중복집합

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 중복집합(重複集合, 틀:Llang) 또는 다중집합(多重集合)은 각 원소를 어떤 기수만큼 중복하는 것을 허용하여 집합을 일반화한 개념이다. 중복집합의 원소가 중복된 횟수를 나타내는 기수를 중복도(重複度, 틀:Llang)라고 한다. 통상적인 집합은 각 원소의 중복도가 1인 중복집합으로 여길 수 있다. 집합의 연산들을 중복집합에 자연스럽게 확장할 수 있다.

정의

중복집합은 다음과 같은 데이터로 구성되는 순서쌍 $(M,{\mu }_M)$이다.

• 집합 $M$. 그 원소를 중복집합의 원소라고 한다.
• 기수 값 함수 ${\mu }_M:M\to \mathrm{Card}\setminus \{0\}$. 각 $m\in M$에 대하여, ${\mu }_M(m)$을 $m$의 중복도라고 한다. ($M$에 속하지 않는 원소의 중복도는 0이라고 정의한다.)

중복집합 $M$의 크기는 모든 원소의 중복도의 합이다.

$|M|=\sum _{m\in M}{\mu }_M(m)$

여기서 우변은 기수의 덧셈이다.

연산

집합의 연산은 중복집합으로 자연스럽게 확장할 수 있다. 예를 들어, 두 중복집합 $(M,{\mu }_M)$, $(M^{\prime },{\mu }_{M^{\prime }})$의 합집합 $M\cup M^{\prime }$과 교집합 $M\cap M^{\prime }$은 다음과 같다.

${\mu }_{M\cup M^{\prime }}=\max \{{\mu }_M,{\mu }_{M^{\prime }}\}$

${\mu }_{M\cap M^{\prime }}=\min \{{\mu }_M,{\mu }_{M^{\prime }}\}$

예

중복집합

$(\{a,b,c\},(a\mapsto 3,b\mapsto 2,c\mapsto 4))$

는 흔히

$\{a,a,a,b,b,c,c,c,c\}$

로 표기한다. 그 크기는 3+2+4=9이다.

같이 보기

• 집합론
• 단어 가방 모형

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
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• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
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• 틀:플래닛매스
• 틀:Proofwiki