준층

틀:위키데이터 속성 추적 범주론에서, 범주에 대한 준층 $C$는 함자 $F:C^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\to 𝐒𝐞𝐭$이다. $C$가 위상 공간에서 열린 집합들의 부분 순서 집합이고 범주로 해석되면, 위상 공간에서 일반적인 준층 개념을 의미한다.

준층들의 사상은 함자의 자연 변환으로 정의된다. 이렇게 하면 $C$ 위에서 범주로 가는 모든 준층들의 모임이 만들어지며, 이는 함자 범주의 예이다. 기호로 $\hat{C}={𝐒𝐞𝐭}^{C^{\mathrm{o}\mathrm{p}}}$로 나타낸다.

C의 일부 대상 A에 대해 반변형 hom-함자 Hom(–, A )과 자연 동형 인 준층을 표현 가능한 준층이라고 한다.

일부 저자는 함자 $F:C^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\to 𝐕$를 $𝐕$ - 값 준층으로 정의한다.

예

• 단체 집합은 단체 범주 $C=\mathrm{\Delta }$의 집합 값 준층이다.

성질

• $C$가 작은 범주일 때, 함자 범주 $\hat{C}={𝐒𝐞𝐭}^{C^{\mathrm{o}\mathrm{p}}}$는 데카르드 닫힌 범주이다.
• $P$의 부분 대상의 부분 순서 집합은 $P$가 작은 $C$에 대해 $\hat{C}={𝐒𝐞𝐭}^{C^{\mathrm{o}\mathrm{p}}}$의 대상일 때 헤이팅 대수를 형성한다.
• $\hat{C}$의 모든 사상 $f:X\to Y$에 대해, 부분 대상의 당김 함수 $f^{*}:{\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}}_{\hat{C}}(Y)\to {\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{b}}_{\hat{C}}(X)$는 ${\mathrm{\forall }}_f$로 나타내는 오른쪽 수반 함자와 왼쪽 수반 함자 ${\mathrm{\exists }}_f$를 가진다. 이들은 보편적이고 실존적인 양화사이다.
• 국소적으로 작은 범주 $C$는 $C$의 모든 대상 $A$를 hom 함자 $C(-,A)$와 연결짓는 요네다 매장을 통해 집합 값 준층 $\hat{C}$ 범주에 충만하고 충실하게 매장된다.
• 범주 $\hat{C}$는 작은 극한과 작은 여극한을 인정한다. 자세한 내용은 준층의 극한 및 여극한 참조.
• 조밀성 정리는 모든 준층이 표현 가능한 준층의 여극한임을 나타낸다. 사실, $\hat{C}$는 $C$의 여극한 완비이다. (아래의 보편 성질 참조.)

보편 성질

$C\mapsto \hat{C}=𝐅𝐜𝐭(C^{\text{op}},𝐒𝐞𝐭)$ 구성은 다음 보편 성질 때문에 C의 여극한 완비라고 한다.  명제

$C,D$가 범주들이고 $D$가 작은 여극한들을 허용한다고 하자. 그러면, 각 함자 $\eta :C\to D$는

$C\stackrel{y}{⟶}\hat{C}\stackrel{\tilde{\eta }}{⟶}D$

로 함자화 된다. 여기서 $y$는 요네다 매장이고 $\tilde{\eta }:\hat{C}\to D$은, 동형 사상에 대해 유일한, $\eta$의 요네다 확장으로 불리는 여극한 보존 함자이다.

증명 : 조밀성 정리에 의해 준층 $F$가 주어지면 $F=\underrightarrow{\lim }y{U}_i$이다. 여기서 $U_i$는 C의 대상이다. 그러면 $\tilde{\eta }F=\underrightarrow{\lim }\eta U_i$이라 하자. 이는 가정에 의해 존재한다. $\underrightarrow{\lim }-$는 함자성을 가지므로 함자 $\tilde{\eta }:\hat{C}\to D$를 결정한다. 간결하게, $\tilde{\eta }$은 $y$를 따른 $\eta$의 왼쪽 칸 확대이다. $\tilde{\eta }$가 작은 여극한들과 가환임을 보이기 위해, $\tilde{\eta }$ 일부 함자에 대해 왼쪽 인접임을 보이자. $\mathscr{H}om(\eta ,-):D\to \hat{C}$를 $D$의 각 대상 $M$과 $C$의 각 대상 $U$에 대해

$\mathscr{H}om(\eta ,M)(U)={\mathrm{Hom}}_D(\eta U,M).$

로 주어진 함자로 정의하자. 그러면, $D$의 각 대상 $M$에 대해 $\mathscr{H}om(\eta ,M)(U_i)=\mathrm{Hom}(y{U}_i,\mathscr{H}om(\eta ,M))$ 이므로, 요네다 보조정리에 의해 다음을 얻는다:

$\begin{array}{cc}{\mathrm{Hom}}_D(\tilde{\eta }F,M)& ={\mathrm{Hom}}_D(\underrightarrow{\lim }\eta U_i,M)=\underleftarrow{\lim }{\mathrm{Hom}}_D(\eta U_i,M)=\underleftarrow{\lim }\mathscr{H}om(\eta ,M)(U_i)\\ & ={\mathrm{Hom}}_{\hat{C}}(F,\mathscr{H}om(\eta ,M))\end{array}$

말하자면 $\tilde{\eta }$는 $\mathscr{H}om(\eta ,-)$에 왼쪽 인접이다. $◻$

이 명제는 몇 가지 따름 정리들을 산출한다. 예를 들어, 이 명제는 $C\mapsto \hat{C}$ 구성은 함자적이다: 즉, 각 함자 $C\to D$는 함자 $\hat{C}\to \hat{D}$를 결정한다.

변형들

$\mathrm{\infty }$-범주 $C$위의 공간들의 준층은 $C$에서 공간 $\mathrm{\infty }$-범주로 가는 반공변 함자이다(예: CW-복합체 범주의 신경) 이는 "집합"이 "공간"으로 대체된 집합 준층의 범주 버전이다. 이 개념은 무엇보다도 다음과 같이 말하는 요네다 보조정리의 ∞ 범주 공식화에 사용된다. :$C\to PShv(C)$는 완전히 충실하다.(여기서 $C$는 단체 집합일 수 있다.)

같이 보기

• 토포스
• 원소들의 범주
• 단체 준층 (이 개념은 "집합"을 "단체 집합"으로 대체하여 얻음)
• 전송이 포함된 준층

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

추가 자료

• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• Daniel Dugger, Sheaves and Homotopy Theory, the pdf file provided by nlab.