합

수학에서 유한합(有限合, 틀:Llang)은 유한 개의 수를 더한 결과를 뜻한다. 유한합의 표기에는 그리스 문자 시그마의 모양을 딴 기호 $\sum$가 쓰인다.

정의

유한 수열 $(a_m,a_{m+1},\dots ,a_n)$의 유한합

$$\sum _{k=m}^n{a}_k=\sum _{m\le k\le n}{a}_k=a_m+a_{m+1}+\cdots +a_n$$

은 이 수열의 모든 항을 더한 결과를 뜻하며, 다음과 같이 재귀적으로 정의할 수 있다.

$\sum _{k=m}^{m-1}{a}_k=0$

$\sum _{k=m}^n{a}_k=a_n+\sum _{k=m}^{n-1}{a}_k(n\in \{m,m+1,m+2,\dots \})$

보다 일반적으로, 유한 집합 $I$로 첨수된 수들의 집합 $\{a_i:i\in I\}$의 유한합은 이 집합의 모든 원소를 더한 결과를 뜻하며, 다음과 같이 정의된다.

$\sum _{i\in I}{a}_i=\sum _{k=1}^{|I|}{a}_{f(k)}$

여기서 $|I|$는 $I$의 크기이며, $f:\{1,\dots ,|I|\}\to I$는 임의의 전단사 함수이다. 위 정의가 유효한 것은 위 합이 전단사 함수 $f$의 선택과 무관하기 때문이다.

집합 $I$ 및 그 위의 성질 $P$에 대하여, 원소 $i\in I$가 성질 $P$를 만족시킨다는 것을 $P(i)$로 쓰자. 만약 집합 $\{i\in I:P(i)\}$가 유한 집합일 경우, 유한합

$\sum _{i\in \{j\in I:P(j)\}}{a}_i$

는

$\sum _{i\in I:P(i)}{a}_i$

와 같이 표기할 수 있다.

성질

항등식

합에 대한 성질을 나타내는 다음과 같은 항등식들이 성립한다.

• (점화식) $$\sum _{k=1}^n{a}_k=\sum _{k=1}^m{a}_k+\sum _{k=m+1}^n{a}_k$$
• (덧셈의 보존) $$\sum _{k=1}^n(a_k\pm b_k)=\sum _{k=1}^n{a}_k\pm \sum _{k=1}^n{b}_k$$
• (분배 법칙) $$\sum _{k=1}^{n}c{a}_k=c\sum _{k=1}^n{a}_k$$
• (선형성: 이는 덧셈의 보존 및 분배 법칙의 일반화이다.) $$\sum _{k=1}^n(c{a}_k+c^{\prime }{b}_k)=c\sum _{k=1}^n{a}_k+c^{\prime }\sum _{k=1}^n{b}_k$$
• (푸비니 정리) $$\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{a}_{i,j}=\sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^m{a}_{i,j}=\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{1\le i\le m}{1\le j\le n}}{a}_{i,j}$$

그러나 합은 곱셈과 나눗셈을 보존하지 않는다.

부등식

실수들의 유한합을 포함하는 다음과 같은 부등식들이 성립한다.

• (코시-슈바르츠 부등식) $${\left(\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k\right)}^2\le \left(\sum _{k=1}^n{a}_k^2\right)\left(\sum _{k=1}^n{b}_k^2\right)$$
• (횔더 부등식: 코시-슈바르츠 부등식은 이 부등식의 특수한 경우이다.) $$\sum _{k=1}^n|a_k{b}_k|\le {(\sum _{k=1}^n|a_k{|}^p)}^{\frac{1}{p}}{(\sum _{k=1}^n|b_k{|}^q)}^{\frac{1}{q}}p,q>1,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$$
• (민코프스키 부등식) $${(\sum _{k=1}^n|a_k+b_k{|}^p)}^{\frac{1}{p}}\le {(\sum _{k=1}^n|a_k{|}^p)}^{\frac{1}{p}}+{(\sum _{k=1}^n|b_k{|}^p)}^{\frac{1}{p}}p>1$$

$\begin{array}{cc}0& \le \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n(a_i{b}_j-a_j{b}_i{)}^2\\ & =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n(a_i^2{b}_j^2-2a_i{a}_j{b}_i{b}_j+a_j^2{b}_i^2)\\ & =2\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_i^2{b}_j^2-2\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_i{a}_j{b}_i{b}_j\\ & =2\left(\sum _{i=1}^n{a}_i^2\right)\left(\sum _{j=1}^n{b}_j^2\right)-2{\left(\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k\right)}^2\end{array}$

틀:증명 끝 틀:증명 영의 부등식에 따라 다음과 같이 증명할 수 있다.

