순간자

틀:위키데이터 속성 추적 양자역학과 양자장론에서 순간자(瞬間子, 틀:Llang) 또는 잠깐알은 윅 회전을 가한 이론의, 유한한 작용을 가진 고전해이다. 이는 윅 회전을 한 유클리드 시공간에서 국소화되어 있어, 유클리드 시공간에서 입자처럼 간주할 수 있다. (물론 이는 민코프스키 시공간에서는 성립하지 않는다.) 순간자의 존재는 섭동 이론에는 나타나지 않는 터널 효과를 나타낸다. WKB 근사에 의한 터널 효과를 다룰 때나, 양-밀스 이론(양자 색역학)에 등장한다. 초대칭 게이지 이론과도 관련이 있다.

역사

알렉산드르 벨라빈(틀:Llang), 알렉산드르 마르코비치 폴랴코프, 알베르트 시바르츠, 유리 스테파노비치 튭킨(틀:Llang)이 순간자수가 1인 순간자를 최초로 발견하였다. 이들은 유사입자(틀:Llang)라는 이름을 사용하였다.틀:Rp 헤라르뒤스 엇호프트가 이러한 해들을 어떤 시간 간격에만 존재했다가 사라진다는 의미로 "순간자"(틀:Llang)라고 이름붙였다.틀:Rp

양자역학에서의 순간자

양자역학에서, 순간자는 두 고전적 안정 상태 사이의 터널 효과를 나타낸다. 예를 들어, 어떤 퍼텐셜 $V(x)$가 두 개의 극소점 $a,b$를 갖는다고 하고, $V(a)=V(b)=0$으로 놓자. 고전적으로는 이 두 점 모두 안정적인 상태지만, 양자역학적으로 두 상태 사이 터널 효과가 일어날 수 있다.

WKB 근사에 따라, 질량이 $m$이며 에너지가 $E$인 입자가 $a$에서 $b$로 터널 효과를 겪을 확률 진폭은 다음에 비례한다.

$⟨b|a⟩\sim \exp (-\frac{1}{\hslash }\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{2mV(x)}dx)$

이는 순간자를 사용하여 다음과 같이 계산할 수 있다. 윅 회전을 통해, 다음과 같은 유클리드 작용을 정의하자.

$S_E=\int (\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2+V(x))dt$

즉, 이는 퍼텐셜 $-V(x)$ 속에서 움직이는 입자를 나타낸다. 이 경우, 에너지 보존에 따라 (총 에너지가 0인 경우)

$\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2-V(x)=0$

다. $a$에서 $b$로 가는, 유클리드 작용의 해를 순간자라고 하며, 그 작용은

$S_E=\int m{\dot{x}}^{2}dt=\underset{a}{\overset{b}{\int }}m\dot{x}dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{2mV(x)}dx$

이다. 따라서,

$⟨b|a⟩\sim \exp (-S_E/\hslash )$

임을 알 수 있다. 즉, 터널 효과의 확률 진폭은 순간자의 작용 $S_E$로 계산된다.

양-밀스 이론의 순간자

틀:본문 순간자의 가장 대표적인 예는 4차원 유클리드 공간의 양-밀스 이론에서 작용을 국소적으로 최소화시키는 상태들이다. 이들은 보고몰니-프라사드-소머필드 부등식(틀:Llang, BPS 부등식)을 충족시킨다.

4차원 유클리드 공간 위에, 게이지 군 $G$를 가진 양-밀스 이론을 생각하자. 그 작용은 다음과 같다.

$S=\frac{1}{2e^2}\underset{{ℝ}^4}{\int }\mathrm{tr}{F}^2{d}^{4}x$

여기서

$F_{ij}=t^a{F}_{ij}^a={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }+i[A_{\mu },A_{\nu }]$

는 게이지 장세기이고, $t^a$는 리 대수 $𝔤$의 기저이다. 리 대수의 기저는

$\mathrm{tr}(t^a{t}^b)=\frac{1}{2}{t}^a{t}^b$

$[t^a,t^b]=i{f}^{abc}{t}^c$

가 되게 규격화한다.

이 이론에서, 작용이 유한한 상태들을 생각하자. 작용이 유한하므로, 원점에서 무한히 먼 곳$\Vert x\Vert \to \mathrm{\infty }$에서는 $F\to 0$이어야 한다. 그러나 이 경우 게이지 퍼텐셜 $A_{\mu }$는 위상수학적으로 자명하지 않을 수 있다. 즉,

$A_{\mu }(x)=g(x{)}^{-1}{\partial }_{\mu }g(x)$ ($g(x)\in G$)

의 꼴의 퍼텐셜은 장세기가 0이다. 4차원 유클리드 공간 ${ℝ}^4$의 무한대는 $S^3$이므로, 무한대에서 게이지 퍼텐셜은 연속함수

$A:S^3\to G$

를 정의한다. 서로 호모토픽한 게이지 퍼텐셜들은 물리적으로 같은 상태를 나타내지만, 호모토픽하지 않은 상태들은 서로 다른 상태를 나타낸다. 따라서, 유한 작용 상태들은 게이지 군 $G$의 3차 호모토피 군에 의하여 분류된다.

