외적

선형대수학에서 외적(外積, 틀:Lang)이란 벡터의 텐서곱을 일컫는 말이다. 예를 들어, 열벡터로 표현되는 두 벡터를 외적하게 되면 행렬을 얻게 된다. 이 이름은 내적의 반대말에서 나왔는데, 두 벡터를 내적하면 스칼라를 얻지만, 외적하면 스칼라가 나오지 않기 때문이다.

정의

행렬에서의 정의

두 벡터의 외적 $𝐮\otimes 𝐯$은 $𝐮{𝐯}^T$와 같이 두 벡터를 곱하는 것을 말한다. 여기서, $𝐮$은 실수공간 ${𝐑}^m$에서 정의되는 $m\times 1$ 열벡터, $𝐯$는 ${𝐑}^n$에서 정의되는 $n\times 1$ 열벡터를 말한다. 예를 들어, $m=4$, $n=3$인 경우 .

$𝐮\otimes 𝐯=𝐮{𝐯}^T=\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ u_3\\ u_4\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{v}_1& v_2& v_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{u}_1{v}_1& u_1{v}_2& u_1{v}_3\\ u_2{v}_1& u_2{v}_2& u_2{v}_3\\ u_3{v}_1& u_3{v}_2& u_3{v}_3\\ u_4{v}_1& u_4{v}_2& u_4{v}_3\end{array}\right]$

와 같이 외적을 쓸 수 있다.

좀 더 복잡한 복소수공간 ${𝐂}^m$과 ${𝐂}^n$에서 정의되는 벡터의 경우, 외적은 전치연산 ${𝐯}^T$ 대신에 복소켤레전치 ${𝐯}^{†}$를 사용해

$𝐮\otimes 𝐯=𝐮{𝐯}^{†}$

로 정의된다.

내적과의 비교

만약 $m=n$이면 아래와 같이 전치의 순서를 바꾸어 두 열벡터를 곱할 수 있다.

$⟨𝐮,𝐯⟩={𝐯}^{†}𝐮$

이 연산의 경우 외적과 달리 스칼라($1\times 1$ 행렬)이 결과로 나오게 된다. 이 연산은 유클리드 공간의 내적으로 알려져 있고, 점곱이라 하기도 한다.

추상적 정의

주어진 벡터 $v\in V$와 코벡터 $w^{*}\in W^{*}$의 텐서곱 $v\otimes w^{*}$은 동형사상 $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(W,V)=W^{*}\otimes V$하의 사상 $A:W\to V$을 준다.

구체적으로, 외적은 주어진 $w\in W$에 대해

$A(w)=w^{*}(w)v$

로 정의된다. 여기서 $h>w$로 계산된 $w^{*}$로 $v$와 곱하면 스칼라를 주게 된다.

다시말하면, 외적은 $w^{*}:W\to K$ 와 $v:K\to V$ 의 합성이다.

내적과의 비교

만약 $W=V$이면, 코벡터 $w^{*}\in V^{*}$와 벡터 $v\in V$를 $V$와 $V$의 쌍대의 쌍대연산 $(w^{*},v)\mapsto w^{*}(v)$를 통해 곱할 수 있다. 때로 이 연산은 내적이라 불리기도 한다.

같이 보기

• 하우스홀더 변환
• 노름