직교 스펙트럼

틀:위키데이터 속성 추적 호모토피 이론에서 직교 스펙트럼(直交spectrum, 틀:Llang)은 직교군의 등변 작용을 갖춘 스펙트럼의 일종이다. 이들의 범주는 분쇄곱을 가져 대칭 모노이드 범주를 이루며, 따라서 그 속에서 환 스펙트럼이 잘 정의된다.

정의

$\mathrm{CGWH}$가 콤팩트 생성 약한 하우스도르프 공간의 범주라고 하자. 이는 (모든 위상 공간의 범주와 달리) 데카르트 닫힌 범주를 이룬다. 이 범주에 대하여, 점을 가진 공간의 범주

${\mathrm{CGWH}}_{\bullet }=\mathrm{CGWH}\mathrm{\setminus }\{\bullet \}$

를 한원소 공간 $\{\bullet \}$ 위의 쌍대 조각 범주로서 취할 수 있다. 이제, 곱공간과 분쇄곱 연산은 이 범주에서 취한다고 하자.

$G$가 다음 세 가지 가운데 하나라고 하자.

이름	$G(n)$	$𝕂$	$k={\dim }_{ℝ}𝕂$	$G$구조 스펙트럼의 이름
직교군	$\mathrm{O}(n)$	$ℝ$ 실수체	1	직교 스펙트럼(틀:Llang)
유니터리 군	$\mathrm{U}(n)$	$ℂ$ 복소수체	2	유니터리 스펙트럼(틀:Llang)
콤팩트 심플렉틱 군	$\mathrm{USp}(2n)=\mathrm{Sp}(n)$	$ℍ$ 사원수 대수	4	심플렉틱 스펙트럼(틀:Llang)

다음과 같은 범주 ${𝒱}_{𝕂}$를 생각하자.

• ${𝒱}_{𝕂}$의 대상은 유한 차원 $𝕂$-내적 공간이다.
• ${𝒱}_{𝕂}$의 사상은 같은 차원의 내적 공간 사이의 유니터리 변환들이다. 즉, 그 사상 집합은 ${\mathrm{hom}}_{{𝒱}_{𝕂}}(V,V)\cong G({\dim }_{𝕂}V)$이다.

이는 내적 공간의 직합에 대하여 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 실수 $nk$차원 유클리드 공간 $V$의 알렉산드로프 콤팩트화 $\hat{V}$는 $nk$차원 초구 ${𝕊}^{nk}$이며, 이에 따라 함자

$\hat{m}:𝒱\to {\mathrm{CGWH}}_{\bullet }$

가 존재한다. (밑점은 알렉산드로프 콤팩트화에 의하여 추가된 점이다.)

이 경우, $G$구조 스펙트럼(틀:Llang) $X$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.틀:Rp

• 함자 $X:{𝒱}_{𝕂}\to {\mathrm{CGWH}}_{\bullet }$. $n$차원 내적 공간의 상을 $X(n)=X({𝕂}^n)\in {\mathrm{CGWH}}_{\bullet }$이라고 하자. 특히, $X(n)$ 위에는 ${\mathrm{Aut}}_{{𝒱}_{𝕂}}({𝕂}^n)=G(n)$의 연속 작용이 주어진다.
• 각 $V,W\in {𝒱}_{𝕂}$에 대하여, 밑점을 보존하는 연속 함수 $f_{V,W}:\hat{V}\wedge X(W)\to X(V\oplus W)$. 이를 구조 사상(構造寫像, 틀:Llang)이라고 한다. 이는 또한 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
  • (등변성) $f_{V,W}:\hat{V}\wedge X(W)\to X(V\oplus W)$는 $G(V)\times G(W)$의 작용에 대하여 등변 함수이다.
  • (항등원) $f_{0,V}={\mathrm{id}}_{X(V)}$ (항등 함수)
  • (결합성) $f_{W,U\oplus V}\circ f_{V,U}=f_{W\oplus V,U}:\widehat{W\oplus V}\wedge X(U)\to X(W\oplus V\oplus U)$이다. (여기서 초구의 분쇄곱 사이의 표준적 사상 $\widehat{W\oplus V}\cong \hat{W}\wedge \hat{V}$를 사용하였다.)