$\frac{\sum _{k=1}^n|a_k{b}_k|}{{(\sum _{i=1}^n|a_i{|}^p)}^{\frac{1}{p}}{(\sum _{j=1}^n|b_j{|}^q)}^{\frac{1}{q}}}=\sum _{k=1}^n{\left(\frac{|a_k{|}^p}{\sum _{i=1}^n|a_i{|}^p}\right)}^{\frac{1}{p}}{\left(\frac{|b_k{|}^q}{\sum _{j=1}^n|b_j{|}^q}\right)}^{\frac{1}{q}}\le \sum _{k=1}^n(\frac{1}{p}\frac{|a_k{|}^p}{\sum _{i=1}^n|a_i{|}^p}+\frac{1}{q}\frac{|b_k{|}^q}{\sum _{j=1}^n|b_j{|}^q})=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$

틀:증명 끝 틀:증명 다음과 같은 $q>1$를 취하자.

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$

그렇다면, 이 부등식은 횔더 부등식을 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.

$\begin{array}{cc}\sum _{k=1}^n|a_k+b_k{|}^p& \le \sum _{k=1}^n|a_k||a_k+b_k{|}^{p-1}+\sum _{k=1}^n|b_k||a_k+b_k{|}^{p-1}\\ & \le {(\sum _{k=1}^n|a_k{|}^p)}^{\frac{1}{p}}{(\sum _{k=1}^n|a_k+b_k{|}^{q(p-1)})}^{\frac{1}{q}}+{(\sum _{k=1}^n|b_k{|}^p)}^{\frac{1}{p}}{(\sum _{k=1}^n|a_k+b_k{|}^{q(p-1)})}^{\frac{1}{q}}\\ & =({(\sum _{k=1}^n|a_k{|}^p)}^{\frac{1}{p}}+{(\sum _{k=1}^n|b_k{|}^p)}^{\frac{1}{p}}){(\sum _{k=1}^n|a_k+b_k{|}^p)}^{\frac{1}{q}}\end{array}$

예

일부 특수한 합은 더 간단한 꼴의 식으로 나타낼 수 있으며, 그 예는 다음과 같다.

다항식

• (상수열의 유한합) $$\sum _{k=1}^{n}c=cn$$
• (등차수열의 유한합: 이를 삼각수라고 한다.) $$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}$$
• (제곱수의 유한합: 이를 사각뿔수라고 한다.) $$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6}$$
• (세제곱수의 유한합: 이를 니코마코스 정리(틀:Llang)라고 한다.) $$\sum _{k=1}^n{k}^3={\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)}^2={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2=\frac{n^4}{4}+\frac{n^3}{2}+\frac{n^2}{4}$$
• (네제곱수의 유한합) $$\sum _{k=1}^n{k}^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}=\frac{n^5}{5}+\frac{n^4}{2}+\frac{n^3}{3}-\frac{n}{30}$$
• (다섯제곱수의 유한합) $$\sum _{k=1}^n{k}^5=\frac{n^2(n+1{)}^2(2n^2+2n-1)}{12}$$
• (여섯제곱수의 유한합) $$\sum _{k=1}^n{k}^6=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3-3n+1)}{42}$$
• (일곱제곱수의 유한합) $$\sum _{k=1}^n{k}^7=\frac{n^2(n+1{)}^2(3n^4+6n^3-n^2-4n+2)}{24}$$
• (임의의 거듭제곱수의 유한합: 이를 파울하버 공식(틀:Llang)이라고 한다. 여기서 $B_k$는 $k$번째 베르누이 수이다.) $$\sum _{k=1}^n{k}^p=\sum _{k=0}^p{B}_k(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{k})\frac{(n+1{)}^{p-k+1}}{p-k+1}$$

틀:증명 항등식

$(k+1{)}^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1(k\in \{1,\dots ,n\})$

을 모두 더해서 정리해주면 위 공식과 같은 결과가 도출된다. 틀:증명 끝

유리식

• (조화수열의 유한합: 이를 조화수라고 한다.) $$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1-x^n}{1-x}dx=H_n$$

지수 함수

• (등비수열의 유한합) $$\sum _{k=0}^n{a}^k=\frac{1-a^{n+1}}{1-a}a\ne 1$$
• (등차-등비 수열의 유한합) $$\sum _{k=1}^{n}k{a}^k=\frac{a-(n+1)a^{n+1}+n{a}^{n+2}}{(1-a{)}^2}a\ne 1$$
• (삼각 함수의 유한합: 이를 디리클레 핵(틀:Llang)이라고 한다.) $$\sum _{k=1}^n\cos k\theta =-\frac{1}{2}+\frac{\sin (n+\frac{1}{2})\theta }{2\sin \frac{\theta }{2}}\theta \ne 0$$

이항 계수

• (이항 계수의 유한합) $$\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=2^n$$$$\sum _{p=k}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+1})$$
• (하강 계승의 유한합) $$\sum _{k=0}^n{n}^{\underset{\_}{k}}=\lfloor n!e\rfloor$$

같이 보기

• 급수: 무한합