토포스

틀:위키데이터 속성 추적 범주론, 논리학과 대수기하학에서 토포스(틀:Llang, 복수형 틀:Llang)는 어떤 공간 위의 층들의 범주와 유사한 성질을 갖는 범주이다. 토포스는 대수기하학에서는 위상 공간의 개념의 일반화로서 등장하며, 반면 논리학에서는 토포스는 집합의 범주의 일반화로서 등장한다. 이러한 다른 토포스에서도 집합의 범주와 유사한 내부 언어(틀:Llang)를 사용할 수 있다.

정의

토포스(틀:Llang)는 다음 조건들을 만족시키는 범주이다.

• 유한 완비 범주이다. 즉, 모든 유한 극한이 존재한다.
• 데카르트 닫힌 범주이다.
• 부분 대상 분류자 $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\top })$를 갖는다.

부분 분류 대상 분류자 대신, 멱대상(틀:Llang)의 개념을 도입하여 둘째 및 셋째 조건을 "모든 대상은 멱대상을 갖는다"로 대체할 수 있다.

그로텐디크 토포스

그로텐디크 토포스(틀:Llang)는 위치 위의 (집합 값을 갖는) 층들의 범주와 동치인 범주이다. 이는 지로 정리(틀:Llang)를 사용하여 공리적으로도 정의할 수 있다. 모든 그로텐디크 토포스는 토포스임을 보일 수 있다.

구체적으로, 지로 정리에 의하면 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 범주 $𝒞$는 그로텐디크 토포스이다.
• 범주 $𝒞$는 다음 조건들을 만족시킨다.
  • $𝒞$는 유한 쌍대 완비 범주이다.
  • 생성 집합을 갖는다.
  • 쌍대 극한은 올곱과 가환한다.
  • (쌍대곱의 서로소성) 쌍대곱 $X\bigsqcup Y$에 대한 당김 $X{\times }_{X\bigsqcup Y}Y$은 시작 대상 $0\in 𝒞$과 같다.
  • 모든 동치 관계는 유효 동치 관계이다.

여기서 임의의 범주에서의 동치 관계는 다음 조건을 만족시키는 사상 $r:R\to X\times X$이다.

• 임의의 대상 $Y$에 대하여, $r$로부터 유도되는 사상 모임 사이의 사상 $r^{*}:\mathrm{hom}(Y,R)\to \mathrm{hom}(Y,X)\times \mathrm{hom}(Y,X)$은 (모임 위의) 동치 관계를 이룬다.

동치 관계에 대하여, 두 사영 사상에 대한 쌍대동등자 $X\twoheadrightarrow X/R$를 정의할 수 있다. 표준적 사상 $R\to X_{X/R}X$이 동형 사상이라면, $r$를 유효 동치 관계라고 한다.

준토포스

범주 $𝒞$가 다음 조건들을 만족시킨다면, 준토포스(準topos, 틀:Llang)라고 한다.

• 유한 완비 범주이며 유한 쌍대 완비 범주이다.
• 국소 데카르트 닫힌 범주이다.
• 강한 부분 대상 분류자 $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\top }:1\to \mathrm{\Omega })$가 존재한다.

모든 토포스는 준토포스이다. 준토포스는 토포스의 정의에서 부분 대상 분류자의 존재를 강한 부분 대상 분류자의 존재로 약화시킨 것이다.

위치 $𝒞$ 위의 층 범주 $\mathrm{Sh}(𝒞)$가 토포스를 이루는 것처럼, 위치 $𝒞$ 위의 분리 준층 범주 $\mathrm{SepPSh}(𝒞)$는 준토포스를 이룬다. 보다 일반적으로, 작은 범주 $𝒞$ 위에 두 개의 그로텐디크 위상 $j$ 및 $k$가 주어졌으며, $j$가 $k$보다 더 엉성할 때 ($j\subseteq k$), $j$-층인 $k$-분리 준층들의 범주 $\mathrm{Sh}(𝒞,j)\cap \mathrm{sepPSh}(𝒞,k)$는 준토포스를 이룬다. 이와 같이 나타낼 수 있는 준토포스를 그로텐디크 준토포스(틀:Llang)라고 한다. 그로텐디크 토포스에 대한 지로 정리와 마찬가지로, 그로텐디크 준토포스에 대해서도 지로 정리가 존재한다.

