분기화

틀:위키데이터 속성 추적 틀:두 다른 뜻 대수적 수론에서 분기화(分岐化, 틀:Llang)는 어떤 체의 확대에서, 원래 체의 대수적 정수환에서의 소 아이디얼이 확대체의 정수환에서 제곱 인자를 갖는 것을 뜻한다.

분기화는 두 가지의 방법으로 다룰 수 있다.

• 분기화를 아이디얼의 소인수 분해로서 다룰 수 있다. 이는 데데킨트 정역에 대하여 적용할 수 있으나, 오직 유한 자리만을 다룰 수 있다.
• 분기화를 체 위의 절댓값으로서 다룰 수 있다. 절댓값 이론은 아이디얼 이론보다 더 일반적이며, 무한 자리 또한 일관적으로 다룰 수 있다.

데데킨트 정역의 분기화

데데킨트 정역 $D$의 분수체 $K=\mathrm{Frac}D$의 유한 확대 $\tilde{K}/K$가 주어졌으며, $D$의 $\tilde{K}$ 속에서의 정수적 폐포가 $\tilde{D}$라고 하자. 그렇다면 $\tilde{D}$ 역시 데데킨트 정역이다.틀:Rp

$\begin{array}{ccc}D& \hookrightarrow & \tilde{D}\\ \mathrm{Frac}\downarrow & & \downarrow \mathrm{Frac}\\ K& \hookrightarrow & \tilde{K}\end{array}$

$D$ 속의 0이 아닌 소 아이디얼 $𝔭\in \mathrm{Spec}D\setminus \{(0)\}$에 대하여, 포함 준동형 $\iota :D\hookrightarrow \tilde{D}$에 대한 상의 소인수 분해가 다음과 같다고 하자.

$\iota (\tilde{p})=\prod _{i=1}^{g(𝔭)}{\widetilde{𝔭}}_i^{e_{{\widetilde{𝔭}}_i}}({\widetilde{𝔭}}_i\in \mathrm{Spec}\tilde{D}\setminus \{0\},e_i>0\mathrm{\forall }i)$

그렇다면 $e_{\widetilde{𝔭}}$를 ${\widetilde{𝔭}}_i$의 분기 지표(分岐指標, 틀:Llang)라고 한다.

또한, 잉여류체에 대한 자연스러운 체의 확대가 존재한다.

$D/𝔭\subseteq \tilde{D}/{\widetilde{𝔭}}_i$

이 확대의 차수 $f_{\widetilde{𝔭}}$를 $\widetilde{𝔭}$의 관성 차수(慣性次數, 틀:Llang)라고 한다.

$f_{\widetilde{𝔭}}=[\tilde{D}/{\widetilde{𝔭}}_i:D/𝔭]$

그렇다면 다음과 같은 기본 항등식(틀:Llang)이 성립한다.

$[L:K]=\sum _{\widetilde{𝔭}\in \mathrm{Spec}\tilde{D}\setminus \{0\}}^{\widetilde{𝔭}\mid 𝔭}{e}_{\widetilde{𝔭}}{f}_{\widetilde{𝔭}}\mathrm{\forall }𝔭\in \mathrm{Spec}D\setminus \{0\}$

힐베르트 이론

만약 확대 $\tilde{K}/K$가 갈루아 확대라면, 이에 대한 힐베르트 이론(Hilbert理論, 틀:Llang)이라는 자세한 묘사가 존재한다. 이 경우, 갈루아 군 $\mathrm{Gal}(\tilde{K}/K)$는 $\{{𝔭}_i{\}}_{i=1,\dots ,g(𝔭)}$ 위에 추이적으로 작용하며, 따라서 모든 $i$에 대하여 $e_i$ 및 $f_i$가 일치한다. 즉,

$[L:K]=e(𝔭)f(𝔭)g(𝔭)\mathrm{\forall }𝔭\in \mathrm{Spec}D\setminus \{0\}$

이다.

