곱

수학에서 곱(틀:Llang)은 곱셈 연산의 결과가 되는 값, 또는 곱하는 요소들을 표현한 식이다. 예를 들어 6은 2와 3의 곱(곱셈의 결과값)이며, $x\cdot (2+x)$ 은 $x$ 와 $(2+x)$의 곱이다.

실수 또는 복소수는 곱해지는 순서가 결과에 영향을 주지 않는데, 이를 곱셈의 교환법칙이라 한다. 반면 행렬이나 결합 대수의 여러 대수 구조들은 일반적으로 곱해지는 순서에 따라 그 결과가 달라진다. 즉 행렬 곱셈은 비가환이다.

수학에는 다양한 종류의 곱이 존재한다. 일반적인 수의 곱셈 외에도 다항식이나 행렬, 대수 구조 등에 대해 곱을 정의할 수 있다.

두 수의 곱

두 자연수의 곱

3 곱하기 4는 12이다.

두 자연수 $m$과 $n$의 곱은 $m$을 $n$번 더한 값이며, $m\times n$ 또는 $m\cdot n$으로 쓴다. $n$을 $m$번 더한 값과도 같다. 즉 아래와 같다.

$m\cdot n=\underset{n\text{번}}{\underbrace{m+m+\cdots +m}}=\underset{m\text{번}}{\underbrace{n+n+\cdots +n}}$

예를 들어 3과 4의 곱은 $3\cdot 4=3+3+3+3=4+4+4=12$이다.

두 정수의 곱

정수는 양수와 음수, 그리고 0을 말한다. 두 정수의 곱은 각 정수의 절댓값을 곱한 값에 다음 규칙에 맞는 부호를 달아 구할 수 있다.

$\begin{array}{ccc}\cdot & -& +\\ -& +& -\\ +& -& +\end{array}$

즉 양수와 음수를 곱하면 음수가 되고, 양수와 양수 또는 음수와 음수를 곱하면 그 결과값은 양수가 된다.

예를 들어 3과 -4의 곱은 $3\cdot (-4)=-(3\cdot 4)=-12$이고, -1과 -1의 곱은

$(-1)\cdot (-1)=1\cdot 1=1$이다.

정수의 곱에서 부호는 두 정수 간 덧셈과 곱셈의 분배법칙으로부터 유도되는 결과이다. -1 참고.

두 유리수의 곱

두 유리수의 곱은 각 유리수를 분수로 나타낸 뒤 분자와 분모끼리 곱하여 구할 수 있다.

$\frac{z}{n}\cdot \frac{z^{\prime }}{n^{\prime }}=\frac{z\cdot z^{\prime }}{n\cdot n^{\prime }}$

두 실수의 곱

두 실수의 곱의 엄밀한 정의는 실수의 구성에 따른 결과로 나타난다. 실수를 구성했을 때, 임의의 실수 틀:Mvar에 대해 유리수를 원소로 가지고 틀:Mvar가 상한인 집합 틀:Mvar가 존재한다.

$a=\underset{x\in A}{\sup }x$

틀:Mvar가 집합 틀:Mvar의 상한이 되는 실수일 때, 두 실수의 곱 $a\cdot b$는

$a\cdot b=\underset{x\in A,y\in B}{\sup }x\cdot y$

로 정의된다. 이 경우 두 실수의 곱은 어떤 집합 틀:Mvar와 틀:Mvar를 선택하느냐에 관계없이 같다. 즉 집합의 상한이 변하는 것이 아니라면, 어떤 집합을 선택하든지 두 실수의 곱 $a\cdot b$는 동일하다.

두 복소수의 곱

두 복소수의 곱은 $i^2=-1$이라는 정의와 분배법칙을 이용해 다음과 같이 구할 수 있다.

$\begin{array}{cc}(a+bi)\cdot (c+di)& =a\cdot c+a\cdot di+bi\cdot c+b\cdot d\cdot i^2\\ & =(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)i\end{array}$

복소수 곱셈의 기하학적 의미

극좌표에 나타낸 반지름(녹색 선)이 틀:Mvar이고 각이 $\phi$인 복소수 $a+bi$.

