수반 함자

틀:위키데이터 속성 추적 범주론에서 수반 함자(隨伴函子, 틀:Llang) 또는 딸림 함자(-函子)는 두 개의 함자가 서로 간에 가질 수 있는 일종의 밀접한 관계이다. 이는 수학의 많은 분야에서 널리 나타나는 관계이며, 범주론의 연구 대상이다.

정의

쌍대단위원과 단위원을 통한 정의

두 범주 $𝒞$, $𝒟$ 사이의 두 함자

$F:𝒞\to 𝒟$

$G:𝒟\to 𝒞$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $F$와 $G$ 사이의 수반(틀:Llang) $(ϵ,\eta )$는 다음과 같은 두 개의 자연 변환의 순서쌍이다.

$ϵ:FG\Rightarrow {\mathrm{id}}_{𝒟}$

$\eta :{\mathrm{id}}_{𝒞}\Rightarrow GF$

여기서 ${\mathrm{id}}_{𝒞}:𝒞\to 𝒞$ 및 ${\mathrm{id}}_{𝒟}:𝒟\to 𝒟$는 항등 함자이다. 이는 다음 조건을 만족시켜야만 한다.

${\mathrm{id}}_F=ϵF\circ F\eta$

${\mathrm{id}}_G=Gϵ\circ \eta G$

여기서 ${\mathrm{id}}_F:F\Rightarrow F$ 및 ${\mathrm{id}}_G:G\Rightarrow G$는 항등 자연 변환이다. 즉, 다음 두 그림이 가환하여야 한다.

$\begin{array}{ccc}F& \stackrel{F\eta }{\to }& FGF\\ & {\mathrm{id}}_F\searrow & \downarrow ϵF\\ & & F\end{array}\begin{array}{ccc}G& \stackrel{\eta G}{\to }& GFG\\ & {\mathrm{id}}_G\searrow & \downarrow Gϵ\\ & & G\end{array}$

이 경우, $F$를 $G$의 왼쪽 수반 함자(-隨伴函子, 틀:Llang)라고 하고, $G$를 $F$의 오른쪽 수반 함자(-隨伴函子, 틀:Llang)라고 하며, $ϵ$은 쌍대단위원(雙對單位元, 틀:Llang), $\eta$는 단위원(單位元, 틀:Llang)이라고 한다. 이는 기호로

$F⊣G$

또는

$F:𝒞\leftrightarrows 𝒟:G$

와 같이 쓴다.

보편 성질을 통한 정의

두 범주 $𝒞$, $𝒟$ 사이의 두 함자

$F:𝒞\to 𝒟$

$G:𝒟\to 𝒞$

사이의 수반은 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 사상들로 이루어진 자연 변환

$ϵ:FG\Rightarrow {\mathrm{id}}_{𝒟}$

이다.

• 임의의 대상 $Y\in \mathrm{ob}(𝒟)$ 및 $X\in \mathrm{ob}(𝒞)$ 및 사상 $f:F(X)\to Y$에 대하여, $f={ϵ}_{Y}F(g)$인 유일한 사상 $g:X\to G(Y)$가 존재한다.

  $\begin{array}{ccc}FG(Y)& \stackrel{{ϵ}_Y}{\to }& Y\\ G(\mathrm{\exists }!g)\uparrow & \nearrow f\\ F(X)\end{array}$

마찬가지로, 다음과 같이 정의할 수 있다. $F$와 $G$ 사이의 수반은 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 사상들로 이루어진 자연 변환

$\eta :{\mathrm{id}}_{𝒞}\Rightarrow GF$

이다.

• 임의의 대상 $X\in \mathrm{ob}(𝒞)$ 및 $Y\in \mathrm{ob}(𝒟)$ 및 사상 $f:X\to G(Y)$에 대하여, $f=G(g)\circ {\eta }_X$인 유일한 사상 $g:F(X)\to Y$이 존재한다.

