매시 곱

틀:위키데이터 속성 추적 대수적 위상수학에서 매시 곱(틀:Llang)은 코호몰로지 곱을 일반화하는 다항 연산이다. 이를 통하여, 코호몰로지의 환 구조만으로는 알 수 없는 위상수학적 불변량을 계산할 수 있다.

정의

미분 등급 대수 $(A,d)$의 코호몰로지 $H^{\bullet }(A)$의 원소 $u\in H^{\bullet }(A)$에 대하여,

$\overline{u}=(-{)}^{\mathrm{deg}u+1}u$

로 정의하자. 코호몰로지 $H^{\bullet }(A)$ 위의 $n$항 매시 곱

$⟨\stackrel{n}{\overbrace{-,-,\dots ,-}}⟩:(H^{\bullet }(A){)}^n\to 𝒫(H^{\bullet }(A))$

은 $n$개의 코호몰로지류를 코호몰로지류들의 집합으로 대응시키는 함수이며, 다음과 같다.

$⟨[a_{1,1}],\dots ,[a_{n,n}]⟩=\{\sum _{i=1}^{n-1}{a}_{1,i}{a}_{i+1,n}:\mathrm{\forall }1\le i\le k\le n,(i,j)\ne (1,n):d{a}_{i,k}=\sum _{j=i}^{k-1}{\overline{a}}_{i,j}{a}_{j+1,k}\}$

이 등식에서

$\mathrm{deg}{a}_{i,k}=i-k+\sum _{j=i}^k\mathrm{deg}{a}_{j,j}$

이며, 따라서

$\mathrm{deg}⟨u_1,\dots ,u_n⟩=\sum _{i=1}^n\mathrm{deg}{u}_n+2-n$

이다.

불확정성

일반적으로, 매시 곱은 공집합이거나 두 개 이상의 원소를 가질 수 있는 집합이다. 3차 매시 곱의 두 원소의 차는 다음과 같은 아이디얼에 속한다.

$x,y\in ⟨[a_1],[a_2],[a_3]⟩$

$x-y\in ([a_1])+([a_3])$

즉, 매시 곱을 다음과 같은 몫군 속의 값으로 정의한다면, 매시 곱은 유일하다.

$x,y\in ⟨[a_1],[a_2],[a_3]⟩$

$x-y\in H^{\mathrm{deg}{a}_1+\mathrm{deg}{a}_2+\mathrm{deg}{a}_3}/([a_1]H^{\mathrm{deg}{a}_2+\mathrm{deg}{a}_3}+H^{\mathrm{deg}{a}_1+\mathrm{deg}{a}_2}[a_3])$

보다 일반적으로, $n$차 매시 곱은 다음과 같은 몫군 속에서 정의된다.

$x,y\in ⟨[a_1],[a_2],\dots ,[a_n]⟩$

$x-y\in H^{\sum _i\mathrm{deg}{a}_i}/([a_1]H^{\mathrm{deg}{a}_{2,n}}+H^{\mathrm{deg}{a}_{1,2}}{H}^{\mathrm{deg}{a}_{3,n}}+\cdots +H^{\mathrm{deg}{a}_{1,n-2}}{H}^{\mathrm{deg}{a}_{n-1,n}}+H^{\mathrm{deg}{a}_{1,n-1}}[a_n])$

여기서

$\mathrm{deg}{a}_{i,j}=i-j+\mathrm{deg}{a}_i+\mathrm{deg}{a}_{i+1}+\cdots +\mathrm{deg}{a}_j$

이다.

낮은 차수의 매시 곱

0항 및 1항 매시 곱은 항상 $\{0\}$이다. 2항 매시 곱은 코호몰로지 곱

$⟨u,v⟩=\{uv\}$

이다.

3항 매시 곱은 최초로 자명하지 않은 매시 곱이며, 다음과 같다. 만약

$uv=vw=0$

$ds=\overline{u}v$

$dt=\overline{v}w$

라면,

$⟨[u],[v],[w]⟩=[\overline{s}w+\overline{u}t]$

이다.

4항 매시 곱은 다음과 같다.

$[uv]=[vw]=[wx]=0$

$dr=\overline{u}v$

$ds=\overline{v}w$

$dt=\overline{w}x$

$[\overline{r}w+\overline{u}s]=[\overline{s}x+\overline{v}t]=0$

$dp=\overline{u}s+\overline{r}w$

$dq=\overline{v}t+\overline{s}x$

$⟨[u],[v],[w],[x]⟩=[\overline{u}q+\overline{r}t+\overline{p}x]$

응용

매시 곱을 사용하여, 보로메오 고리가 얽혀 있다는 것을 알 수 있다.

매시 곱은 코호몰로지의 곱 연산만으로 알 수 없는 위상수학적 불변량들을 측정한다. 예를 들어, 연환의 일종인 보로메오 고리(틀:Llang)는 그 여공간의 코호몰로지의 곱만으로는 세 개의 고리가 분리될 수 없다는 것을 알지 못하지만, 각 고리에 대응하는 코호몰로지 원소의 3중 매시 곱이 0이 아니므로 세 개의 고리가 얽혀 있다는 사실을 알 수 있다.

역사

윌리엄 슈마허 매시(틀:Llang)가 1958년에 도입하였다.

각주

• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:웹 인용