$[A]\in {\pi }_3(G)$

흔히 쓰이는 게이지 군의 경우,

${\pi }_3(\mathrm{SU}(N))=\mathbb{Z}$ ($N\ge 2$)

${\pi }_3(\mathrm{SO}(N))=\mathbb{Z}$ ($N=3$ 또는 $N>5$)

이다. 이 경우, 무한대에서의 게이지 퍼텐셜의 호모토피류는 정수에 의하여 분류된다. 이 수를 순간자수(틀:Llang)라고 하며, 대략 순간자의 수를 나타낸다. 만약 순간자수가 음수라면, 이는 반순간자(틀:Llang)가 존재함을 뜻한다. $SU(N)$의 경우, 순간자수 $k$는 다음과 같다.

$k=\frac{1}{24{\pi }^2}\underset{\Vert x\Vert =\mathrm{\infty }}{\int }{d}^{3}x{\hat{n}}_{\mu }\mathrm{tr}(A_{\nu }{A}_{\rho }{A}_{\sigma }){ϵ}^{\mu \nu \rho \sigma })$

$A_{\mu }=({\partial }_{\mu }g)g^{-1}$

여기서 ${\hat{n}}^{\mu }$는 $S^3$의 단위 수직 벡터이며, ${ϵ}^{\mu \nu \rho \sigma }$는 (유클리드 계량 부호수) 레비치비타 기호다.

4차원 리만 다양체 $M$에서, 2차 미분형식들은 호지 쌍대에 따라

$*:{\mathrm{\Omega }}^2(M)\to {\mathrm{\Omega }}^2(M)$

가 존재한다. 또한, 유클리드 계량 부호수에서는 2차 미분형식에 대하여

${*}^2=1$

이므로, 호지 쌍대 연산자 $*$의 고윳값은 $\pm 1$이다. 따라서, 2차 미분형식들의 공간은 고윳값에 따라

${\mathrm{\Omega }}^2(M)={\mathrm{\Omega }}_{+}^2(M)\oplus {\mathrm{\Omega }}_{-}^2(M)$

으로 분해된다. 여기서 ${\mathrm{\Omega }}_{+}^2(M)$의 원소는 자기쌍대(틀:Llang), ${\mathrm{\Omega }}_{-}^2(M)$의 원소는 반자기쌍대(틀:Llang)라고 한다. 구체적으로, 2차 미분형식 $F$가 주어지면,

$F=F_{+}+F_{-}$

$*F_{\pm }=\pm F_{\pm }$

$F_{\pm }=(F\pm *F)/2$

으로 분해할 수 있다. 또한, (리 대수 값을 갖는) 2차 미분형식들의 공간에서는 다음과 같은 내적 $⟨,⟩$이 존재한다.

$⟨A,B⟩=\frac{1}{2e^2}\underset{M}{\int }{d}^{4}x\mathrm{tr}(A_{\mu \nu }{B}^{\mu \nu })$

이에 따라 양-밀스 작용은

$S=⟨F,F⟩$

가 된다.

장세기를 자기쌍대 및 반자기쌍대 성분으로 분해하자.

$F=F_{+}+F_{-}$

그렇다면

$S=⟨F,F⟩=⟨F_{+},F_{+}⟩+⟨F_{-},F_{-}⟩\ge |⟨F_{+},F_{+}⟩-⟨F_{-},F_{-}⟩|=|⟨F,*F⟩|=\frac{8{\pi }^2}{e^2}|k|$

이다. 여기서 $k$는 순간자수이다. 따라서, 주어진 순간자수 $k$를 가진 상태의 작용은 다음과 같은 BPS 부등식을 만족시킨다.

$S\ge \frac{8{\pi }^2}{e^2}|k|$

이 부등식을 등식으로 만드는 게이지 퍼텐셜들을 순간자라고 한다. 이들은

$F_{+}=0$ 또는 $F_{-}=0$,

즉

$F_{\mu \nu }=\pm *F_{\mu \nu }$

를 만족시킨다. 이런 상태들은 자동적으로 오일러-라그랑주 방정식

$D_{\mu }{F}^{\mu \nu }=D_{\mu }(*F{)}^{\mu \nu }=0$

을 만족시키므로, 작용을 최소화시킴을 알 수 있다.

각주

• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용

같이 보기

• 도널드슨 이론
• 자기 홀극
• 솔리톤

외부 링크

• 틀:웹 인용
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