분해군

임의의 $\widetilde{𝔭}\in \mathrm{Spec}\tilde{D}\setminus \{0\}$의 분해군(分解群, 틀:Llang) $G_{\widetilde{𝔭}}$는 $\mathrm{Gal}(\tilde{K}/K)$의 작용에 대한 $\widetilde{𝔭}$의 안정자군이다.틀:Rp $\widetilde{𝔭}\in \mathrm{Spec}\tilde{D}\setminus \{0\}$의 분해체(分解體, 틀:Llang) $Z_{\widetilde{𝔭}}$는 분해군에 의해 고정되는 $\tilde{K}$의 원소들로 구성되는 체이다.

$Z_{\widetilde{𝔭}}=\{\tilde{a}\in \tilde{K}:\sigma \tilde{a}=\tilde{a}\mathrm{\forall }\sigma \in G_{\widetilde{𝔭}}\}$

궤도-안정자군 정리에 따라서, 모든 $i=1,\dots ,g(𝔭)$에 대하여 안정자군의 크기는 같다.

$|G_{{\widetilde{𝔭}}_i}|=|G|/g(𝔭)=e(𝔭)f(𝔭)\mathrm{\forall }i=1,\dots ,g(𝔭)$

관성군

$\widetilde{𝔭}\in \mathrm{Spec}\tilde{D}\setminus \{0\}$가 주어졌고, $𝔭\in \mathrm{Spec}D\setminus \{0\}$는 $\widetilde{𝔭}\mid \iota (𝔭)$인 유일한 소 아이디얼이라고 하자. 그렇다면 자연스러운 전사 군 준동형

$\mathrm{Gal}(\tilde{K}/K)\twoheadrightarrow \mathrm{Gal}((\tilde{D}/\widetilde{𝔭})/(D/𝔭))$

이 존재한다. 그 핵을 $\widetilde{𝔭}$의 관성군(慣性群, 틀:Llang) $I_{\widetilde{𝔭}}$이라고 하며, 이는 분해군의 부분군이다.틀:Rp 관성군의 크기는 항상 $e(𝔭)$와 같으며, 갈루아 군 $\mathrm{Gal}(\tilde{K}/K)$의 작용에 불변이다.

$I_{\widetilde{𝔭}}=I_{\sigma \cdot \widetilde{𝔭}}=e(𝔭)\mathrm{\forall }\sigma \in \mathrm{Gal}(\tilde{K}/K)$

마찬가지로, $\widetilde{𝔭}$의 관성체(慣性體, 틀:Llang) $T_{\widetilde{𝔭}}$는 관성군의 작용에 불변인 부분체이다.

$T_{\widetilde{𝔭}}=\{\tilde{a}\in \tilde{K}:\sigma (\tilde{a})=\tilde{a}\mathrm{\forall }\sigma \in I_{\widetilde{𝔭}}\}$

즉, 다음과 같은 체들의 탑이 존재한다.

$K\subseteq Z_{\widetilde{𝔭}}\subseteq T_{\widetilde{𝔭}}\subseteq \tilde{K}$

또한, 다음과 같은 군의 짧은 완전열이 존재한다.

$1\to I_{\widetilde{𝔭}}\to G_{\widetilde{𝔭}}\to \mathrm{Gal}(\tilde{D}/\widetilde{𝔭})/(D/𝔭)\to 1$

$T_{\widetilde{𝔭}}/Z_{\widetilde{𝔭}}$는 갈루아 확대이며, 그 갈루아 군은 $\mathrm{Gal}(\tilde{D}/\widetilde{𝔭})/(D/𝔭)$와 같다.

수체의 분기화

데데킨트 정역 $D$의 분수체 $K=\mathrm{Frac}D$가 대수적 수체일 경우를 생각하자. ($D={𝒪}_K$인 경우가 대표적이지만, 대수적 정수환이 아닐 수 있다.) 이 경우, 상대 판별식(틀:Llang) ${\mathrm{\Delta }}_{\tilde{K}/K}$는 $\tilde{D}$의 특별한 아이디얼이다.

