단체 집합

틀:위키데이터 속성 추적 호모토피 이론에서 단체 집합(單體集合, 틀:Llang)은 위상 공간의 조합론적인 표현의 일종이다. 위상 공간이나 단체 복합체 등과 달리, 단체 집합의 범주는 토포스를 이루므로, 그 속에서 호모토피 이론을 전개하기가 용이하다.

정의

단체 집합은 집합과 함수의 범주 $\mathrm{Set}$ 속의 단체 대상, 즉 함자

$X_{\bullet }:{\mathrm{△}}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Set}$

이다. 마찬가지로, 첨가 단체 집합(添加單體集合, 틀:Llang)은 $\mathrm{Set}$ 속의 첨가 단체 대상, 즉 함자

$X_{\bullet }:\underset{+}{\overset{\mathrm{op}}{\mathrm{△}}}\to \mathrm{Set}$

이다.

여기서 $\mathrm{△}$은 단체 범주이며, ${\mathrm{△}}_{+}$는 첨가 단체 범주이다.

다시 말해, $X_{-1}=S$인 첨가 단체 집합 $X_{\bullet }$은 조각 범주 $\mathrm{Set}/S$ 위의 단체 대상과 같다.

연산

범주론적 연산

단체 집합의 범주는 토포스이므로, 이 속에서 정의되는 모든 연산을 취할 수 있다. 특히, 곱 · 쌍대곱 · 밂 등이 모두 존재한다.

단체 집합의 범주에서, 시작 대상은 공집합

${\varnothing }_{\bullet }:{\mathrm{△}}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Set}$

${\varnothing }_{\bullet }:n\mapsto \varnothing \mathrm{\forall }n\in \mathrm{△}$

이며, 끝 대상은 한원소 공간

$1_{\bullet }:{\mathrm{△}}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Set}$

$1_{\bullet }:n\mapsto \{\bullet \}\mathrm{\forall }n\in \mathrm{△}$

이다. (여기서 $\{\bullet \}$은 한원소 집합이다.) 즉, 이는 각 차원에서 하나의 단체만을 가지며, 모든 단체가 퇴화 단체인 단체 집합이다.

기하학적 실현과 특이 단체

단체 집합의 범주 $\mathrm{s}(\mathrm{Set})$와 위상 공간의 범주 $\mathrm{Top}$ 사이에 다음과 같은 두 개의 함자들이 존재하며, 이들은 수반 함자를 이룬다.

$\mathrm{s}(\mathrm{Set})\stackrel{S}{\leftrightarrows |\cdot |}\mathrm{Top}$

$|\cdot |⊣\mathrm{Sing}$

여기서 $\mathrm{Sing}$을 특이 단체 함자(特異單體函子, 틀:Llang), $|\cdot |$을 기하학적 실현 함자(幾何學的實現函子, 틀:Llang)라고 한다.

특이 단체

틀:본문 위상 공간 $Y$가 주어졌을 때, 이에 대응하는 특이 단체 집합(틀:Llang) $\mathrm{Sing}(Y)$는 다음과 같다.

$\mathrm{Sing}(Y{)}_n={\mathrm{hom}}_{\mathrm{top}}({\mathrm{△}}^n,Y)$

여기서 ${\mathrm{△}}^n$은 $n$차원 단체이다. 즉, 함자 $\mathrm{Sing}(Y)$의 $n$차 성분은 $Y$의 $n$차원 특이 단체들의 집합이다. 이는 특이 호몰로지에서 사용되는 특이 단체와 같다.

기하학적 실현

단체 집합 $X$에 대응하는 기하학적 실현 $|X|$는 다음과 같은 위상 공간이다.