공간으로서의 토포스

토포스를 위상 공간의 일반화로 생각하여, 위상 공간 위의 여러 개념들을 토포스에 대하여 다음과 같이 정의할 수 있다.

기하학적 사상

두 토포스 $𝒳$, $𝒴$ 사이의 기하학적 사상(틀:Llang) $f:𝒳\to 𝒴$는 다음 조건을 만족시키는 수반 함자쌍

$f^{*}⊣f_{*}$

$f_{*}:𝒳\to 𝒴$

$f^{*}:𝒴\to 𝒳$

이다.

• $f^{*}$는 모든 유한 극한을 보존한다.

기하학적 사상 $(f^{*},f_{*})$에서, 만약 $f^{*}$가 추가로 왼쪽 수반 함자

$f_{!}⊣f^{*}⊣f_{*}$

를 갖는다면, 이를 본질적 기하학적 사상(틀:Llang)이라고 한다.

만약 $\mathrm{Sh}(X)$와 $\mathrm{Sh}(Y)$가 위상 공간 위의 그로텐디크 토포스이며, 연속 함수 $f:X\to Y$가 주어졌다면, 층의 직상 $f_{*}:\mathrm{Sh}(X)\to \mathrm{Sh}(Y)$ 및 역상 $f^{*}:\mathrm{Sh}(Y)\to \mathrm{Sh}(X)$은 기하학적 사상을 이룬다.

점

집합의 범주 $\mathrm{Set}$는 한원소 공간 위의 그로텐디크 토포스 $\mathrm{Sh}(\{\bullet \})$이다. 즉, 이는 한원소 토포스로 생각할 수 있다. 토포스와 기하학적 사상의 범주에서, 이는 끝 대상을 이룬다. 그로텐디크 토포스 $𝒳$에서 한원소 토포스 $\mathrm{Set}$로 가는 유일한 기하학적 사상 $(f_{!},f^{*},f_{*})$은 다음과 같이 해석할 수 있다.

• 상수층 함자(틀:Llang) $f^{*}:\mathrm{Set}\to 𝒳$는 (만약 $𝒳=\mathrm{Sh}(𝒞)$라면) 집합 $S$를 상수층 $\underset{\_}{S}$으로 대응시킨다.
• 대역 단면 함자(틀:Llang) $f_{*}:𝒳\to \mathrm{Set}$는 대상 $ℱ$를 (층으로 생각하였을 때) 대역 단면 집합 ${\mathrm{hom}}_{𝒞}(1_{𝒞},ℱ)$으로 대응시킨다. 여기서 $1_{𝒞}$는 $𝒞$의 끝 대상(="전체 집합")이다.

토포스 $𝒳$의 점(點, 틀:Llang)은 집합의 범주에서 $𝒳$로 가는 기하학적 사상 $f:\mathrm{Set}\to 𝒳$이다.

공집합이 아닌 위상 공간은 하나 이상의 점을 갖지만, 점을 갖지 않는 자명하지 않는 토포스가 존재한다.틀:Rp

국소 연결 토포스

국소적으로 작은 토포스 $𝒳$ 속의 연결 대상(틀:Llang)은 사상 집합 함자

${\mathrm{hom}}_{𝒳}(X,-):𝒳\to \mathrm{Set}$

가 모든 유한 쌍대극한을 보존시키는 대상 $X\in 𝒳$이다.

그로텐디크 토포스 $𝒳$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 그로텐디크 토포스를 국소 연결 토포스(틀:Llang)라고 한다.

