내부곱

틀:위키데이터 속성 추적 미분기하학에서 내부곱(內部곱, 틀:Llang)은 벡터장과 미분 형식 사이에 정의되는, 일종의 대수적 미분 연산이다. 기호는 $⌟$ 또는 $ι$ .

정의

⌟ : Γ (T M) \otimes_{ℝ} Ω^{∙} (M) \to Ω^{∙ - 1} (M)

⌟ : X \otimes α \mapsto X ⌟ α

은 벡터장과 미분 형식을 곱하여 미분 형식을 만드는 연산이며, 다음과 같이 두 가지로 정의될 수 있다. ( $X ⌟ α$ 는 간혹 $ι_{X} α$ 로 표기되기도 한다. 이에 대응하는 유니코드 기호는 U+2A3C ⨼이다.)

$M$ 위의 내부곱

⌟ : Γ (T M) \otimes_{ℝ} Ω^{∙} (M) \to Ω^{∙ - 1} (M)

은 다음 세 조건을 만족시키는 유일한 연산이다.

(차수 −1) 벡터장 $X$ 및 동차 미분 형식 $α$ 에 대하여, $\deg (X ⌟ α) = \deg α - 1$
(곱 규칙) 벡터장 $X$ 에 대하여, $(Ω^{∙} (M), X ⌟)$ 는 외대수 위의 미분 등급 대수를 이룬다. 즉, 임의의 $α \in Ω^{p} (M)$ 및 $β \in Ω^{q} (M)$ 에 대하여, 다음이 성립한다.
$X ⌟ (α \land β) = (X ⌟ α) \land β + (- 1)^{p} α \land (X ⌟ β)$
(1차 미분 형식의 경우) 1차 미분 형식에 대하여 내부곱은 단순히 벡터장과의 축약이다. 즉, 임의의 벡터장 $X$ 와 1차 미분 형식 $α \in Ω^{1} (M)$ 에 대하여, 다음이 성립한다.
$X ⌟ α = α (X)$

$M$ 위의 내부곱

⌟ : Γ (T M) \otimes_{ℝ} Ω^{∙} (M) \to Ω^{∙ - 1} (M)

은 임의의 $p$ 차 미분 형식 $α$ 에 대하여 다음과 같이 정의되는 연산이다.^[1]틀:Rp^[2]틀:Rp

X ⌟ α : (Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{p - 1}) \mapsto α (X, Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{p - 1}) \forall Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{p - 1} \in Γ (T M)

임의의 미분 형식 $α \in Ω (M)$ 및 두 벡터장 $X, Y \in Γ (T M)$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

X ⌟ (Y ⌟ α) + Y ⌟ (X ⌟ α) = 0

특히,

X ⌟ X ⌟ α = 0

이다.

카르탕 마법 공식(Cartan魔法公式, 틀:Llang)에 따르면, 임의의 벡터장 $X \in Γ (T M)$ 와 미분 형식 $α \in Ω (M)$ 에 대하여 다음이 성립한다.

ℒ_{X} α = d (X ⌟ α) + X ⌟ d α

여기서 $ℒ$ 은 리 미분이다.

또한, 임의의 두 벡터장 $X, Y \in Γ (T M)$ 및 미분 형식 $α \in Ω (M)$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

[X, Y] ⌟ α = ℒ_{X} (X ⌟ α) - X ⌟ ℒ_{X} α

내부곱의 개념과 용어(틀:Llang)는 헤르만 그라스만이 도입하였다.^[3]틀:Rp