$|X|=(\underset{n}{⨆}{X}_n\times {\mathrm{△}}^n)/\sim$

여기서 ${\mathrm{△}}^n$은 $n$차원 표준 단체이며, $\sim$은

$(x,S_i(p))\sim (s_i(x),p)\mathrm{\forall }p\in {\mathrm{△}}^n$

$(x,D_i(p))\sim (d_i(x),p)\mathrm{\forall }p\in {\mathrm{△}}^n$

로부터 생성되는 동치 관계이다. 여기서

$d_i:\{0,1,\dots ,n-1\}\to \{0,1,\dots ,n\}$

는 상이 $\{0,1,\dots ,n\}\setminus \{i\}$인 유일한 증가 단사 함수이며,

$s_i:\{0,1,\dots ,n\}\to \{0,1,\dots ,n-1\}$

는 $i\in \{0,1,\dots ,n\}$를 제외하고는 단사 함수인 유일한 증가 전사 함수이다. $D_i:{\mathrm{△}}^n\to {\mathrm{△}}^{n+1}$ 및 $S_i:{\mathrm{△}}^n\to {\mathrm{△}}^{n-1}$는 이와 유사하지만, 표준 단체에 작용하는 연속 함수들이다.

단체 호몰로지

단체 집합 $X_{\bullet }$이 주어졌을 때, 각 차수에 대하여 자유 아벨 군을 취하자.

$C_n={\mathbb{Z}}^{\oplus X_n}$

그렇다면, 이 위에 ${\partial }_{n,i}$ 및 $s_{n,i}$를 선형으로 연장할 수 있다. 그렇다면, $C_n$은 단체 아벨 군을 이룬다. 그 표준 사슬 복합체

${\partial }_n:C_n\to C_{n-1}$

${\partial }_n=\sum _{i=0}^n{\partial }_{n,i}$

의 호몰로지를 단체 집합 $X$의 단체 호몰로지(單體homology, 틀:Llang)라고 한다. 이는 그 기하학적 실현의 특이 호몰로지와 같다. (단체 호몰로지의 계산에서, 퇴화 사상은 사용되지 않는다.)

유리수 계수 다항식 미분 형식

표준 단체

${\mathrm{△}}^n=\{\overrightarrow{t}\in {ℝ}^{n+1}:\sum _{i=0}^n{t}_i=1\}$

위의 유리수 계수 다항식 미분 형식(틀:Llang)은 다음과 같은 꼴의 항들의 (유한, 유리수 계수) 선형 결합이다.

${\varphi }_{i_0,i_1,\dots ,i_n}\mathrm{d}{t}_{i_0}\wedge \mathrm{d}{t}_{i_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{t}_{i_n}({\varphi }_{i_0,i_1,\dots ,i_n}\in \mathbb{Q}[t_0,\dots ,t_n],i_0<i_1<\cdots <i_n)$

이들의 유리수 벡터 공간을 ${\mathrm{\Omega }}_{\text{PL}}(n)$으로 표기하자. 이는 외미분 및 쐐기곱을 통해 자연수 등급 가환 미분 등급 대수를 이룬다.

이제, 함자

${\mathrm{\Omega }}_{\text{PL}}:\mathrm{△}\to {\mathrm{CDGA}}_{\ge 0}^{\mathrm{op}}$

를 다음과 같이 정의할 수 있다.

• ${\mathrm{\Omega }}_{\text{PL}}:n\mapsto {\mathrm{\Omega }}_{\text{PL}}(n)$
• 임의의 증가 함수 $f:\{0,1,\dots ,m\}\to \{0,1,\dots ,n\}$에 대하여,

  ${\mathrm{\Omega }}_{\text{PL}}(f):t_i\mapsto \sum _{j\in f^{-1}(i)}{t}_j$

  ${\mathrm{\Omega }}_{\text{PL}}(f):\mathrm{d}{t}_i\mapsto \sum _{j\in f^{-1}(i)}\mathrm{d}{t}_j$

그렇다면, 이 함자의 왼쪽 칸 확대를 통해 함자

${\mathrm{\Omega }}_{\text{PL}}:\mathrm{s}(\mathrm{Set})\to {\mathrm{CDGA}}_{\ge 0}^{\mathrm{op}}$

를 얻을 수 있다. 이를 단체 집합 위의 유리수 계수 다항식 미분 형식들의 유리수 계수 자연수 등급 가환 미분 등급 대수라고 한다.

이는 오른쪽 수반 함자

$R:{\mathrm{CDGA}}_{\ge 0}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{s}(\mathrm{Set})$

를 가지며, 이는 퀼런 수반 함자

${\mathrm{\Omega }}_{\text{PL}}⊣R$

를 이룬다.틀:Rp

성질

범주론적 성질

단체 집합의 범주 $\mathrm{s}(\mathrm{Set})$는 집합 값을 갖는 준층의 범주이므로, 그로텐디크 토포스를 이룬다. 특히, 이는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며 데카르트 닫힌 범주이다.

위상수학적 성질

기하학적 실현 함자 $|\cdot |:\mathrm{s}(\mathrm{Set})\to \mathrm{Top}$는 오른쪽 수반 함자를 가지므로 쌍대 극한을 보존하지만 유한 극한은 보존하지 않는다. 이때, 기하학적 실현 함자의 공역을 콤팩트 생성 하우스도르프 공간의 범주 $\mathrm{CGHaus}$ 따위의 범주로 바꾸면 이 함자는 유한 극한을 보존하게 된다.틀:Rp

또한, 단체 집합 $X$의 기하학적 실현 $|X|$는 언제나 CW 복합체이며, 특히 하우스도르프 공간이다.틀:Rp

모형 범주 구조

단체 집합의 범주 $\mathrm{s}(\mathrm{Set})$는 표준적으로 모형 범주의 구조를 갖는다.

• 약한 호모토피 동치는 그 기하학적 실현들에 대한 약한 호모토피 동치와 같다.
• 올뭉치는 칸 올뭉치(Kan올뭉치, 틀:Llang)이다.
• 올대상은 칸 복합체(Kan複合體, 틀:Llang)이다.

칸 올뭉치

단체 집합 $E$, $B$ 사이의 사상 $\pi :E\to B$가 다음 조건을 만족시킨다면, 칸 올뭉치(틀:Llang)라고 한다.

임의의 단체 ${\mathrm{△}}^n$의 뿔 $\iota :\underset{k}{\overset{n}{\wedge }}\hookrightarrow {\mathrm{△}}^n$ 및 사상 ${\tilde{f}}_0:\underset{k}{\overset{n}{\wedge }}\to X$ 및 $f:{\mathrm{△}}^n\to B$에 대하여, 만약 $f\circ \iota =\pi \circ {\tilde{f}}_0$라면, $\tilde{f}\circ \iota ={\tilde{f}}_0$이고 $\pi \circ \tilde{f}=f$인 $\tilde{f}:{\mathrm{△}}^n\to E$가 존재한다. 즉, 다음 그림과 같다.

$\begin{array}{ccc}\underset{k}{\overset{n}{\wedge }}& \stackrel{{\tilde{f}}_0}{\to }& E\\ \iota \downarrow & \nearrow \mathrm{\exists }\tilde{f}& \downarrow \pi \\ {\mathrm{△}}^n& \underset{f}{\overset{}{\to }}& B\end{array}$

이는 (위상 공간의) 올뭉치의 정의와 매우 유사하다. 칸 올뭉치의 기하학적 실현은 항상 세르 올뭉치를 이룬다.

$\bullet$이 하나의 점만을 갖는 단체 집합일 경우, 칸 복합체(Kan複合體, 틀:Llang)는 $\bullet$으로 가는 유일한 사상이 칸 올뭉치를 이루는 단체 집합이다.

예

표준 단체와 뿔

자연수 $n\in \mathbb{N}$에 대하여, 단체 집합의 범주에서 표준 $n$차원 단체(틀:Llang) ${\mathrm{△}}^n$는 ${\mathrm{hom}}_{\mathrm{△}}(-,{\mathrm{\Delta }}_n)$로 정의되며, 요네다 보조정리에 의해

${\mathrm{hom}}_{\mathrm{s}(\mathrm{Set})}({\mathrm{△}}^n,Y)\cong Y(n)$

가 성립한다.

