합곱

틀:위키데이터 속성 추적 대수적 위상수학에서 합곱(合곱, 틀:Llang)은 두 코호몰로지류를 더 큰 코호몰로지류로 이어붙이는 연산이다. 이에 따라, 코호몰로지는 호몰로지와 달리 등급환을 이룬다.

정의

쌍대사슬의 합곱

위상 공간 $X$ 및 가환환 $R$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 특이 쌍대사슬의 합곱은 다음과 같은 $R$-선형 변환이다.

$⌣:C^p(X;R)\times C^q(X;R)\to C^{p+q}(X;R)$

이는 다음과 같이 정의된다. 임의의 $p$차 특이 쌍대사슬 $c\in C^p(X;R)$ 및 $q$차 특이 쌍대사슬 $d\in C^q(X;R)$ 및 $(p+q)$차 특이 단체 $\sigma :{\mathrm{△}}^{p+q}\to X$에 대하여,

$c⌣d:\sigma \mapsto c(\sigma \circ {\iota }_{0,1,...p})\cdot d(\sigma \circ {\iota }_{p,p+1,...,p+q})$

여기서

${\iota }_S:{\mathrm{△}}^{|S|-1}\hookrightarrow {\mathrm{△}}^{p+q}$

($S\subset \{0,1,...,p+q\}$)는 $|S|-1$차원 표준 단체를 꼭짓점들이 $\{0,1,\dots ,p+q\}$인 $p+q$차원 표준 단체의, $S$에 속하는 꼭짓점들만을 갖는 부분 표준 단체로 포함시키는 함수이다.

코호몰로지류의 합곱

쌍대사슬의 합곱은 다음과 같이 쌍대경계 $\delta$와 호환된다.

$\delta (c⌣d)=\delta c⌣d+(-1{)}^{\mathrm{deg}c}(c⌣\delta d)$

따라서, 쌍대사슬의 합곱은 코호몰로지류 위에도 정의된다. 이에 따라, 코호몰로지류의 합곱

$⌣:H^p(X;R)\times H^q(X;R)\to H^{p+q}(X;R)$

이 존재하게 된다. 이를 곱으로 삼으면, 코호몰로지 군 $H^{\bullet }(X;R)$는 등급환을 이룬다.

텐서곱

두 위상 공간 $X,Y$ 및 가환환 $R$ 위의 가군 $M$, $N$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 특이 쌍대사슬에 대한 다음과 같은 사상이 존재한다.

${\otimes }_R:C^p(X;M)\times C^q(Y;N)\to C^{p+q}(X\times Y;M{\otimes }_{R}N)$

$c{\otimes }_{R}d:\sigma \mapsto c({\mathrm{proj}}_X^{X\times Y}\circ \sigma \circ {\iota }_{0,1,...p}){\otimes }_{R}d({\mathrm{proj}}_Y^{X\times Y}\circ \sigma \circ {\iota }_{p,p+1,...,p+q})\in M{\otimes }_{R}N$

여기서

${\mathrm{proj}}_X^{X\times Y}:X\times Y\to X$

${\mathrm{proj}}_Y^{X\times Y}:X\times Y\to Y$

는 곱공간의 사영 사상이다. 이 역시 쌍대경계와 호환되어, 코호몰로지류의 텐서곱

${\otimes }_R:{\mathrm{H}}^p(X;M)\times {\mathrm{H}}^q(Y;N)\to {\mathrm{H}}^{p+q}(X\times Y;M{\otimes }_{R}N)$

을 정의할 수 있다. 만약 $M=N=R$라면, $R{\otimes }_R=R$이므로 이는

${\otimes }_R:{\mathrm{H}}^p(X;R)\times {\mathrm{H}}^q(Y;R)\to {\mathrm{H}}^{p+q}(X\times Y;R)$

이다. 이 사상은 퀴네트 정리에 등장하는 사상과 같다.

성질

코호몰로지류의 합곱은 다음과 같은 등급 교환 법칙을 따른다.

$\alpha ⌣\beta =(-1{)}^{\mathrm{deg}\alpha \mathrm{deg}\beta }(\beta ⌣\alpha )$

합곱은 함자를 이룬다. 구체적으로, 임의의 연속 함수 $f:X\to Y$에 대하여, 코호몰로지로 인한 당김

$f^{*}:H^{\bullet }(Y)\to H^{\bullet }(X)$

을 정의한다면, 다음이 성립한다. 임의의 $\alpha ,\beta \in H^{\bullet }(Y)$에 대하여,

$f^{*}(\alpha ⌣\beta )=f^{*}(\alpha )⌣f^{*}(\beta ),$

즉, $f^{*}$는 등급환의 준동형을 이룬다.

합곱과 텐서곱의 관계

위상 공간 $X$ 및 가환환 $R$ 위의 가군 $M$, $N$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 대각 사상

${\mathrm{diag}}_X:X\to X^2$

이 존재한다. 그렇다면, 텐서곱의 대각 사상의 당김

${\mathrm{diag}}_X^{*}(-{\otimes }_R-):{\mathrm{H}}^p(X;M)\times {\mathrm{H}}^q(X;N)\to {\mathrm{H}}^{p+q}(X;M{\otimes }_{R}N)$

이 존재한다. 만약 $M=N=R$라면, 이는 합곱 $⌣$과 일치한다.

역사

1935년 9월 4일~10일 동안 모스크바에서 열린 제1차 세계 위상 수학 학회(틀:Llang)에서 제임스 워델 알렉산더와 안드레이 콜모고로프는 독자적으로 코호몰로지류의 개념 및 코호몰로지류의 곱셈을 도입하였다. 이후 에두아르트 체흐와 해슬러 휘트니는 코호몰로지류의 합곱을 구체적으로 정의하였다. 1944년에 사무엘 에일렌베르크는 그 정의를 일반화하였다. 합곱의 기호 $⌣$는 휘트니가 고안하였다.

같이 보기

• 특이 호몰로지
• 호몰로지
• 교곱
• 매시 곱

각주

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab