유리수

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 유리수(有理數, 틀:Llang)는 두 정수의 비율 또는 분수의 형식으로 나타낼 수 있는 수이다. 단, 분모가 0이 아니어야 한다. 특히, 분모가 1일 수 있으므로 모든 정수는 유리수이다. 유리수체의 기호는 $\mathbb{Q}$이며, 몫을 뜻하는 영어 quotient에서 따왔다.

정의

유리수체 $\mathbb{Q}$는 정수환 $\mathbb{Z}$의 분수체이다. 이는 다음과 같은 집합으로 생각할 수 있다.

$\mathbb{Q}=\{\frac{m}{n}:m,n\in \mathbb{Z},n\ne 0\}$

추상적 정의

엄밀히 말해, 유리수체 $\mathbb{Q}$는 다음과 같은 공리를 만족시키는 (동형 아래 유일한) 체이다.

• $\mathbb{Q}$의 표수는 0이다.
• 만약 환 $R$의 표수가 0이라면, 유일한 환 준동형 $\mathbb{Q}\to R$이 존재한다.

구체적 정의

유리수체 $\mathbb{Q}$는 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다. 집합 $\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}\setminus \{0\})$ 위에 다음과 같은 동치 관계 $\sim$를 줄 수 있다.

$(m,n)\sim (m^{\prime },n^{\prime })⟺m{n}^{\prime }=n{m}^{\prime }(m,n,m^{\prime },n^{\prime }\in \mathbb{Z},n,n^{\prime }\ne 0)$

유리수체 $\mathbb{Q}$는 집합으로서 몫집합 $(\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}\setminus \{0\}))/\sim$이며, 그 위의 덧셈과 곱셈은 다음과 같다.

$[(m,n){]}_{\sim }+[(m^{\prime },n^{\prime }){]}_{\sim }=[(m{n}^{\prime }+n{m}^{\prime },n{n}^{\prime }){]}_{\sim }$

$[(m,n){]}_{\sim }\cdot [(m^{\prime },n^{\prime }){]}_{\sim }=[(m{m}^{\prime },n{n}^{\prime }){]}_{\sim }$

체가 만족시켜야 하는 조건인 각종 연산 법칙과 덧셈 항등원 $[(0,1){]}_{\sim }$ 및 각 유리수 $[(m,n){]}_{\sim }$의 덧셈 역원 $[(-m,n){]}_{\sim }$ 및 곱셈 항등원 $[(1,1){]}_{\sim }$ 및 0이 아닌 각 유리수 $[(m,n){]}_{\sim }\ne [(0,0){]}_{\sim }$의 곱셈 역원 $[(n,m){]}_{\sim }$의 존재가 성립하므로, 이는 체를 이룬다. 정수환과 유리수체 사이의 표준적인 단사 환 준동형은 다음과 같다.

$\mathbb{Z}\hookrightarrow \mathbb{Q}$

$n\mapsto [(n,1){]}_{\sim }$

각 유리수 $[(m,n){]}_{\sim }$를 분수 꼴 $\frac{m}{n}$으로 나타내면, 유리수를 마치 두 정수의 비율인 것처럼 다룰 수 있다.

표현

분수 표현

유리수는 두 정수의 비율이므로, 나눗셈 기호와 의미가 같은 분수 기호를 통해 나타낼 수 있다. 예를 들어, 1과 3의 비를 분수로 나타내면 틀:Sfrac이다. 분자와 분모를 동시에 그 공약수로 나누어 원래와 값이 같지만 꼴이 더 단순한 분수를 얻는 과정을 약분이라고 한다.틀:Sfrac을 최대 공약수 6으로 나눠 약분하면 분자와 분모가 서로소이어서 더 이상 약분할 수 없는 기약 분수 틀:Sfrac을 얻는다. 분자가 분모보다 작은 분수를 진분수, 작지 않은 분수를 가분수라고 한다. 가분수는 정수와 진분수의 합으로 표현한 것을 대분수라고 한다. 예를 들어, 틀:Sfrac의 대분수 표현은 1틀:Sfrac이다.

무리수는 두 정수의 비율로 나타낼 수 없으므로 분수 표현이 불가능하다.

십진법 표현

유리수의 진법 전개는 유한 소수이거나 순환 소수이다. 십진법 전개가 가장 흔하며, 그 예는 다음과 같다.

$\frac{7}{5}=1.4$

$\frac{1}{3}=0.\dot{3}=0.333\cdots$

$\frac{1}{6}=0.1\dot{6}=0.1666\cdots$

$\frac{1}{7}=0.\dot{1}4285\dot{7}=0.142857142857\cdots$

$\frac{1}{9}=0.\dot{1}=0.111\cdots$

$\frac{1}{11}=0.\dot{0}\dot{9}=0.090909\cdots$

$\frac{1}{12}=0.08\dot{3}=0.083333\cdots$

분수를 소수로 전환하려면 나머지 있는 나눗셈을 통해 순환 마디를 구하면 된다. 유한 소수나 순환 소수를 분수로 전환하려면 틀:Sfrac = 0.1, 틀:Sfrac = 0.01, 틀:Sfrac = 0.001 및 틀:Sfrac = 0.111..., 틀:Sfrac = 0.010101..., 틀:Sfrac = 0.001001001... 따위를 이용하면 된다.

반면 무리수의 진법 전개는 비순환 소수이다.

연분수 표현

유리수는 유한 연분수 표현이 가능하다. 예를 들어, 다음과 같다.

$\frac{11}{9}=[1;4,2]=1+\frac{1}{4+\frac{1}{2}}$

$\frac{15}{11}=[1;2,1,3]=1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{3}}}$

$\frac{734}{367}=[2;5,3,7,3]=2+\frac{1}{5+\frac{1}{3+\frac{1}{7+\frac{1}{3}}}}$

분수를 연분수로 나타내려면, 분자와 분모에 유클리드 호제법을 응용하면 된다.

무리수의 경우, 연분수 표현은 항상 무한 연분수이다.

연산

등식과 부등식

두 유리수가 같을 필요충분조건은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}⟺ad=bc(a,b,c,d\in \mathbb{Z},b,d\ne 0)$

어떤 유리수가 다른 어떤 유리수보다 작을 필요충분조건은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\frac{a}{b}<\frac{c}{d}⟺ad<bc(a,b,c,d\in \mathbb{Z},b,d>0)$

덧셈과 뺄셈

두 유리수의 덧셈에는 통분 기법이 쓰이며, 이는 다음과 같다.

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$

유리수의 반수를 구하는 공식은 다음과 같다.

$-\frac{a}{b}=\frac{-a}{b}$

두 유리수의 뺄셈은 반수를 더하는 것과 같다.

$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{a}{b}+(-\frac{c}{d})=\frac{ad-bc}{bd}$

분모의 최소 공배수를 공분모로 취하여 통분하면 더 간단히 구할 수 있다.

곱셈과 나눗셈

두 유리수의 곱셈은 다음과 같다.

$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$

0이 아닌 유리수의 역수는 다음과 같다.

${\left(\frac{a}{b}\right)}^{-1}=\frac{b}{a}$

두 유리수의 나눗셈은 역수를 곱하는 것과 같다.

$\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot {\left(\frac{c}{d}\right)}^{-1}=\frac{ad}{bc}$

성질

집합 $\mathbb{Q}$는 정수의 집합 $\mathbb{Z}$으로 만든 분수체이며, 따라서 $\mathbb{Q}$는 사칙연산이 자유로운 체이다.

집합 $\mathbb{Q}$는 표수가 0인 가장 작은 체이다. 즉, 표수가 0인 체는 $\mathbb{Q}$와 동형인 체를 반드시 포함한다.

서로 다른 어떤 두 유리수 사이에도 또다른 유리수가 존재하므로 집합 $\mathbb{Q}$는 조밀 집합이다. 그러나 $\mathbb{Q}$와 $\mathbb{Z}$ 사이에는 일대일 대응이 가능하므로, $\mathbb{Q}$는 가산 무한 집합이다.

유리수체에는 표준적인 절댓값과 p진 절댓값을 줄 수 있으며, 이들에 의한 완비화는 각각 실수체와 p진수체이다.

같이 보기

• 무리수

외부 링크

• 틀:네이버캐스트
• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
• 틀:플래닛매스