  $\begin{array}{ccc}X& \stackrel{{\eta }_X}{\to }& GF(X)\\ & \mathrm{\forall }f\searrow & \downarrow G(\mathrm{\exists }!g)\\ & & G(Y)\end{array}$

이 두 정의는 쌍대단위원과 단위원을 통한 정의와 동치이다. 구체적으로, $(ϵ,\eta )$가 쌍대단위원과 단위원의 순서쌍을 이룬다면, $ϵ$과 $\eta$를 이루는 사상들은 두 정의에서의 보편 성질을 각각 만족시킨다. 반대로, 자연 변환 $ϵ:FG\Rightarrow {\mathrm{id}}_{𝒟}$을 이루는 사상들이 보편 성질을 만족시킨다면, 이를 쌍대단위원으로 삼는 단위원 $\eta :{\mathrm{id}}_{𝒞}\Rightarrow GF$을 찾을 수 있다. 마찬가지로, 보편 성질을 만족시키는 자연 변환 $\eta :{\mathrm{id}}_{𝒞}\Rightarrow GF$에 대하여, 이를 단위원으로 하는 쌍대단위원 $ϵ:FG\Rightarrow {\mathrm{id}}_{𝒟}$을 찾을 수 있다.

사상 집합을 통한 정의

$𝒞$와 $𝒟$가 국소적으로 작은 범주라면, 이 두 범주 사이의 수반 함자

$F:𝒞\leftrightarrows 𝒟:G$

는 다음과 같이 정의할 수 있다. $F$와 $G$ 사이의 수반은 함자

${\mathrm{hom}}_{𝒟}(F(-),-):{𝒞}^{\mathrm{op}}\times 𝒟\to \mathrm{Set}$

${\mathrm{hom}}_{𝒞}(-,G(-)):{𝒞}^{\mathrm{op}}\times 𝒟\to \mathrm{Set}$

사이의 자연 동형

$\mathrm{\Phi }:{\mathrm{hom}}_{𝒟}(F(-),-)\Rightarrow {\mathrm{hom}}_{𝒞}(-,G(-))$

이다.

국소적으로 작은 범주의 경우, 쌍대단위원 및 단위원을 통한 정의와 사상 집합을 통한 정의는 서로 동치이다. 구체적으로, 쌍대단위원 $ϵ:FG\Rightarrow {\mathrm{id}}_{𝒟}$과 단위원 $\eta :{\mathrm{id}}_{𝒞}\Rightarrow GF$의 순서쌍이 주어졌을 때,

${\mathrm{\Phi }}_{X,Y}:(F(X)\stackrel{f}{\to }Y)⟼(X\stackrel{{\eta }_X}{\to }GF(X)\stackrel{G(f)}{\to }G(Y))(X\in \mathrm{ob}(𝒞),Y\in \mathrm{ob}(𝒟))$

는 자연 동형을 이룬다. 반대로, 자연 동형 $\mathrm{\Phi }:{\mathrm{hom}}_{𝒟}(F(-),-)\Rightarrow {\mathrm{hom}}_{𝒞}(-,G(-))$이 주어졌을 때, 항등 사상에 대응하는 사상

${ϵ}_Y={\mathrm{\Phi }}_{G(Y),Y}^{-1}({\mathrm{id}}_{G(Y)})(Y\in \mathrm{ob}(𝒟))$

${\eta }_X={\mathrm{\Phi }}_{X,F(X)}({\mathrm{id}}_{F(X)})(X\in \mathrm{ob}(𝒞))$

들은 $F,G$의 쌍대단위원과 단위원을 이룬다.

성질

프레이드 수반 함자 정리

다음과 같은 범주가 주어졌다고 하자.

• $𝒟$는
  • 완비 범주이다.
  • 국소적으로 작은 범주이다.
• $𝒞$는 범주이다.

프레이드 수반 함자 정리(틀:Llang)에 따르면, 함자 $G:𝒟\to 𝒞$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• $G$는 왼쪽 수반 함자를 갖는다.
• $G$는 모든 작은 극한을 보존하며, 해집합 조건을 만족시킨다.

여기서 해집합 조건(解集合條件, 틀:Llang)이란 다음과 같다. 임의의 대상 $X\in 𝒞$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 대상들의 집합 $\{{\tilde{X}}_i{\}}_{i\in I}\subseteq 𝒟$ 및 사상들의 집합 $\{f_i:X\to G({\tilde{X}}_i){\}}_{i\in I}$이 존재한다.

임의의 $\tilde{Y}\in 𝒟$ 및 사상 $g:X\to G(\tilde{Y})$에 대하여, $g=G(\tilde{g})\circ f_i$를 만족시키는 $i\in I$ 및 $\tilde{g}:{\tilde{X}}_i\to \tilde{Y}$가 존재한다.

$\begin{array}{ccc}X& \stackrel{g}{\to }& G(\tilde{Y})\\ f_i\downarrow & & \Vert \\ G({\tilde{X}}_i)& \to G(\tilde{g})& G(\tilde{Y})\end{array}$

만약 실제로 어떤 수반 함자쌍

$F:𝒞\leftrightarrows 𝒟:G$

이 존재한다면, 대상 $X\in 𝒞$에 대하여

$I=\{0\}$

${\tilde{X}}_0=F(X)$

$f:X\to G(F(X))=G({\tilde{X}}_0)$

로 놓으면 해집합 조건이 자명하게 성립한다. 즉, 프레이드 수반 함자 정리에서 자명하지 않은 경우는 해집합 조건으로부터 왼쪽 수반 함자를 구성하는 것이다.

특수 수반 함자 정리

다음과 같은 범주가 주어졌다고 하자.

• $𝒟$는
  • 완비 범주이다.
  • 국소적으로 작은 범주이다.
  • 정멱 범주이다.
  • 쌍대 생성 집합을 갖는다.
• $𝒞$는 국소적으로 작은 범주이다.

특수 수반 함자 정리(틀:Llang)에 따르면, 함자 $G:𝒟\to 𝒞$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• $G$는 왼쪽 수반 함자를 갖는다.
• $G$는 모든 작은 극한을 보존하며, 단사 사상들의 (집합이 아닐 수 있는) 모임의 당김을 보존한다.

예

자유-망각 수반

틀:본문 대수 구조 다양체의 범주 $𝒱$에서, 자유 대수 함자

$⟨-⟩:\mathrm{Set}\to 𝒱$

는 망각 함자

$|-|:𝒱\to \mathrm{Set}$

의 왼쪽 수반 함자를 이룬다.

$⟨-⟩⊣|-|$

곱-지수 수반

데카르트 닫힌 범주 $𝒞$의 임의의 대상 $X\in 𝒞$에 대하여, 곱 함자

$-\times X:𝒞\to 𝒞$

$-\times X:Y\mapsto Y\times X$

는 지수 대상 함자

$(-{)}^X:𝒞\to 𝒞$

$(-{)}^X:Y\mapsto Y^X$

의 왼쪽 수반 함자를 이룬다.

$-\times X⊣(-{)}^X$

집합과 함수의 범주에서의 곱-지수 수반은 커링이라고 한다.

다른 범주의 경우, 지수 대상 함자가 왼쪽 수반을 가지지만, 이 함자가 범주론적 곱이 아닌 경우가 있다. 이 경우, 왼쪽 수반은 보통 텐서곱이라고 한다. (예를 들어, 유한 차원 벡터 공간의 범주의 경우 텐서곱은 통상적인 벡터 공간의 텐서곱 $\otimes$이다.)

대각-극한 수반

범주 $𝒞$ 및 범주 $𝒥$가 주어졌고, 모든 함자 $D:𝒥\to 𝒞$의 극한이 존재한다고 하자. 그렇다면, 극한 함자

$\underleftarrow{\lim }:{𝒞}^{𝒥}\to 𝒞$

는 왼쪽 수반 함자

$\mathrm{\Delta }⊣\underleftarrow{\lim }$

를 가진다. 이는 $𝒞$의 대상을 상수 함자에 대응시킨다.

$\mathrm{\Delta }:𝒞\to {𝒞}^{𝒥}$

$\mathrm{\Delta }:X\mapsto (J\mapsto X)$

예를 들어, $𝒞$가 곱을 갖는 범주라고 하자. 그렇다면

$(-{)}^2:{𝒞}^2\to 𝒞$

$(-{)}^2:X\mapsto X\times X$

$\mathrm{\Delta }:𝒞\to {𝒞}^2$

$\mathrm{\Delta }:X\mapsto (X,X)$

는 서로 수반 함자를 이룬다.

$\mathrm{\Delta }⊣(-{)}^2$

마찬가지로, 범주 $𝒞$ 및 범주 $𝒥$가 주어졌고, 모든 함자 $D:𝒥\to 𝒞$의 쌍대극한이 존재한다고 하자. 그렇다면, 쌍대극한 함자

$\underrightarrow{\lim }:{𝒞}^{𝒥}\to 𝒞$

는 오른쪽 수반 함자

$\underrightarrow{\lim }⊣\mathrm{\Delta }$

를 가진다. 즉, 만약 해당 극한 및 쌍대극한이 동시에 존재한다면

$\underrightarrow{\lim }⊣\mathrm{\Delta }⊣\underleftarrow{\lim }$

가 된다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
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• 틀:웹 인용
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• 틀:웹 인용
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같이 보기

• 반사 부분 범주
• 칸 확대
• 모나드 (범주론)