복소수는 극좌표에 점으로 나타낼 수 있다. 복소수 $a+bi$가 극좌표에서 반지름이 틀:Mvar이고 각이 $\phi$이면

$a+bi=r\cdot (\cos (\phi )+i\sin (\phi ))=r\cdot e^{i\phi }$

이다. 한편

$c+di=s\cdot (\cos (\psi )+i\sin (\psi ))=s\cdot e^{i\psi }$

라 하면 두 복소수 $a+bi$와 $c+di$의 곱은 아래와 같다.

$(a+bi)\cdot (c+di)=(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)i=r\cdot s\cdot e^{i(\phi +\psi )}$

즉, 극좌표에서 두 복소수의 곱은 두 복소수의 반지름의 곱을 반지름으로 하고 두 복소수의 각의 합을 각으로 가지는 복소수가 된다.

두 사원수의 곱

틀:본문 사원수 참조. 사원수의 곱셈에서는 일반적으로 $a\cdot b$와 $b\cdot a$가 같지 않다.

수열의 곱

수열의 곱에서는 곱셈 연산자로 대문자 그리스어 알파벳 파이 Π를 사용한다.(합 기호로 대문자 시그마 Σ를 쓰는 것과 유사하다.) 예를 들어, ${\prod }_{i=1}^6{i}^2$는 $1\cdot 4\cdot 9\cdot 16\cdot 25\cdot 36$를 의미한다.

하나의 수로만 이루어진 수열의 곱은 그 수 자신과 같다. 수열에서 곱할 수가 없는 경우 그 수열의 곱은 1과 같다.

가환환

가환환에도 곱 연산이 존재한다.

정수의 합동류

틀:본문 환의 $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$의 합동류의 덧셈은 아래와 같고,

$(a+N\mathbb{Z})+(b+N\mathbb{Z})=a+b+N\mathbb{Z}$

곱은 아래처럼 정의된다.

$(a+N\mathbb{Z})\cdot (b+N\mathbb{Z})=a\cdot b+N\mathbb{Z}$

합성곱

방형파의 자기 자신에 대한 합성곱은 삼각형함수가 된다.

두 실함수를 곱하는 또다른 방법으로 합성곱이 있다.

두 함수 틀:Mvar, 틀:Mvar가

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(t)|\mathrm{d}t<\mathrm{\infty },\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|g(t)|\mathrm{d}t<\mathrm{\infty }$

을 만족할 때 합성곱은 아래와 같이 정의된다.

$(f*g)(t):=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(\tau )\cdot g(t-\tau )\mathrm{d}\tau$

다항식환

틀:본문 다항식환에서 두 다항식의 곱은 다음과 같이 구할 수 있다.

$\left(\sum _{i=0}^n{a}_i{X}^i\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^m{b}_j{X}^j\right)=\sum _{k=0}^{n+m}{c}_k{X}^k$

여기서 $c_k=\sum _{i+j=k}{a}_i\cdot b_j$이다.

선형대수학에서의 곱

선형대수학에서는 여러 종류의 곱을 다룬다.

스칼라 곱셈

틀:본문 벡터 공간의 정의에 의해 스칼라와 벡터를 곱해 벡터를 얻는 사상 $ℝ\times V\to V$인 스칼라 곱셈을 할 수 있다.

스칼라곱

$v\cdot v>0$인 모든 $0=v\in V$에 대해 스칼라곱은 아래와 같이 정의되는 이중선형사상이다.

$\cdot :V\times V\to ℝ$

$n$차원 유클리드 공간에서 스칼라곱(점곱이라고도 한다.)은 다음과 같다.

$\left(\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{e}_i\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^n{\beta }_i{e}_i\right)=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{\beta }_i$

스칼라곱으로부터 노름을 $\Vert v\Vert :=\sqrt{v\cdot v}$로 정의할 수 있다.

두 벡터 사이의 각 또한 스칼라곱으로 정의한다.

$\cos \mathrm{\angle }(v,w)=\frac{v\cdot w}{\Vert v\Vert \cdot \Vert w\Vert }$

3차원 공간의 벡터곱

틀:본문 3차원 공간에서 두 벡터의 벡터곱은 두 벡터로부터 만들어지는 평행사변형의 넓이를 길이로 가지는 벡터가 된다.

벡터곱은 아래와 같은 행렬식으로도 구할 수 있다.

$𝐮\mathbf{\times }𝐯=\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ u_1& u_2& u_3\\ v_1& v_2& v_3\end{array}\right|$

선형 사상의 합성

틀:본문 체 F 위의 두 벡터 공간 V와 W에 대하여 아래조건을 만족하는 함수 f를 선형 사상이라 한다.

$f(t_1{x}_1+t_2{x}_2)=t_{1}f(x_1)+t_{2}f(x_2),\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in V,\mathrm{\forall }{t}_1,t_2\in 𝔽.$

유한 차원 벡터 공간에 대해, b_V와 b_W를 각각 V와 W의 기저라 하고 v_i를 v의 b_Vⁱ 방향 성분이라 하면 다음과 같이 된다.

$f(𝐯)=f\left(v_i{{𝐛}_{𝐕}}^i\right)=v_{i}f\left({{𝐛}_{𝐕}}^i\right)={f^i}_j{v}_i{{𝐛}_{𝐖}}^j,$

여기서 식은 아인슈타인 표기법을 따랐다.

그러면 이제 유한 차원 벡터 공간 위의 두 선형 사상에 대하여 함수를 합성할 수 있다. f를 V에서 W로의 선형 사상, g를 W에서 U로의 선형 사상이라 하자. 그러면 V에서 U로 가는 f와 g의 합성 틀:Math는 다음과 같이 구할 수 있다.

$g\circ f(𝐯)=g\left({f^i}_j{v}_i{{𝐛}_{𝐖}}^j\right)={g^j}_k{f^i}_j{v}_i{{𝐛}_{𝐔}}^k.$

또는 행렬 F와 G에 대해 F_ij=f^j_i, G_ij=g^j_i라 하면 함수의 합성은 다음과 같다.

$g\circ f(𝐯)=𝐆𝐅𝐯,$

둘 이상의 선형 사상의 합성은 행렬 곱셈을 이용해 비슷한 방식으로 나타낼 수 있다.

두 행렬의 곱

틀:본문 두 행렬

$A=(a_{i,j}{)}_{i=1\dots s;j=1\dots r}\in {ℝ}^{s\times r}$

$B=(b_{j,k}{)}_{j=1\dots r;k=1\dots t}\in {ℝ}^{r\times t}$

에 대해 두 행렬의 행렬곱은 아래와 같다.

$B\cdot A={(\sum _{j=1}^r{a}_{i,j}\cdot b_{j,k})}_{i=1\dots s;k=1\dots t}\in {ℝ}^{s\times t}$

벡터 공간의 텐서곱

틀:본문 두 유한 차원 벡터 공간 V와 W에 대해, 두 벡터 공간의 텐서곱은 다음을 만족하는 (2, 0)-텐서로 정의할 수 있다.

$V\otimes W(v,m)=V(v)W(w),\mathrm{\forall }v\in V^{*},\mathrm{\forall }w\in W^{*},$

여기서 V^*와 W^*는 각각 V와 W의 쌍대 공간이다.

선형대수학에서의 기타 곱

• 아다마르 곱
• 크로네커 곱
• 텐서의 곱:
  • 쐐기곱
  • 내부곱
  • 외적
  • 텐서곱

데카르트 곱

틀:본문 집합론에서, 데카르트 곱은 여러 집합으로부터 새로운 집합을 만드는 연산이다. 즉, 집합 A와 B에 대해 데카르트 곱 A × B는 a ∈ A이고 b ∈ B인 모든 순서쌍 (a, b)들로 이루어진 집합이다.

기타 대수 구조에서의 곱

• 집합의 데카르트 곱
• 군의 직접곱, 반직접곱, 화환곱
• 군의 자유곱
• 환의 곱
• 아이디얼의 곱
• 곱위상
• 대수적 위상수학의 교곱, 합곱, 매시 곱
• 호모토피의 분쇄곱, 쐐기곱

범주론에서의 곱

이전까지의 곱들은 보다 일반화한 개념인 범주론에서의 곱의 특수한 경우에 해당한다. 한편 범주론에는 다른 종류의 곱들도 존재한다.

• 당김
• 초곱

같이 보기

• 곱셈
• 무한곱
• 논리곱