오비폴드

틀:위키데이터 속성 추적 기하학에서, 오비폴드(틀:Llang)는 국소적으로 유한군의 선형작용에 대한 유클리드 공간의 몫공간과 동형인 위상 공간이다. 매끄러운 다양체의 개념의 일반화이며, 다양체와 달리 특정한 형태의 특이점을 가질 수 있다.

정의

n차원의 오비폴드는 다음과 같이 정의한다. 하우스도르프 공간 X와 그 열린 덮개 $U_i$를 생각하자. ($\{U_i\}$는 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다고 가정하자.)

각 $U_i$에 대하여, 연속 함수 ${\varphi }_i:U_i\to V_i$를 가정하자. 여기서 $V_i$는 ${ℝ}^n$의 부분집합으로, 유한군 ${\mathrm{\Gamma }}_i$의 선형작용에 대하여 불변하다. ${\varphi }_i$가 $U_i\to V_i/{\mathrm{\Gamma }}_i$의 위상동형사상을 정의한다고 가정하자. 이들을 오비폴드 국소 좌표계라고 부른다.

일련의 오비폴드 국소 좌표계 $(U_i,V_i,{\mathrm{\Gamma }}_i,{\varphi }_i)$의 집합은 다음과 같은 조건을 만족하면 오비폴드 좌표근방계(틀:Lang)를 이룬다.

• $U_i\subset U_j$면 단사 준동형 사상 ${\mathrm{\Gamma }}_i\to {\mathrm{\Gamma }}_j$가 존재한다.
• $U_i\subset U_j$면 ${\mathrm{\Gamma }}_i$에 대하여 ${\mathrm{\Gamma }}_i$-위상 동형 사상 ${\psi }_{ij}:V_i\to W_j\subset V_j$이 존재한다. ($W_j$는 $V_j$의 열린 부분 집합)
• ${\varphi }_j\circ {\psi }_{ij}={\varphi }_i$
• 다른 모든 추이 사상$V_i\to V_j$는 $g{\psi }_{ij}$의 꼴이다 (여기서 $g\in {\mathrm{\Gamma }}_j$).

$G$가 이산군이라고 하고, $M$이 매끄럽고 충실한 작용 $G\times M\to M$이 주어진 매끄러운 다양체라고 하자. 그렇다면 몫공간

$M/G=M/(x\sim g\cdot x\mathrm{\forall }g\in G,x\in M)$

은 자연스럽게 오비폴드 구조를 갖는다. 이런 꼴로 나타낼 수 있는 오비폴드를 축소 오비폴드(틀:Llang)라고 한다. 하지만 축소 오비폴드가 아닌 오비폴드도 존재한다. 즉, 오비폴드는 항상 국소적으로 (유클리드 공간의) 군의 작용에 대한 몫공간이지만, 대역적으로 군의 작용에 대한 몫공간이 아닐 수 있다. 끈 이론에서는 보통 모든 오비폴드를 축소 오비폴드로 가정한다. 특히, 유클리드 공간의 몫공간 ${ℝ}^n/\mathrm{\Gamma }$ 꼴의 공간을 오비폴드라고 부른다.

위상수학적 성질

오비폴드의 경우, 문헌에는 두 가지의 "오비폴드 오일러 지표"에 대한 정의가 등장하며, 이 둘은 관계없는 개념이다. 이 밖에도, 오비폴드의 호모토피 군 역시 정의할 수 있다. 이들은 오비폴드를 단순히 위상 공간으로 여겨 정의한 오일러 지표 및 호모토피 군과 다르다.

사타케-서스턴 오일러 지표

오비폴드 $X$에 세포 복합체의 구조를 주고, 각 세포 $c$의 내부가 국소적 군 ${\mathrm{\Gamma }}_i$의 작용에 불변이라고 하자. 그렇다면 $X$의 (사타케-서스턴) 오일러 지표는 다음과 같다.

$\chi (X)=\sum _c\frac{(-1{)}^{\dim c}}{|\mathrm{\Gamma }(c)|}$

만약 모든 $\mathrm{\Gamma }(c)$가 자명군이라면, 이는 일반적인 오일러 지표와 같다. 이 정의는 사타케 이치로(틀:Llang)와 윌리엄 서스턴이 사용하였다.

