정역

틀:위키데이터 속성 추적 틀:다른 뜻 틀:대수 구조 가환대수학에서 정역(整域, 틀:Llang)은 영인자가 존재하지 않는, 자명환이 아닌 가환환이다. 정역은 정수환의 일반화이며, 0이 아닌 원소의 역원을 추가하여 분수체를 만들 수 있다.

정의

임의의 환 $R$ 의 원소 $r \in R$ 에 대하여, $(r \cdot) : R \to R, s \mapsto r s$ 가 단사 함수일 경우 $r$ 를 정칙원(正則元素, 틀:Llang)이라고 한다.

(곱셈 항등원을 갖는) 가환환 $R$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 가환환을 정역이라고 한다.

R는 다음 두 조건을 만족시킨다.
- (영인자의 부재) 모든 $a, b \in R ∖ {0}$ 에 대하여, $a b \neq 0$ 이다.
- (비자명성) $R$ 는 자명환이 아니다. 즉, $1 \neq 0$ 이다.
$R ∖ {0}$ 이 곱셈에 대하여 (공집합이 아닌) 가환 모노이드를 이룬다.
$R$ 의 영 아이디얼이 소 아이디얼이다.
$R$ 는 체의 부분환과 동형이다.
$R$ 는 자명환이 아니며, $R$ 의 0이 아닌 모든 원소가 정칙원이다.

스킴 $X$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴을 정역 스킴(整域scheme, 틀:Llang, 틀:Llang)이라고 한다.

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

정역의 환의 표수는 0이거나 아니면 소수이다. 양의 표수 $p > 0$ 의 정역의 경우, 프로베니우스 사상 $x \mapsto x^{p}$ 은 단사 함수이다.

정역의 경우, 항상 분수체를 취할 수 있다.

가환환 $R$ 및 아이디얼 $𝔞 \subset R$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

정역의 귀납적 극한은 역시 정역이다.

가환환 $R$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[1]틀:Rp^[2]틀:Rp

웨더번 정리에 따르면, 모든 유한 정역은 유한체이다.

정수환 $ℤ$ 은 정역을 이룬다. 모든 체는 정역을 이룬다. 모든 대수적 수체의 대수적 정수환 $𝒪_{K}$ 은 (데데킨트) 정역이다.

정수환의 몫환 $ℤ / (n^{2})$ 의 경우, $n \neq 0$ 이지만 $n \cdot n = 0$ 이므로 정역이 아니다.

모든 대수다양체는 정역 스킴이다.