두 직교 스펙트럼 $X$, $Y$ 사이의 사상은 구조 사상과 호환되는 자연 변환 $f:X\to Y$이다. 여기서 구조 사상과 호환된다는 것은 다음 그림이 가환한다는 것이다.

$\begin{array}{ccc}X(V)\wedge {𝕊}^k& \stackrel{f_V\wedge {𝕊}^k}{\to }& Y(V)\wedge {𝕊}^k\\ \downarrow & & \downarrow \\ X(V\oplus 𝕂)& \underset{f_{V\oplus 𝕂}}{\overset{}{\to }}& Y(V\oplus 𝕂)\end{array}$

$𝕂=ℝ$일 때, 직교군 구조 스펙트럼을 줄여서 직교 스펙트럼이라고 한다. 마찬가지로, $𝕂=ℂ$인 경우는 유니터리 스펙트럼, $𝕂=ℍ$인 경우는 심플렉틱 스펙트럼이다.

성질

대칭군 $\mathrm{Sym}(n)$은 $\mathrm{O}(n)$의 부분군이므로, 직교 스펙트럼은 (추가 구조를 갖춘) 대칭 스펙트럼이다.

직교 스펙트럼 $X$의 안정 호모토피 군(틀:Llang)은 다음과 같다.

${\pi }_{\bullet }(X)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\underrightarrow{\lim }}{\pi }_{\bullet +n}(X({ℝ}^n))$

직교 스펙트럼 사이의 약한 동치(틀:Llang)는 안정 호모토피 군의 동형을 유도하는 직교 스펙트럼 사상이다. 이에 따라 직교 스펙트럼의 범주 위에는 모형 범주 구조가 존재하며, 이에 따른 호모토피 범주는 다른 스펙트럼 범주의 호모토피 범주와 동치이다.

예

현수 스펙트럼

임의의 콤팩트 생성 약한 하우스도르프 공간 $X$가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

$X(V)=\hat{V}\wedge X$

를 정의하고, 그 위의 $G(V)$ 작용은 $V$ 위의 작용으로부터 유도된다고 하자. 그 위의 구조 사상은 초구의 분쇄곱 사이의 동형으로부터 유도된다. 그렇다면, 이는 $G$구조 스펙트럼을 이룬다. 이를 $X$의 현수 스펙트럼(틀:Llang)이라고 한다.

특히, $X={𝕊}^0$(0차원 초구 = 크기 2의 이산 공간)일 때, 이를 초구 스펙트럼(틀:Llang)이라고 한다.

자유 직교 스펙트럼

임의의 유한 차원 $𝕂$-벡터 공간 $V$에 대하여, $V$차 성분을 고르는 함자

$U_V:{\mathrm{Spectrum}}_G\to {\mathrm{CGWH}}_G$

$U_V:X\mapsto X(V)$

가 존재한다. 이 함자는 왼쪽 수반 함자

$F_V:{\mathrm{CGWH}}_G\to {\mathrm{Spectrum}}_G$

$F_V⊣U_V$

를 가지며, 구체적으로

$(F_{V}X)(V\oplus W)=G(V\oplus W{)}_{+}{\wedge }_{G(W)}X\wedge \hat{W}$

$(F_{V}X)(W)=\{\bullet \}(\dim W<\dim V)$

이다.틀:Rp

톰 스펙트럼

틀:본문 실수에 대한 톰 스펙트럼 $\mathrm{MO}$은 자연스럽게 직교 스펙트럼을 이룬다. 마찬가지로 $\mathrm{MU}$는 유니터리 스펙트럼을 이룬다.

외부 링크

• 틀:Nlab
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