신경 (범주론)

틀:위키데이터 속성 추적 범주론에서 신경(神經, 틀:Llang)은 작은 범주로부터 구성되는 단체 집합이다.

정의

신경은 작은 범주 · 함자 · 자연 변환의 2-범주 $Cat$ 에서 단체 집합 · 단체 집합 사상 · 단체 집합 호모토피의 2-범주 $sSet$ 로 가는 함자이다.

nerve : Cat \to sSet

즉, 신경 함자는 다음과 같은 대응을 정의한다.

작은 범주 → 단체 집합
작은 범주 사이의 함자 → 단체 집합 사이의 사상
작은 범주 사이의 두 함자 사이의 자연 변환 → 단체 집합 사이의 두 사상 사이의 호모토피

단체 집합의 2-범주에서 위상 공간의 2-범주로 가는 기하학적 실현 함자

| - | : sSet \to Top

또한 존재한다. 신경과 기하학적 실현을 합성한 함자를 분류 공간(틀:Llang) 함자라고 한다.

| nerve (-) | : Cat \to Top

신경은 추상적으로 간단히 정의할 수 있으며, 추상적 정의를 구체적으로 길게 풀어서 정의할 수도 있다.

추상적 정의

작은 범주 $𝒞$ 가 주어졌다고 하자. 단체 범주 $△$ 은 유한 전순서 집합과 순서 보존 함수의 범주이다. 모든 전순서 집합은 (보다 일반적으로, 모든 부분 순서 집합은) 가는(틀:Llang) 작은 범주로 생각할 수 있다.

함자 $nerve 𝒞 : △^{op} \to Set$ 를 다음과 같이, 전순서 집합에서 $𝒞$ 로 가는 함자들의 집합으로 정의하자.

nerve 𝒞 : n \mapsto {hom}_{Cat} (n, 𝒞)

이러한 꼴의 함자는 단체 집합이라고 한다. 단체 집합 $nerve 𝒞$ 를 $𝒞$ 의 신경이라고 한다. 정의에 따라, 신경은 작은 범주의 범주에서 단체 집합의 범주로 가는 함자

B : Cat \to sSet

를 이룬다.

구체적 정의

틀:사이드 박스 신경의 추상적인 정의는 구체적으로 다음과 같이 풀어 쓸 수 있다.

작은 범주 $𝒞$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 자연수 $n \in ℕ$ 에 대하여 집합 $Δ_{n}$ 을 다음과 같은, 합성이 가능한 $𝒞$ -사상들의 열

X_{0} \overset{f_{1}}{\to} X_{1} \overset{f_{2}}{\to} X_{2} \to \dots \to X_{n - 1} \overset{f_{n}}{\to} X_{n}

들의 집합이라고 하자. (특히, $Δ_{0}$ 은 단순히 $𝒞$ 의 대상의 집합이며, $Δ_{1}$ 은 단순히 $𝒞$ 의 사상의 집합이다.)

또한, 각 양의 정수 $n \in ℤ^{+}$ 및 자연수 $0 \leq i \leq n$ 에 대하여 함수 $\partial_{n}^{i}$ 를 다음과 같이, $i$ 번째 대상을 생략하는 함수로 정의하자.

\partial_{n}^{i} : Δ_{n} \to Δ_{n - 1}

\partial_{n}^{i} : (X_{0} \overset{f_{1}}{\to} X_{1} \to \dots \to X_{n - 1} \overset{f_{n}}{\to} X_{n}) \mapsto (X_{0} \overset{f_{1}}{\to} X_{1} \to \dots \to X_{i - 1} \overset{f_{i + 1} \circ f_{i}}{\to} X_{i + 1} \to \dots \to X_{n - 1} \overset{f_{n}}{\to} X_{n})

\partial_{n}^{0} : (X_{0} \overset{f_{1}}{\to} X_{1} \to \dots \to X_{n - 1} \overset{f_{n}}{\to} X_{n}) \mapsto (X_{1} \to \dots \to X_{n - 1} \overset{f_{n}}{\to} X_{n})