• 임의의 대상 $A\in 𝒳$은 연결 대상들의 집합의 쌍대곱 $\coprod _{i\in I}{A}_i$으로 나타낼 수 있다.
• 유일한 기하학적 사상 $𝒳\to \mathrm{Set}$은 본질적 기하학적 사상이다.

국소 연결 토포스 $𝒳$에서 한원소 토포스 $\mathrm{Set}$로 가는 (유일한) 본질적 기하학적 사상 $(f_{!},f^{*},f_{*})$에서 $f_{!}$은 다음과 같이 해석할 수 있다.

• 연결 성분 함자(틀:Llang) $f_{!}:𝒳\to \mathrm{Set}$는 대상 $\coprod _{i\in I}{A}_i$을 그 연결 성분의 집합 $I$로 대응시킨다.

위상 공간 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $X$는 국소 연결 공간이다.
• $\mathrm{Sh}(X)$는 국소 연결 토포스이다.

연결 토포스

연결 토포스(틀:Llang) $𝒳$는 그 상수층 함자 $𝒳\to \mathrm{Set}$가 충실충만한 함자인 토포스이다. 국소 연결 토포스 $𝒳$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 연결 토포스이다.
• 연결 성분 함자 $𝒳\to \mathrm{Set}$는 끝 대상을 보존한다. 즉, "공간 전체" $1_{𝒳}$는 하나의 연결 성분을 갖는다.

위상 공간 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $X$는 연결 공간이다.
• $\mathrm{Sh}(X)$는 연결 토포스이다.

기본군

그로텐디크 토포스에 대하여, 기본군의 개념을 정의할 수 있다.틀:Rp 이는 위상 공간의 기본군의 사유한 완비나, 스킴의 에탈 기본군을 일반화한다.

그로텐디크 토포스 $\mathrm{Sh}(𝒳)$가 주어졌을 때, 그 속에 국소 상수층들의 부분 범주 $\mathrm{S}{\mathrm{h}}_{\mathrm{locConst}}(𝒳)\hookrightarrow \mathrm{Sh}(𝒳)$를 정의할 수 있다. 그로텐디크 토포스 $\mathrm{Sh}(𝒳)$의 밑점(틀:Llang)은 특정한 조건들을 만족시키는, 유한 집합의 범주로 가는 함자 $B:\mathrm{S}{\mathrm{h}}_{\mathrm{locConst}}(𝒳)\to \mathrm{S}\mathrm{e}{\mathrm{t}}_{\mathrm{fin}}$이다. (구체적으로, 이는 "사표현 가능 함자"(틀:Llang)이어야 한다.)

그로텐디크 토포스 $\mathrm{Sh}(𝒳)$의 밑점 $B$가 대상 $P\in \mathrm{Sh}(𝒳)$으로 표현된다고 하자. 그렇다면 그로텐디크 토포스 $\mathrm{Sh}(𝒳)$의, 밑점 $B$에서의 기본군 ${\pi }_1(\mathrm{Sh}(𝒳),B)$는 $P$의 자기 동형군 ${\mathrm{Aut}}_{\mathrm{Sh}(𝒳)}(P)$이다. 이는 항상 사유한군이며, 또한 범주의 동치

$\mathrm{S}{\mathrm{h}}_{\mathrm{locConst}}(𝒳)\simeq {\pi }_1(\mathrm{Sh}(𝒳),B){\text{-Set}}_{\mathrm{fin}}$

가 존재한다. (우변은 사유한군 ${\pi }_1(\mathrm{Sh}(𝒳),B)$의 작용을 갖는 유한군들로 구성된 범주이다.)

논리학으로서의 토포스

논리적 사상

두 토포스 $𝒳$, $𝒴$ 사이의 논리적 사상(틀:Llang) $f:𝒳\to 𝒴$는 유한 극한과 멱대상을 보존하는 함자이다.

미첼-베나부 언어

임의의 고차 논리 (유형 이론) 명제를 토포스 $𝒳$ 속에서 해석할 수 있다. 이를 $𝒳$의 미첼-베나부 언어(틀:Llang)라고 하며,틀:Rp 이 언어 가운데 참인 명제들의 집합을 $𝒳$의 내적 논리(틀:Llang)이라고 한다. 이 경우, 직관 논리의 모든 공리들이 성립하지만, 고전적 논리는 성립하지 않는다. 또한, 선택 공리(=모든 전사 사상은 분할 전사 사상) 역시 성립하지 않을 수 있다.

고전적 집합론은 집합의 토포스 $\mathrm{Set}$의 논리학이다. 일반적으로, 그로텐디크 토포스 $\mathrm{Sh}(𝒞)$의 내적 논리에서 정의한 어떤 구조 $S$는 (외적 논리에서) "$S$값의 층"에 대응한다. 예를 들어, $\mathrm{Sh}(𝒞)$ 속에서 정의한 국소환은 사실 국소환 달린 공간을 정의한다. 만약 $S$가 대수 구조 다양체를 이룬다면 이렇게 내적 논리를 사용하지 않아도 된다 (즉, $S$의 범주 $𝒮$가 주어졌을 때, $S$값의 층은 층 조건을 만족시키는 준층 ${𝒞}^{\mathrm{op}}\to 𝒮$와 같다). 그러나 $S$의 정의가 대수적이지 않을 때, "$S$값의 층"은 "층 조건을 만족시키는 준층 ${𝒞}^{\mathrm{op}}\to 𝒮$"과 다르며, 전자가 옳은 정의이다 (즉, 수학적으로 더 유용하다). 예를 들어, 국소환의 경우, 극대 아이디얼이 유일하다는 조건은 존재 기호 또는 전칭 기호를 필요로 하므로, 국소환의 개념은 대수 구조 다양체를 이루지 않는다.

유형 이론

틀:본문 토포스 $𝒳$에서, 각 대상 $X\in 𝒳$은 형(틀:Llang)을 정의한다. 명제의 형은 부분 대상 분류자 $\mathrm{\Omega }$이다. 토포스 속의 사상 $f:X\to Y$는 형 $X$를 형 $Y$로 대응시키는 변환이다. 즉, 형 $X$의 매개변수를 갖는 형 $Y$의 대상이다. 특히, 형 $X$의 매개변수 $x$를 갖는 명제 $\varphi (x)$는 사상 $X\to \mathrm{\Omega }$에 대응한다. 부분 대상 분류자의 성질에 의하여, 이는 $X$의 부분 대상 $\varphi \in \mathrm{Sub}(X)$에 대응한다.

논리	토포스
형	대상
형 사이의 변환	사상
명제의 형	부분 대상 분류자 $\mathrm{\Omega }$
(자유 변수가 없는) 명제	부분 대상 분류자의 부분 대상
형 $X$의 자유 변수 $x$를 갖는 명제 $\varphi (x)$	사상 $X\to \mathrm{\Omega }$ = $X$의 부분 대상
형 $X$의 자유 변수 $x$를 갖는 명제 $\varphi (x)$의 형	지수 대상 ${\mathrm{\Omega }}^X$

명제의 형 $\mathrm{\Omega }$ (또는 ${\mathrm{\Omega }}^X$)가 존재한다는 것은, 명제에 대하여 존재 기호 · 전칭 기호를 씌울 수 있음을 뜻한다. 즉, 토포스의 내적 논리는 고차 논리를 이룬다.

명제 논리

토포스 $𝒳$에서, 임의의 대상 $X\in 𝒳$의 부분 대상 부분 순서 집합 $\mathrm{Sub}(X)$는 헤이팅 대수를 이룬다. (주어진 부분 순서 집합 위의 헤이팅 대수는 만약 존재한다면 유일하다. 부분 대상 분류자 $\mathrm{\Omega }$의 존재에 의하여, 부분 대상 $A\in \mathrm{Sub}(X)$는 사상 $A\to \mathrm{\Omega }$와 동치이다.)

논리	헤이팅 대수
명제	$\mathrm{Sub}(X)$의 원소
참 $\mathrm{\top }$	$\mathrm{Sub}(X)$의 최대 원소 $\mathrm{\top }\in \mathrm{Sub}(X)$
거짓 $\mathrm{\perp }$	$\mathrm{Sub}(X)$의 최소 원소 $\mathrm{\perp }\in \mathrm{Sub}(X)$
논리합 $\vee$	$\mathrm{Sub}(X)$의 두 원소의 이음 (상한) $x\vee y$
논리곱 $\wedge$	$\mathrm{Sub}(X)$의 두 원소의 만남 (하한) $x\wedge y$
함의 $x⟹y$	헤이팅 대수의 함의 관계 $x⟹y$
부정 $\mathrm{\neg }x$	거짓의 함의 $x⟹\mathrm{\perp }$

1차 논리

토포스에서, 임의의 사상 $f:X\to Y$에 대하여, 이로부터 유도되는 증가 함수

$f^{*}:\mathrm{Sub}(Y)\to \mathrm{Sub}(X)$

를 생각하자. 부분 순서 집합을 작은 범주로 생각한다면, 토포스에서 이는 항상 왼쪽 수반 함자 및 오른쪽 수반 함자를 갖는다.

${\mathrm{\exists }}_f⊣f^{*}⊣{\mathrm{\forall }}_f$

이 경우, ${\mathrm{\exists }}_f$는 존재 기호, ${\mathrm{\forall }}_f$는 전칭 기호에 해당한다.

$A\subset X\to \{f(x):\mathrm{\forall }x\in X:f(x)\in A_Y\}$

논리	집합	토포스
자유 변수 $y:Y$를 갖는 명제 $\varphi (y)$ 및 함수 $f:X\to Y$가 주어졌을 때, 자유 변수 $x:X$를 갖는 명제 $\varphi (f(x))$	부분 집합 $\varphi \subseteq Y$ 및 함수 $f:X\to Y$에 대하여, $\{x\in X:{\varphi }_Y(f(x))\}$	부분 대상 $\varphi \in \mathrm{Sub}(Y)$에 대하여, $f^{*}\varphi \in \mathrm{Sub}(X)$
자유 변수 $x:X$, $y:Y$인 명제 $\varphi (x,y)$에 대하여, $\mathrm{\forall }x\in X:\varphi (x,y)$	$\{y\in Y:\mathrm{\exists }x\in X:\varphi (x,y)\}$	사영 ${\mathrm{proj}}_Y:X\times Y\to Y$에 대하여, ${\mathrm{\forall }}_{{\mathrm{proj}}_Y}\varphi$
자유 변수 $x:X$, $y:Y$인 명제 $\varphi (x,y)$에 대하여, $\mathrm{\exists }x\in X:\varphi (x,y)$	$\{y\in Y:\mathrm{\exists }x\in X:\varphi (x,y)\}$	사영 ${\mathrm{proj}}_Y:X\times Y\to Y$에 대하여, ${\mathrm{\exists }}_{{\mathrm{proj}}_Y}\varphi$

대상 $X$ 속의 부분 대상 $a,b\in \mathrm{Sub}(X)$

$a:A\hookrightarrow X$

$b:B\hookrightarrow X$

이 주어졌으며, 그 만남

$a\wedge b:A{\wedge }_{X}B\hookrightarrow X$

이 주어졌을 때, 헤이팅 대수 $\mathrm{Sub}(X)$에서의 헤이팅 함의 관계 $a⟹b$는 다음과 같이 정의된다.