표준 $n$차원 단체 ${\mathrm{△}}^n$가 주어졌을 때, $k\in \{0,\dots ,n\}$에 대하여, $\underset{k}{\overset{n}{\wedge }}$가 $\partial {\mathrm{△}}^n$에서 $k$번째 면들을 제거한 $n-1$차원 단체라고 하자. 이러한 단체 집합을 뿔(틀:Llang)이라고 한다.

구체적 범주 속의 단체 대상

만약 $𝒞\to \mathrm{Set}$가 구체적 범주일 경우, $𝒞$ 속의 모든 단체 대상은 망각 함자를 통해 단체 집합을 이룬다.

단체 복합체

틀:본문 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• (추상적) 단체 복합체 $({\mathrm{\Sigma }}_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$. 여기서 ${\mathrm{\Sigma }}_0$은 꼭짓점들의 집합이며, ${\mathrm{\Sigma }}_i\subseteq 𝒫({\mathrm{\Sigma }}_0)$는 $i+1$개의 서로 다른 꼭짓점들의 집합이다.
• 꼭짓점 집합 ${\mathrm{\Sigma }}_0$ 위의 전순서 $\le$

그렇다면, 다음을 정의하자.

• 양의 정수 $n\in \mathbb{N}$에 대하여, 집합 ${\mathrm{\Delta }}_n$의 원소 $M$은 ${\mathrm{\Sigma }}_0$의 원소들로 구성된, 크기 $n+1$의 중복집합 $M$ 가운데, 중복 원소를 제거한 집합 $|M|$이 ${⨆}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\Sigma }}_n$에 속하는 것이다.
• 꼭짓점 중복집합 $M\in {\mathrm{\Delta }}_n$이 주어졌다고 하자. $M$에서, $i+1$번째로 작은 원소를 $m_i\in {\mathrm{\Sigma }}_0$라고 하자 ($0\le i\le n$). 그렇다면, $\underset{n}{\overset{i}{\partial }}(M)$ 및 $s_n^i(M)$을 다음과 같이 정의하자.
  • $\underset{n}{\overset{i}{\partial }}(M)=M\setminus \{m_i\}\in {\mathrm{\Delta }}_{n-1}$
  • $s_n^i(M)=M\bigsqcup \{m_i\}\in {\mathrm{\Delta }}_{n+1}$

그렇다면, $({\mathrm{\Delta }}_n,\underset{n}{\overset{i}{\partial }},s_n^i{)}_{n,i}$는 단체 집합을 이루며, 그 기하학적 실현은 원래 단체 복합체 $({\mathrm{\Sigma }}_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$의 기하학적 실현과 위상 동형이다. 위 구성에서 꼭짓점 집합의 전순서를 (임의로) 고른 이유는 단체 집합은 단체 복합체와 달리, 각 단체의 꼭짓점들의 순서를 기억하기 때문이다. 물론, 기하학적 실현은 이 전순서에 의존하지 않는다.

신경

틀:본문 작은 범주 $𝒞$가 주어졌을 때, 이에 대응하는 표준적인 단체 집합 $\mathrm{nerve}𝒞$가 존재하며, 이를 $𝒞$의 신경이라고 한다. 신경은 2-범주의 함자

$\mathrm{nerve}:\mathrm{Cat}\to \mathrm{sSet}$

를 정의한다.

역사

단체 집합은 특이 코호몰로지 등을 정의하기 위하여 오랫동안 알려져 있었으나, 대니얼 퀼런이 이를 사용하여 대수적 K이론을 정의하면서 그 중요함이 알려졌다. 칸 올뭉치는 다니얼 칸이 도입하였다.

같이 보기

• 정규화 사슬 복합체

외부 링크

• 틀:Eom
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