아다마르 곱

선형대수학에서 아다마르 곱(틀:Llang)은 같은 크기의 두 행렬의 각 성분을 곱하는 연산이다. 즉, 일반 행렬곱은 $m\times n$과 $n\times p$의 꼴의 두 행렬을 곱하지만, 아다마르 곱은 $m\times n$과 $m\times n$의 꼴의 두 행렬을 곱한다. 덧셈에 대하여 분배 법칙을 따른다. 기호는 $◯$.

정의

환 $R$의 성분을 갖는, 같은 크기 $m\times n$의 두 행렬

$M,N\in \mathrm{Mat}(m,n;R)$

$M=\left(\begin{array}{cccc}{M}_{11}& M_{12}& \cdots & M_{1n}\\ M_{21}& M_{22}& & M_{2n}\\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ M_{m1}& M_{m2}& \cdots & M_{mn}\end{array}\right)$

$N=\left(\begin{array}{cccc}{N}_{11}& N_{12}& \cdots & N_{1n}\\ N_{21}& N_{22}& & N_{2n}\\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ N_{m1}& N_{m2}& \cdots & N_{mn}\end{array}\right)$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, $M$과 $N$의 아다마르 곱은 다음과 같다.

$M◯N=\left(\begin{array}{cccc}{M}_{11}{N}_{11}& M_{12}{N}_{12}& \cdots & M_{1n}{N}_{1n}\\ M_{21}{N}_{21}& M_{22}{N}_{22}& & M_{2n}{N}_{2n}\\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ M_{m1}{N}_{m1}& M_{m2}{N}_{m2}& \cdots & M_{mn}{N}_{mn}\end{array}\right)\in \mathrm{Mat}(m,n;R)$

성질

환 $R$가 주어졌다고 하자.

아다마르 곱은 결합 법칙과 덧셈에 대한 분배 법칙을 따른다. 즉, 임의의

$M,N,P\in \mathrm{Mat}(m,n;R)$

에 대하여, 다음이 성립한다.

$(M◯N)◯P=M◯(N◯P)$

$M◯(N+P)=M◯N+M◯P$

$(N+P)◯M=N◯M+P◯M$

아다마르 곱의 항등원은 모든 성분이 1인 행렬

${𝖩}_{m\times n}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ 1& 1& & 1\\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ 1& 1& \cdots & 1\end{array}\right)$

이다. 이에 따라, $(\mathrm{Mat}(m,n;R),◯,𝖩)$는 환을 이루며, 이는 환의 직접곱 $R^{mn}$과 동형이다.

만약 $R$가 가환환이라면, 아다마르 곱은 교환 법칙을 따른다. 즉, 임의의

$M,N\in \mathrm{Mat}(m,n;R)$

에 대하여, 만약 $R$가 가환환일 경우 다음이 성립한다.

$M◯N=N◯M$

만약 $M\in \mathrm{Mat}(m,n;R)$의 모든 성분이 가역원이라면, $M$에 대한 아다마르 곱은 다음과 같은 역원을 갖는다.

$M^{◯-1}=\left(\begin{array}{cccc}{M}_{11}^{-1}& M_{12}^{-1}& \cdots & M_{1n}^{-1}\\ M_{21}^{-1}& M_{22}^{-1}& & M_{2n}^{-1}\\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ M_{m1}^{-1}& M_{m2}^{-1}& \cdots & M_{mn}^{-1}\end{array}\right)$

두 대칭 행렬의 아다마르 곱은 대칭 행렬이다. 두 복소수 에르미트 행렬의 아다마르 곱은 에르미트 행렬이다.

슈어-오펜하임 부등식

임의의 두 양의 준정부호 에르미트 행렬

$M,N\in \mathrm{Mat}(n,n;ℂ)$

$M=M^{*}$

$N=N^{*}$

$v^{*}Mv\ge 0\mathrm{\forall }v\in {ℂ}^n$

$v^{*}Nv\ge 0\mathrm{\forall }v\in {ℂ}^n$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 슈어-오펜하임 부등식(Schur-Oppenheim不等式, 틀:Llang)에 따르면, 다음이 성립한다.

• $M◯N$은 역시 양의 준정부호 에르미트 행렬이다.
• $\det (M◯N)\ge \left(\prod _{i=1}^n\prod _{j=1}^n{M}_{ij}\right)\det N\ge \det (MN)$

역사

“아다마르 곱”이라는 용어는 자크 아다마르의 이름을 딴 것이다.

슈어-오펜하임 부등식의 경우, 이사이 슈어가 1911년에 $\det (M◯N)\ge \det (MN)$을 증명하였으며,틀:Rp 알렉산더 오펜하임(틀:Llang, 1903~1997)이 1930년에 이를 개량하였다.

같이 보기

• 크로네커 곱

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:웹 인용