특이 호몰로지

틀:위키데이터 속성 추적 대수적 위상수학에서 특이 호몰로지(特異homology, 틀:Llang)는 단체를 사용하여 정의하는 호몰로지 이론이다.

정의

$X$가 위상 공간이며, $R$가 (1을 갖는) 환이라고 하자. 그렇다면, $X$의, $R$ 계수의 특이 호몰로지는 다음과 같이 정의된다.

사슬

$n$차원 표준 단체(標準單體, 틀:Llang) ${\mathrm{\Delta }}^n\subset {ℝ}^{n+1}$은 다음과 같다.

${\mathrm{\Delta }}^n=\{(x_0,x_1,\dots ,x_n)|0\le x_i\le 1,\sum _i{x}_i=1\}$.

이는 선분과 삼각형, 사면체를 일반화한 것이다.

$X$ 위의 $n$차원 특이 단체(特異單體, 틀:Llang)는 연속 함수

${\sigma }_n:{\mathrm{\Delta }}^n\to X$

를 뜻한다. $X$ 위의, $R$ 계수의 $n$차원 사슬(틀:Llang)은 모든 $n$차원 특이 단체로 의하여 생성되는, $R$ 위의 왼쪽 자유 가군의 원소다. 이 자유 가군을 $C_n(X;R)$라고 쓰자. (만약 $R=\mathbb{Z}$일 경우, 이는 자유 아벨 군이 된다.)

경계

표준 단체 ${\mathrm{\Delta }}^n$의 꼭짓점들을 $p_1,\dots ,p_n$이라고 하자. 표준 단체 ${\mathrm{\Delta }}^n$의 경계는 그 면들로 이루어져 있는데, 이들은 $n+1$개의 꼭짓점 가운데 하나씩을 제외하여 나열할 수 있다. 예를 들어

$[p_0,p_2,\dots ,p_{k-1},p_{k+1},\dots ,p_n]$

의 꼴이다. 이를 편의상

$[p_0,p_1,\dots ,p_{k-1},{\hat{p}}_k,p_{k+1},\dots ,p_n]$

로 쓰자.

$n$차원 특이 단체 ${\sigma }_n:{\mathrm{\Delta }}^n\to X$의 경계(境界, 틀:Llang) ${\partial }_n{\sigma }_n\in C_{n-1}(X;R)$는 다음과 같다.

${\partial }_n{\sigma }_n=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k\sigma {|}_{[p_0,\dots ,{\hat{p}}_k,\dots ,p_n]}$.

경계 연산자 ${\partial }_n$는 특이 단체뿐만 아니라 일반적인 사슬에 대해서도 선형으로 자연스럽게 확장할 수 있다. 즉 ${\partial }_n:C_n\to C_{n-1}$이다. 이는 $R$ 위의 가군의 가군 준동형을 이룬다. 또한, ${\partial }_{n-1}\circ {\partial }_n:C_n(X)\to C_{n-2}(X)$는 항상 0이다. 따라서 $(C_{\bullet }(X),{\partial }_{\bullet })$은 사슬 복합체를 이룬다. 이 사슬 복합체를 이용하여 정의한 호몰로지

${\mathrm{H}}_n(X)=\ker {\partial }_n/\mathrm{im}{\partial }_{n+1}$

들을 특이 호몰로지라고 한다. 이는 $R$ 위의 왼쪽 가군을 이룬다. (사슬 가군은 자유 가군이지만, 호몰로지는 일반적으로 자유 가군이 아니다.)

특이 코호몰로지

$X$ 위의 공사슬(共-, 틀:Llang)은 가군 준동형 ${\varphi }^n:C_n(X;R)\to R$이다. 공사슬의 집합은 아벨 군을 이루며, $C^n(X;R)=\mathrm{hom}(C_n(X;R),R)$으로 쓴다. 공사슬의 공경계(共境界, 틀:Llang) ${\delta }_n:C^n(X;R)\to C^{n+1}(X;R)$은 다음과 같다.

${\delta }_n({\varphi }^n)({\sigma }_{n+1})={\varphi }^n({\partial }_{n+1}{\sigma }_{n+1})$.

$(C^{\bullet }(X;R),{\delta }_{\bullet })$은 공사슬 복합체를 이룬다. 이 복합체를 이용하여 정의한 코호몰로지

${\mathrm{H}}^n(X)=\ker {\delta }_n/\mathrm{im}{\delta }_{n-1}$

들을 특이 코호몰로지(틀:Llang)라고 한다.

성질

$K$가 체라면, 보편 계수 정리에 따라서 특이 코호몰로지는 특이 호몰로지의 대수적 쌍대 공간이다.

${\mathrm{H}}^{\bullet }(X;K)={\mathrm{H}}_{\bullet }(X;K{)}^{*}={\mathrm{hom}}_{K\text{-Vect}}({\mathrm{H}}_{\bullet }(X;K),K)$

그러나 이는 (정수환을 포함한) 일반적인 환에 대하여 성립하지 않는다. 즉, 특이 코호몰로지는 사슬을 쌍대화한 뒤 호몰로지를 취한 것이지, 호몰로지를 취한 뒤 쌍대화한 것이 아니다.

예

초구

$n$차원 초구 $S^n$의 특이 호몰로지와 특이 코호몰로지는 다음과 같다.

${\mathrm{H}}_k(S^n;R)=\{\begin{array}{cc}R& k\in \{0,n\}\\ 0& k\in ̸\{0,n\}\end{array}(n>0)$

${\mathrm{H}}^k(S^n;R)=\{\begin{array}{cc}R& k\in \{0,n\}\\ 0& k\in ̸\{0,n\}\end{array}(n>0)$

${\mathrm{H}}_k(S^0;R)=\{\begin{array}{cc}{R}^2& k=0\\ 0& k\ne 0\end{array}$

${\mathrm{H}}^k(S^0;R)=\{\begin{array}{cc}{R}^2& k=0\\ 0& k\ne 0\end{array}$

사영 공간

복소수 사영 공간 $ℂP^n$의 특이 호몰로지는 다음과 같다.

${\mathrm{H}}_k(ℂP^n;R)=\{\begin{array}{cc}R& 2\mid q\le 2n\\ 0& q\nmid q\vee q>2n\end{array}$

${\mathrm{H}}^k(ℂP^n;R)=\{\begin{array}{cc}R& 2\mid q\le 2n\\ 0& q\nmid q\vee q>2n\end{array}$

실수 사영 공간의 특이 호몰로지는 다음과 같다.

${\mathrm{H}}_k(ℝP^n;\mathbb{Z})=\{\begin{array}{cc}\mathbb{Z}& k=0\vee 2\nmid i=n\\ \mathbb{Z}/(2)& 0<k<n,2\nmid k\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$

${\mathrm{H}}_k(ℝP^n;{𝔽}_2)=\{\begin{array}{cc}{𝔽}_2& k\le n\\ 0& k\ge n\end{array}$

${\mathrm{H}}_k(ℝP^n;K)=\{\begin{array}{cc}K& k=0\vee 2\nmid i=n\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$

여기서 $K$는 표수가 2가 아닌 임의의 체이다.

원환면

$n$차원 원환면 $T^n$의 특이 호몰로지 군은 다음과 같다.

${\mathrm{H}}_k(T^n;\mathbb{Z})={\mathbb{Z}}^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}$.

여기서 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$는 이항계수로, $k>n$인 경우 0으로 정의한다.

같이 보기

• 단체 집합
• 세포 호몰로지
• 단체 호몰로지
• 체흐 코호몰로지

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab