상 공간 $X$와 $Y$에 대하여 그 곱공간 $X\times Y$의 푸앵카레 다항식은 각 공간의 푸앵카레 다항식의 곱이다.

$P_{X\times Y}(z)=P_X(z)P_Y(z)$

마찬가지로,$X$와 $Y$의 분리합집합 $X\bigsqcup Y$의 푸앵카레 다항식은 각 공간의 푸앵카레 다항식의 합이다.

$P_{X\bigsqcup Y}(z)=P_X(z)+P_Y(z)$

닫힌 n차원 가향 다양체 $X$의 경우, 베티 수는 다음 관계를 만족한다.

$b_k(X)=b_{n-k}(X)$

이는 푸앵카레 쌍대성 $H^k=H_{n-k}$으로부터 유도할 수 있다.

예

$n$차원 초구 ${𝕊}^n$의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.

$P_{{𝕊}^n}(z)=1+z^n$

$n$차원 원환면 ${𝕋}^n$의 푸앵카레 다항식은 원의 푸앵카레 다항식으로부터 다음과 같다.

$P_{{𝕊}^n}(z)=(1+z{)}^n$

$n$차원 실수 사영 공간 ${ℝ\mathbb{P}}^n$의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.

$P_{{ℝ\mathbb{P}}^n}(z)=\{\begin{array}{cc}1& 2\mid n\\ 1+x^n& 2\nmid n\end{array}$

무한 차원 실수 사영 공간 ${ℝ\mathbb{P}}^{\mathrm{\infty }}$의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.

$P_{{ℝ\mathbb{P}}^n}(z)=1$

$2n$차원 복소수 사영 공간 ${ℂ\mathbb{P}}^n$의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.

$P_{{𝕔\mathbb{P}}^n}(z)=1+z^2+\cdots +z^{2n}=\frac{1-z^{2n+2}}{1-z^2}$

무한 차원 복소수 사영 공간 ${ℂ\mathbb{P}}^{\mathrm{\infty }}$의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.

$P_{{ℂ\mathbb{P}}^n}(z)=1+z^2+z^4+\cdots =\frac{1}{1-z^2}$

종수 $g$의 콤팩트 유향 곡면의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.

$P_{{\mathrm{\Sigma }}_g}(z)=1+2gz+z^2$

K3 곡면의 푸앵카레 다항식은 다음과 같다.

$P_{\text{K3}}(z)=1+22z^2+z^4$

리 군

콤팩트 단일 연결 단순 리 군 $G$의 푸앵카레 다항식들은 다음과 같은 꼴이다.

$P_G(z)=\prod _{n\in N(G)}(1+z^n)$

여기서 $N(G)$는 원시 지수(틀:Llang)라고 하며, 다음과 같다.

단순 리 군	원시 지수	OEIS
$\mathrm{SU}(n+1)$	$3,5,\dots ,2n+1$
$\mathrm{Spin}(2n+1)$	$3,7,\dots ,4n-1$
$\mathrm{USp}(2n)$	$3,7,\dots ,4n-1$
$\mathrm{Spin}(2n)$	$3,7,\dots ,4n-5,2n-1$
$G_2$	3, 11
$F_4$	3, 11, 15, 23
$E_6$	3, 9, 11, 15, 17, 23	틀:OEIS
$E_7$	3, 11, 15, 19, 23, 27, 35	틀:OEIS
$E_8$	3, 15, 23, 27, 35, 39, 47, 59	틀:OEIS

역사

앙리 푸앵카레가 엔리코 베티의 이름을 따서 명명하였다.

같이 보기

• 오일러 지표

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab