자유곱

틀:위키데이터 속성 추적 추상대수학에서 자유곱(自由곱, 틀:Llang)은 주어진 두 대수 구조를 포함하는 "가장 일반적인" 대수 구조이다. 대수 구조 다양체에서의 쌍대곱이다. 융합된 자유곱(融合된自由곱, 틀:Llang)은 주어진 두 대수 구조를 포함하되, 주어진 "공통 부분"을 이어 붙이는 가장 일반적인 대수 구조이다. 자유곱의 개념을 일반화하며, 대수 구조 다양체에서의 밂을 이룬다.

정의

자유곱

자유곱은 대수 구조 다양체에서의 쌍대곱이다. 구체적으로, 연산 $\{f_i{\}}_{i\in I}$를 갖는 대수 구조 다양체 $𝒱$ 속의 두 대수 구조 $A,B\in 𝒱$의 자유곱 $A*B$은 다음과 같다. 우선, 집합 $A\bigsqcup B$로 생성되는 자유 대수 $F(A\bigsqcup B)\in 𝒱$를 생각하자. 이제, $A$에서 성립하는 모든 대수적 관계

$p(a_1,a_2,\dots ,a_n)=p^{\prime }(a{\text{'}}_1,p{\text{'}}_2,\dots ,p{\text{'}}_{n^{\prime }})$

와 $B$에서 성립하는 모든 대수적 관계

$q(b_1,b_2,\dots ,b_k)=q^{\prime }(b{\text{'}}_1,b{\text{'}}_2,\dots ,b{\text{'}}_{k^{\prime }})$

들의 집합을

$ℐ\subseteq F(A\bigsqcup B{)}^2$

라고 하고, $ℐ$를 포함하는 최소의 합동 관계를

$\sim \subseteq F(A\bigsqcup B{)}^2$

이라고 하자. 그렇다면

$A*B=F(A\bigsqcup B)/\sim \in 𝒱$

이다.

융합된 자유곱

융합된 자유곱은 대수 구조 다양체에서의 밂이다. 구체적으로, 연산 $\{f_i{\}}_{i\in I}$를 갖는 대수 구조 다양체 $𝒱$ 속의 두 준동형

$f:C\to A$

$g:C\to B$

의 융합된 자유곱 $A{*}_{C}B$는 다음과 같다. 자유곱 $A*B$ 위에서,

$[f(c){]}_{\sim }{\sim }^{\prime }[g(c){]}_{\sim }\mathrm{\forall }c\in C$

를 만족하는 최소의 동치 관계를

${\sim }^{\prime }\subseteq (A*B{)}^2$

라고 하자. 그렇다면, ${\sim }^{\prime }$은 합동 관계이며,

$A{*}_{C}B=(A*B)/{\sim }^{\prime }\in 𝒱$

이다.

예

군의 자유곱

군의 대수 구조 다양체에서, 2차 순환군

$\mathrm{Cyc}(2)=⟨S|S^2=1⟩$

및 3차 순환군

$\mathrm{Cyc}(3)=⟨U|U^3=1⟩$

을 생각하자. 그렇다면, 두 순환군의 자유곱은 다음과 같은 모듈러 군이다.

$\mathrm{Cyc}(2)*\mathrm{Cyc}(3)=⟨S,U|S^2=U^3=1⟩$

이 경우, 보통 $S^{-1}U=T$로 정의한다.

무한 정이면체군

$\mathrm{Dih}(\mathrm{\infty })=⟨r,s\mid s^2=(rs{)}^2=1⟩$

은 다음과 같이 자유곱으로 나타내어진다.

$\mathrm{Dih}(\mathrm{\infty })=\mathrm{Cyc}(2)*\mathrm{Cyc}(2)$

환의 자유곱

환의 대수 구조 다양체에서, 환 $\mathbb{Z}[x]$와 $\mathbb{Z}[y]$의 자유곱은 비가환 다항식환

$\mathbb{Z}[x]*\mathbb{Z}[y]=\mathbb{Z}⟨x,y⟩$

이다. 이는 텐서 대수 $T({\mathbb{Z}}^2)$와 동형이다.

가환환의 자유곱

가환환의 자유곱은 환으로서의 자유곱의 가환화와 같다.

가환환의 대수 구조 다양체에서, 가환환 $\mathbb{Z}[x]$와 $\mathbb{Z}[y]$의 자유곱은 다항식환

$\mathbb{Z}[x]*\mathbb{Z}[y]=\mathbb{Z}[x,y]$

이다.

자유곱이 자명한 대수

아벨 군 또는 환 $R$ 위의 (왼쪽) 가군의 경우, 유한 자유곱은 직접곱과 일치한다. 이는 이들 범주가 아벨 범주이기 때문이다.

집합의 대수 구조 다양체에서 자유곱은 분리합집합 $\bigsqcup$이다. 이는 집합의 범주에서는 모든 대수적 관계가 $s=s$ 꼴로 자명하기 때문이다.

같이 보기

• 쌍대곱
• 보편 성질

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:Nlab