\partial_{n}^{n} : (X_{0} \overset{f_{1}}{\to} X_{1} \to \dots \to X_{n - 1} \overset{f_{n}}{\to} X_{n}) \mapsto (X_{0} \overset{f_{1}}{\to} X_{1} \to \dots \to X_{n - 1})

또한, 각 자연수 $n \in ℕ$ 및 자연수 $0 \leq i \leq n$ 에 대하여 함수 $s_{n}^{i}$ 를 다음과 같이, $i$ 번째 대상을 반복하며 그 사이에 항등 사상을 삽입하는 함수로 정의하자.

s_{n}^{i} : Δ_{n} \to Δ_{n + 1}

s_{n}^{i} : (X_{0} \overset{f_{1}}{\to} X_{1} \to \dots \to X_{n - 1} \overset{f_{n}}{\to} X_{n}) \mapsto (X_{0} \overset{f_{1}}{\to} X_{1} \to \dots \to X_{i} \overset{{id}_{X_{i}}}{\to} X_{i} \to \dots \to X_{n - 1} \overset{f_{n}}{\to} X_{n})

그렇다면 $(Δ_{n}, \partial_{n}^{i}, s_{n}^{i})_{n, i}$ 는 단체 집합을 이룬다. 이를 작은 범주 $𝒞$ 의 신경 $nerve 𝒞$ 이라고 한다.

성질

신경 함자 $nerve : Cat \to sSet$ 는 충실충만한 함자이다.

단체 집합 $S$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$nerve 𝒞 ≅ S$ 인 작은 범주 $𝒞$ 가 존재한다.
끝 대상으로 가는 유일한 사상 $S \to 1$ 은 모든 내부 뿔 포함 사상 $\land_{n}^{i} ↪ △_{n}$ ( $n \in ℤ^{+}$ , $0 < i < n$ )에 대하여 오른쪽 유일 올림 성질을 만족시킨다.

단체 집합 $S$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$nerve 𝒢 ≅ S$ 인 준군 $𝒢$ 가 존재한다.
끝 대상으로 가는 유일한 사상 $S \to 1$ 은 모든 뿔 포함 사상 $\land_{n}^{i} ↪ △_{n}$ ( $n \in ℤ^{+}$ , $0 \leq i \leq n$ )에 대하여 오른쪽 유일 올림 성질을 만족시킨다.

작은 범주 $𝒞$ 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

$𝒞$ 는 준군이다.
$nerve 𝒞$ 는 칸 복합체이다. 즉, 끝 대상으로 가는 유일한 사상 $nerve 𝒞 \to 1$ 은 모든 뿔 포함 사상 $\land_{n}^{i} ↪ △_{n}$ ( $n \in ℤ^{+}$ , $0 \leq i \leq n$ )에 대하여 오른쪽 올림 성질을 만족시킨다.
끝 대상으로 가는 유일한 사상 $nerve 𝒞 \to 1$ 은 모든 뿔 포함 사상 $\land_{n}^{i} ↪ △_{n}$ ( $n \in ℤ^{+}$ , $0 \leq i \leq n$ )에 대하여 오른쪽 유일 올림 성질을 만족시킨다.

위상 공간 $X$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$X ≅ | S |$ 인 단체 집합 $S$ 가 존재한다.
$X ≅ | nerve 𝒞 |$ 인 작은 범주 $𝒞$ 가 존재한다.

예

이산 위상을 부여한 군 $G$ 의 분류 공간 $B G$ 를 정의할 수 있다.

군 $G$ 는 하나의 대상만을 갖는 작은 범주로 여길 수 있다. 그렇다면, 범주로서 $G$ 의 분류 공간은 이산 위상군으로서의 분류 공간과 호모토피 동치이다.

외부 링크

신경 (범주론)

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정의

추상적 정의

구체적 정의

성질

예

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