크로네커 곱

틀:위키데이터 속성 추적 선형대수학에서 크로네커 곱(틀:Llang)은 두 행렬의 텐서곱을 구체적으로 표현하는 행렬이다. m×n 행렬과 p×q 행렬의 크로네커 곱은 크기 mp×nq의 더 큰 행렬이다.

정의

환 $R$ 위의 $m \times n$ 행렬 $M$ 과 $p \times q$ 행렬 $N$ 이 주어졌다고 하자.

M = (\begin{matrix} M_{11} & \dots & M_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ M_{m 1} & \dots & M_{m n} \end{matrix}) \in Mat (m, n; R)

N = (\begin{matrix} N_{11} & \dots & N_{1 q} \\ ⋮ & ⋮ \\ N_{p 1} & \dots & N_{p q} \end{matrix}) \in Mat (p, q; R)

그렇다면, $M$ 과 $N$ 의 크로네커 곱

M \otimes N \in Mat (m p, n q; R)

은 다음과 같은 성분을 갖는 $m p \times n q$ 행렬이다.

M \otimes N = (\begin{matrix} M_{11} N & \dots & M_{1 n} N \\ ⋮ & ⋮ \\ M_{m 1} N & \dots & M_{m n} N \end{matrix})

즉,

(M \otimes N)_{(a - 1) p + i, (b - 1) q + j} = M_{a b} N_{i j}

이다.

임의의 환 $R$ 계수의 행렬들의 크로네커 곱은 다음을 만족시킨다.

1_{1 \times 1} \otimes A = A \otimes 1_{1 \times 1} = A

A \otimes (B + C) = A \otimes B + A \otimes C

(A + B) \otimes C = A \otimes C + B \otimes C

(A \otimes B) \otimes C = A \otimes (B \otimes C)

(A \otimes B)^{⊤} = A^{⊤} \otimes B^{⊤}

만약 $R$ 가 추가로 가환환일 때, 행렬식을 정의할 수 있으며, 다음이 성립한다.

\det (A \otimes B) = (\det A)^{n} (\det B)^{m} (A \in Mat (m, m; R), B \in Mat (n, n; R)

(A \otimes B) (C \otimes D) = (A C) \otimes (B D) (A \in Mat (m, n; R), B \in Mat (m^{'}, n^{'}; R), C \in Mat (n, p; R), D \in Mat (n^{'}, p^{'}; R))

레오폴트 크로네커(1823~1891)의 이름을 땄다. 그러나 이름과 달리 요한 게오르크 체푸스(틀:Llang, 1832~1901)가 1858년에 최초로 사용하였다.^[1]^[2]