오비폴드의 사타케-서스턴 오일러 지표에 대하여 가우스-보네 정리가 성립한다.

끈 오일러 지표와 천-롼 코호몰로지

축소 오비폴드 $M/G$가, 매끄러운 다양체 $M$ 위의 어떤 이산군 $G$의 매끄럽고 충실한 작용에 의한 몫공간이라고 하자. 이 경우, $M/G$의 (끈 이론) 오일러 지표는 다음과 같다.틀:Rp

$\chi (M/G)=\frac{1}{|G|}\sum _{g,h\in G,gh=hg}\chi (M^{⟨g,h⟩})=\sum _{[g]\in \mathrm{Cl}G}\chi (M^{⟨g⟩}/Z_G(g))$

여기서

• $Z_G(g)$는 $\{g\}\subseteq G$의 중심화 부분군이다.
• $M^H$는 부분군 $H\subseteq G$의 작용에 의한 고정점들로 구성된 부분 공간이다.
• $⟨g_1,g_2,\dots ⟩\subseteq G$는 $g_1,g_2,\dots$로 생성되는 $G$의 부분군이다.
• $\mathrm{Cl}G$는 $G$의 켤레류들의 집합이다.

이 정의는 랜스 딕슨(틀:Llang), 제프리 하비(틀:Llang), 캄란 바파, 에드워드 위튼이 끈 이론을 다루기 위하여 도입하였다.

딕슨-하비-바파-위튼 오일러 지표는 천-롼 코호몰로지(틀:Llang)와 관계있다. 이는 오비폴드에 대한 양자 코호몰로지이다.

기본군

오비폴드 $X$의 기본군 ${\pi }_1^{\text{orb}}(X)$는 $X$의 범피복 공간 $\tilde{X}$의 피복 변환(틀:Llang)들의 군이다.틀:Rp 이 정의는 윌리엄 서스턴이 도입하였다.

예

모든 매끄러운 다양체는 자명하게 (축소) 오비폴드를 이룬다. 또한, 경계다양체 또한 자연스럽게 축소 오비폴드를 이룬다. 경계다양체 $M$이 주어지면, 그 이중 덮개(틀:Llang)를 다음과 같이 정의하자.

$D(M)=M\times \{0,1\}/((x,0)\sim (x,1)\mathrm{\forall }x\in \partial M)$

즉, $M$의 두 개의 복사본의 각 경계를 이어붙여 얻는다. $M$의 이중 덮개는 (경계를 갖지 않는) 다양체이다. 이 경우, $M$은 다음과 같은 몫공간으로 나타낼 수 있다.

$M=D(M)/{\mathbb{Z}}_2$

1차원 오비폴드

1차원 연결 콤팩트 오비폴드는 원 $S^1$과 선분 $[0,1]$밖에 없다. 원은 매끄러운 다양체이다. 선분은 경계다양체이자, 원

$S^1\cong \mathrm{U}(1)=\{z\in ℂ:|z|=1\}$

의 몫공간

$\mathrm{U}(1)/(z\sim \overline{z})$

으로서, 축소 오비폴드로 나타낼 수 있다.

2차원 오비폴드

2차원에서 가능한 오비폴드 특이점은 O(2)의 유한 부분군에 따라서 분류되며, 다음과 같다. 군의 작용을 나타낼 때, 편의상 평면의 점을 복소수로 표기하였다.

• 경계선 ${ℝ}^2/\mathrm{Cyc}(2)$, $z\sim \overline{z}$.
• $m=2,3,4,\dots$에 대하여, $m$차 원뿔형 꼭짓점 ${ℝ}^2/\mathrm{Cyc}(m)$, $z\sim \exp (2\pi i/m)z$
• $n=2,3,4,\dots$에 대하여, 각도 $\pi /n$의 꼭짓점 $ℝ/\mathrm{Dih}(n)$, $z\sim \overline{z}\sim \exp (2\pi i/n)z$

이 경우, 2차원 오비폴드 $X$의 사타케-서스턴 오일러 지표는 다음과 같다.

