자연 변환

틀:위키데이터 속성 추적 범주론에서 자연 변환(自然變換, 틀:Llang)은 두 함자 사이에 범주적 구조를 보존하는 변환이다. 함자의 범주에서의 사상으로 생각할 수 있다.

정의

$F,G:𝒞\to 𝒟$가 (공변) 함자라고 하자. 그렇다면 $F$와 $G$ 사이의 자연 변환 $\eta :F\Rightarrow G$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 모든 대상 $X\in \mathrm{ob}(𝒞)$에 대하여, 사상 ${\eta }_X:F(X)\to G(X)$

이 데이터는 다음 성질을 만족하여야 한다. 모든 사상 $f:X\to Y$ ($X,Y\in \mathrm{ob}(𝒞)$)에 대하여,

${\eta }_{Y}F(f)=G(f){\eta }_X$.

즉, 다음 그림이 가환하여야 한다.

마찬가지로, 반변함자 $F,G:𝒞\to {𝒟}^{\mathrm{op}}$ 사이의 자연 변환도 정의할 수 있다.

자연 동형 사상(自然同形寫像, 틀:Llang)은 모든 ${\eta }_X$가 동형 사상을 이루는 자연 변환 $\eta$이다. 두 함자 사이에 자연 동형 사상이 존재하는 경우, 두 함자가 자연 동형(自然同形, 틀:Llang)이라고 한다.

성질

세 함자 $F,G,H:𝒞\to 𝒟$ 사이의 두 자연 변환 $\eta :F\Rightarrow G$, ${\eta }^{\prime }:G\Rightarrow H$의 합성

${\eta }^{\prime }\circ \eta :F\Rightarrow H$

$({\eta }^{\prime }\circ \eta {)}_X=\eta {\text{'}}_X\circ {\eta }_X$

은 자연 변환이다. 두 함자 $F,G:𝒞\to 𝒟$ 사이의 자연 변환 $\eta :F\Rightarrow G$ 및 함자 $T:𝒟\to ℰ$에 대하여,

$T\eta :TF\Rightarrow TG$

$(T\eta {)}_X=T({\eta }_X)$

는 자연 변환이다. 두 함자 $F,G:𝒞\to 𝒟$ 사이의 자연 변환 $\eta :F\Rightarrow G$ 및 함자 $T:ℰ\to 𝒞$에 대하여,

$\eta T:FT\Rightarrow GT$

$(\eta T{)}_X={\eta }_{T(X)}$

는 자연 변환이다.

예

군론에서, 군 $G$의 반대군 $G^{\mathrm{op}}$은 그 군 연산의 순서를 뒤집은 군이다. 이 "뒤집기"는 함자 $\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{p}\to \mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{p}$를 이룬다. (여기서 $\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{p}$는 군과 군 준동형의 범주다.) 이 함자는 항등함자 $\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{p}\to \mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{p}$와 자연 동형이다. 이는 군의 반대군을 "자연스럽게" 정의할 수 있다는 것으로 해석할 수 있다.

(실수 또는 복소수) 유한 차원 벡터 공간 $V$는 그 쌍대 공간 $V^{*}$과 항상 동형이다. 그러나 이에 해당하는 함자$\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\to \mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}$는 항등 함자와 자연 동형이지 않다. 이는 쌍대 공간을 정의하기 위해서는 기저를 골라야 하는데, 임의의 벡터 공간의 경우 자연스러운 기저를 정의할 수 없기 때문이다. (물론 기저는 항상 존재하나, 이를 자연스럽게 정의할 수 없다.) 물론, 유한 차원 내적공간의 범주의 경우, 쌍대 공간을 정의할 수 있는 데이터가 있으므로 쌍대 함자는 항등 함자와 자연 동형이다.

역사

사무엘 에일렌베르크와 손더스 매클레인이 1945년에 도입하였다. 이 논문은 범주론의 시초로 여겨진다. 이에 대하여 에일렌베르크와 매클레인은 다음과 같이 적었다. 틀:인용문2

같이 보기

• 초자연 변환
• 보편 성질

각주

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:매스월드
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