그렇다면, 임의의 $𝔭\in \mathrm{Spec}D\setminus \{0\}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $𝔭$는 분기화된다.
• $𝔭\mid {\mathrm{\Delta }}_{\tilde{K}/K}$이다.

특히, 이 경우 분기화하는 소 아이디얼들의 수는 유한하다.

헨젤 값매김환의 분기화

분기화는 국소적인 현상이며, 헨젤 값매김환의 분기화 이론은 국소적인 분기화 정보를 담는다. 즉, 주어진 자리에 대하여 헨젤화를 가하면, 이 자리에서의 분기화에 대한 이론을 전개할 수 있으며, 이렇게 얻는 분기화의 국소적 이론은 분기화의 대역적 이론보다 매우 간단하다.

헨젤 값매김환 $(D,\nu ,𝔪)$의 분수체 $K=\mathrm{Frac}D$의 유한 확대 $\tilde{K}/K$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $K$의 값매김 $\nu$는 $\tilde{K}$ 위에 다음과 같이 값매김 $\tilde{\nu }$를 유도한다.틀:Rp

$\tilde{\nu }:\tilde{a}\mapsto \frac{1}{[\tilde{K}:K]}\nu ({\mathrm{N}}_{\tilde{K}/K}(\tilde{a})$

여기서 ${\mathrm{N}}_{\tilde{K}/K}$는 체 노름이다. 이에 대한 값매김환을 $\tilde{D}=\{\tilde{a}\in \tilde{K}:\tilde{\nu }(\tilde{a})\ge 0\}$라고 하고, 그 극대 아이디얼을 $\tilde{m}$이라고 하자.

이에 따라, 다음과 같은 값군의 포함 관계가 존재한다.

$\nu (K^{\times })\subseteq \tilde{\nu }({\tilde{K}}^{\times })$

그렇다면, $\tilde{K}/K$의 분기 지표 $e(\tilde{K}/K)$는 두 값군 사이의 몫군의 크기이다.

$e(\tilde{K}/K)=|\tilde{\nu }({\tilde{K}}^{\times })/\nu (K^{\times })|$

마찬가지로, 잉여류체들의 다음과 같은 확대가 존재한다.

$D/𝔪\subseteq \tilde{D}/\widetilde{𝔪}$

그렇다면, $\tilde{K}/K$의 관성 차수 $f(\tilde{K}/K)$는 두 잉여류체 사이의 확대의 차수이다.

$f(\tilde{K}/K)=[\tilde{D}/\widetilde{𝔪}:D/𝔪]$

이 경우, 일반적으로 다음이 성립한다.틀:Rp

$[\tilde{K}:K]\ge e(\tilde{K}/K)f(\tilde{K}/K)$

또한, 만약 다음 두 조건 가운데 적어도 하나가 성립한다면, 위 부등식은 등식이 되며, 이를 기본 항등식(틀:Llang)이라고 한다.

• $\nu$는 이산 값매김이며, $\tilde{K}/K$는 분해 가능 확대이다.틀:Rp
• $\nu$는 이산 값매김이며, $K$는 $\nu$에 대하여 완비 공간이다.틀:Rp

값매김환의 분기화

데데킨트 정역의 분기화 이론은 값매김환의 분기화 이론으로 일반화된다. 이 경우, 데데킨트 정역 속의 소 아이디얼 $𝔭$ 대신, $𝔭$로 정의되는 $𝔭$진 값매김에 대한 분기화를 다루게 된다.

절댓값 $|-{|}_{\nu }$이 주어진 체 $K$의 확대 $\tilde{K}/K$가 주어졌다고 하자. 이 경우 $\nu$를 $\tilde{K}$ 전체로 다양한 방법으로 확장할 수 있으며, 각 확장은 $\tilde{K}$ 위의 절댓값을 정의한다. 이는 절댓값의 동치에 대하여 불변이며, 따라서 자리를 정의한다. $\tilde{\nu }$가 $\nu$의 확장이라는 것은 (소 아이디얼의 인수 분해에 비유하여) $\tilde{\nu }\mid \nu$로 쓴다.

만약 $\nu$가 비아르키메데스 자리인 경우, 분기 지표와 상대 차수를 정의할 수 있다. 구체적으로, 비아르키메데스 자리에 대한 $K$와 $\tilde{K}$의 값매김환이 $(D,𝔪)$ 및 $(\tilde{D},𝔪)$라고 하자. 그렇다면, 분기 지표는 다음과 같은 부분군의 지표이다.틀:Rp

$e_{\tilde{\nu }}=[\tilde{\nu }({\tilde{K}}^{\times }):\nu (K^{\times })]$

$\tilde{\nu }$의 상대 차수(틀:Llang)는 다음과 같은, 잉여류체의 확대의 차수이다.

$f_{\tilde{\nu }}=[D_{\tilde{\nu }}/{𝔪}_{\tilde{\nu }}:D/𝔪]$

만약 $\nu$가 이산 값매김을 정의하며, $\tilde{K}/K$가 분해 가능 확대라면, 다음과 같은 기본 항등식(틀:Llang)이 성립한다.틀:Rp

$\sum _{\tilde{\nu }\mid \nu }{e}_{\tilde{\nu }}{f}_{\tilde{\nu }}=[L:K]$

값매김 힐베르트 이론

$\tilde{K}/K$가 갈루아 확대라고 하자. 그렇다면 다음과 같이 힐베르트 이론을 값매김으로서 서술할 수 있다.

(아르키메데스 또는 비아르키메데스) 자리 $\nu$의 확장 $\tilde{\nu }$이 주어졌을 때, $\tilde{\nu }$의 분해군 $G_{\tilde{\nu }}$은 갈루아 군 $\mathrm{Gal}(\tilde{K}/K)$의 작용에 대한 안정자군이다.틀:Rp

$G_{\tilde{\nu }}=\{\sigma \in \mathrm{Gal}(\tilde{K}/K):\tilde{\nu }\circ \sigma =\tilde{\nu }\}$

이는 $|-{|}_{\tilde{\nu }}$에 대하여 연속 함수가 되는 자기 동형들로 구성된다.틀:Rp 이에 대한 고정점들로 구성된 부분체를 분해체 $Z_{\tilde{\nu }}$라고 한다.

$Z_{\tilde{\nu }}=\{\tilde{a}\in \tilde{K}:\sigma (\tilde{a})=\tilde{a}\mathrm{\forall }\sigma \in G_{\tilde{\nu }}\}$

만약 $\tilde{\nu }$가 비아르키메데스 자리인 경우, 관성군과 분기군을 추가로 정의할 수 있다. 값매김환 $(D,𝔪)$ 및 $(\tilde{D},\widetilde{𝔪})$을 정의한다면, 체의 확대

$D/𝔪\subseteq \tilde{D}/\widetilde{𝔪}$

는 갈루아 확대임을 보일 수 있다.틀:Rp 또한, 분해군은 이 확대의 갈루아 군으로 가는 자연스러운 전사 군 준동형을 가지며, 그 핵을 비아르키메데스 자리 $\tilde{\nu }$의 관성군 $I_{\tilde{\nu }}$이라고 한다.

$1\to I_{\tilde{\nu }}\to G_{\tilde{\nu }}\to \mathrm{Gal}\left(\frac{\tilde{D}/\widetilde{𝔪}}{D/𝔪}\right)\to 1$

이에 대한 고정점으로 구성되는 부분체를 관성체 $T_{\tilde{\nu }}$라고 한다.

같이 보기

• 뉴턴 다각형

외부 링크

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