$\chi (X)=\chi (|X|)-\sum _{m_i}(1-1/m_i)-\frac{1}{2}\sum _{n_i}(1-1/n_i)$

여기서

• $\chi (|X|)$는 $X$의 위상 공간으로서의 오일러 지표이다.
• 첫 번째 합 $\sum _{m_i}$는 원뿔형 꼭짓점들에 대한 합이며, 각 $m_i$는 꼭짓점의 차수이다.
• 두 번째 합 $\sum _{n_i}$는 다각형형 꼭짓점들에 대한 합이며, 각 $n_i$는 꼭짓점의 차수이다.

2차원 연결 콤팩트 오비폴드는 곡면과 마찬가지로 오일러 지표의 부호에 따라서 다음과 같이 세 종류로 분류된다.

• 오일러 지표가 음수인 2차원 오비폴드는 쌍곡선형 오비폴드(틀:Llang)라고 한다. 이들은 쌍곡평면의 테셀레이션에 대응하며, 무한 개가 있다.
• 오일러 지표가 0인 2차원 오비폴드는 포물선형 오비폴드(틀:Llang)라고 한다. 이들은 유클리드 평면의 테셀레이션에 대응한다. 총 17개가 있다.
• 오일러 지표가 양수인 2차원 오비폴드 가운데, 축소 오비폴드로 나타낼 수 있는 것들은 타원형 오비폴드(틀:Llang)라고 한다. 이들은 구의 테셀레이션에 대응한다. 7개의 무한한 족 및 족에 속하지 않는 10개가 있다.
• 오일러 지표가 양수이며, 축소 오비폴드가 아닌 것들은 나쁜 오비폴드(틀:Llang)라고 한다. 4개의 무한한 족들로 분류된다.

쌍곡선형이 아닌 2차원 연결 콤팩트 오비폴드들의 목록은 다음과 같다. (여기서 "오일러 지표"는 사타케-서스턴 오일러 지표를 말한다.)

종류	오일러 지표	다양체	원뿔 꼭짓점의 차수	다각형 꼭짓점의 차수
나쁜	1 + 1/n	구	n > 1
	1/m + 1/n	구	n > m > 1
	1/2 + 1/2n	원판		n > 1
	1/2m + 1/2n	원판		n > m > 1
타원형	2	구
	2/n	구	n,n
	1/n	구	2, 2, n
	1/6	구	2, 3, 3
	1/12	구	2, 3, 4
	1/30	구	2, 3, 5
	1	원판
	1/n	원판		n, n
	1/2n	원판		2, 2, n
	1/12	원판		2, 3, 3
	1/24	원판		2, 3, 4
	1/60	원판		2, 3, 5
	1/n	원판	n
	1/2n	원판	2	n
	1/12	원판	3	2
	1	사영 평면
	1/n	사영 평면	n
포물선형	0	구	2, 3, 6
	0	구	2, 4, 4
	0	구	3, 3, 3
	0	구	2, 2, 2, 2
	0	원판		2, 3, 6
	0	원판		2, 4, 4
	0	원판		3, 3, 3
	0	원판		2, 2, 2, 2
	0	원판	2	2, 2
	0	원판	3	3
	0	원판	4	2
	0	원판	2, 2
	0	사영 평면	2, 2
	0	원환면
	0	클라인 병
	0	원환
	0	뫼비우스 띠

역사

사타케 이치로(틀:Llang)가 automorphic form을 연구하면서 1956년에 ‘V-다양체’(틀:Llang)라는 이름으로 정의하였다. 윌리엄 서스턴이 1980년 재발견하였고, ‘오비폴드’(틀:Llang)라는 이름을 붙였다.

‘오비폴드’(틀:Llang)라는 이름은 틀:Llang (궤도)과 틀:Llang (다양체)를 합친 혼성어이다. 이 이름에 대하여 서스턴은 다음과 같이 적었다. 틀:인용문2

각주

• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:서적 인용

같이 보기

• 몫공간
• 2차원 등각 장론
• 테셀레이션
• 스택 (수학)

외부 링크

• 틀:매스월드
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• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용
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