$(a⟹b)={\mathrm{\forall }}_{a\wedge b}{\mathrm{\top }}_{\mathrm{Sub}(A{\wedge }_{X}B)}\in \mathrm{Sub}(X)$

여기서 ${\mathrm{\forall }}_{a\wedge b}:A{\wedge }_{X}B\to X$는 부분 대상 $a\wedge b\in \mathrm{Sub}(X)$에 대응하는 단사 사상이며, ${\mathrm{\top }}_{\mathrm{Sub}(A{\wedge }_{X}B)}\in \mathrm{Sub}(A{\wedge }_{X}B)$는 $\mathrm{Sub}(A{\wedge }_{X}B)$의 최대 원소이다.

크립키-주아얄 의미론

토포스 위의 미첼-베나부 언어에 대하여, 크립키-주아얄 의미론(틀:Llang)이라는 의미론이 존재한다.틀:Rp 이는 솔 크립키와 앙드레 주아얄이 도입하였다.

성질

토포스의 공리들로부터, 다음과 같은 추가 성질들을 유도할 수 있다.

• 유한 완비 범주이다. 즉, 모든 유한 극한이 존재한다. 특히, 유한곱 $A_1\times A_2\times \cdots \times A_n$ 및 끝 대상 $1$이 존재한다.
• 유한 쌍대 완비 범주이다. 즉, 모든 유한 쌍대 극한(colimit)이 존재한다. 특히, 유한 쌍대곱 $A_1\bigsqcup A_2\bigsqcup \cdots \bigsqcup A_n$ 및 시작 대상 $0$이 존재한다.
• 서로 비동형인 두 대상이 존재하는 토포스에서는 0과 1이 서로 동형이지 않다 (즉, 영 대상이 존재하지 않는다).
• 부분 대상 분류자 $2$가 존재한다.
• 임의의 두 대상 $A,B$에 대하여, 지수 대상 $A^B$ (함수들의 집합과 유사한 역할을 하는 대상)이 존재한다. 특히, 멱대상 $2^B$이 존재하며, 이에 대하여 모든 토포스는 데카르트 닫힌 범주를 이룬다.

그로텐디크 토포스는 토포스이며, 또한 다음과 같은 추가 성질을 가진다.

• 그로텐디크 토포스는 항상 자연수 대상(틀:Llang)을 가지며, 이는 자연수 집합을 값으로 하는 상수층 $\underset{\_}{\mathbb{N}}$이다.

예

토포스의 예는 다음을 들 수 있다.

• 집합의 범주 $\mathrm{Set}$
  • 이는 한 점으로 구성되는 공간 위의 (집합 값을 갖는) 층의 범주이므로, 그로텐디크 토포스를 이룬다.
• 유한 집합의 범주 $\mathrm{FinSet}$
  • 이는 그로텐디크 토포스가 아니다.
• 군 $G$의 작용을 갖춘 집합 및 작용에 호환되는 함수들의 범주 $G\text{-Set}$
• 작은 범주 $𝒞$에 대하여, 함자 범주 ${\mathrm{Set}}^{𝒞}$
• 작은 위치 위의 (집합 값을 갖는) 층의 범주는 그로텐디크 토포스이며, 따라서 역시 토포스이다.
• 토포스 $𝒯$의 대상 $X\in 𝒯$에 대한 조각 범주 $𝒯/X$ 또한 토포스이다.

역사

토포스의 개념은 알렉산더 그로텐디크가 대수기하학과 층 이론의 관점에서 1960년대에 도입하였다. 그로텐디크가 창안한 단어 틀:Llang (복수 틀:Llang)는 틀:Llang(장소, 복수 틀:Llang)에서 유래하였다.

프랜시스 윌리엄 로비어와 마일스 티어니(틀:Llang)는 수리논리학에 토포스의 개념을 응용하였고, 그로텐디크 토포스의 개념을 (기초적) 토포스로 일반화하였다. 지로 정리는 장 지로(틀:Llang)가 증명하였다.

각주

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• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
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외부 링크

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